Transcript CCSP03 Mathematical Ideas

Singapore Mathematical Society
Association of Mathematics Educators
Peter Pang
15/2/03
Konstant 
Kõik ringid on sarnased.
Ringjoone pikkuse C
ja diameetri d suhe
on alati üks ja sama,
C/d = konstant
=
 C = d = 2r
C - ringjoone
pikkus
r-raadius
d-diameeter
Konstant  (2)
Arv  väljendab seost
kahe pikkuse vahel,
milleks on ringjoone
pikkus ja diameeter.
Sama konstant
ühendab ringi pindala
ja raadiust.
C-ringjoone
pikkus
r-raadius
d-diameeter
pindala
Ring ja korrapärased
hulknurgad
Ringi sisse alati saab
joonestada
korrapärast
hulknurka.
C-ringjoone
pikkus
raadius
d-diameeter
pindala
Ring ja korrapärased
hulknurgad(2)
 Joonestame r
raadiusega ringi sisse
korrapärase viisnurga.
Jaotame viisnurga
viieks kolmnurgaks.
Igal kolmnurgal on
alus a ja kõrgus h.
Punktiirjoont
nimetatakse
apoteemiks.
h
r
a
Sidudes pikkust ja pindala
Iga kolmnurga pindala
=(alus)(kõrgus)/2
=ah/2
joonestatud sisse
viisnurga pindala
=5(kolmnurga pindala)
=5ah/2
=(h/2)(5a)
=(h/2)(sisse joonestatud
viisnurga ümbermõõt)
h
r
a
Sidudes pikkust ja
pindala(2)
joonestatud sisse
viisnurga pindala
=(h/2)(ümbermõõt)
Kui me valime mingi
teise korrapärase
hulknurga?
h
r
a
Sidudes pikkust ja pindala
- kuusnurk
Kui me joonestame sisse
korrapärase kuusnurga, siis
kuusnurka võib jagada 6
väiksemaks kolmnurgaks.
joonestatud sisse
kuusnurga pindala
=6(kolmnurga pindala)
=6ah/2
=(h/2)(6a)
=(h/2)(ümbermõõt)
h
r
a
Sidudes pikkust ja pindala
- kaheksanurk
Kui me joonestame sisse
korrapärase kaheksanurga,
siis kaheksanurka võib
jagada 8 väiksemaks
kolmnurgaks.
joonestatud sisse
kaheksanurga pindala
=8(kolmnurga pindala)
=8ah/2
=(h/2)(8a)
=(h/2)(ümbermõõt)
h
a
r
Joonestades sisse
korrapärane n-nurk
Kui me joonestame sisse korrapärane n-nurk,
siis me saame
hulknurga pindala = (h/2)(ümbermõõt)
Kui me suurendame külgede arvu 10-st 10 000
või isegi 10 000 000-ni, mis siis juhtub?
Arvatavasti hulknurk “täidab” ringi.
Ringi pindala
= lim (sisse joonestatud korrapärase hulknurga
pindala)
= lim [(h/2)(ümbermõõt)]
Kaks küsimust
Mis juhtub apoteemi ja ümbermõõduga, kui
hulknurga külgede arvu pidevalt suurendada?
Selge see, et apoteem h on piiratud ringi
raadiusega.
Sisse joonestatud korrapärase n-nurga
ümbermõõdu piiratud väärtus on ringi ringjoone
pikkus.
Sidudes pikkust ja pindala
Seega
ringi pindala = lim [(h/2)(ümbermõõt)]
= [(r/2)(C)]
= rC/2
= r(2r)/2
= 2r2/2
= r2.