Transcript Järelduvusseos_Samaväärsed(3)

Järelduvusseos. Samaväärsed
liitlaused.
Samaselt tõesed, samaselt väärad ning
kehtestatavad liitlaused
• Liitlauset nimetatakse samaselt tõeseks
(tautoloogiaks), kui ta on tõene komponentlausete
tõeväärtuste kõigi kombinatsiooni korral. (Liitlause ≡ 1)
• Liitlauset nimetatakse samaselt vääraks
(kontradiktsiooniks), kui ta on väär komponentlausete
tõeväärtuste kõigi kombinatsiooni korral. (Liitlause ≡ 0)
• Liitlauset nimetatakse kehtestatavaks, kui ta on tõene
komponentlausete tõeväärtuste vähemalt ühe
kombinatsiooni korral.
Näide1
• ⅂(⅂A∨B) ⇒ (A∨B)
A
B
⅂A
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
⅂(⅂A∨B)
A∨B
⇒
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
(⅂A∨B)
Vastus: Lause ⅂(⅂A∨B) ⇒ (A∨B) ≡ 1 (tautoloogia)
Ülesanne 1
Kontrolli, kas järgmised liitlaused on tautoloogia,
kontradiktsioon või kehtestatavad:
1) [(A&B) ∨⅂B] ⇔(A∨⅂B)
2) ⅂(⅂A∨B) &⅂(A∨⅂B)
3) ⅂(⅂A⇔B) &⅂(B⇒⅂A)
Järelduvusseos
• Liitlauset ℛ nimetatakse järelduvaks valemist
ℒ (ℒ⊢ℛ), kui valemi ℒ tõesuse korral on tõene
ka valem ℛ.
• Näide 2: Liitlausest ⅂(⅂A∨B) järeldub liitlause
A∨B ehk ⅂(⅂A∨B) ⊢ A∨B
A
B
⅂A
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
(⅂A∨B)
⅂(⅂A∨B)
A∨B
Tõeväärtustabelitest
selgub, et kui liitlause
A∨B on tõene kõigil
neil juhtudel, kui
liitlause ⅂(⅂A∨B) on
tõene ning lisaks veel.
Ülesanne 2:
Tõeväärtustabeleid kasutades järjestada järgmised
liitlaused nii, et igast liitlausest järelduksid kõik temale
järgnevad liitlaused:
1)
2)
3)
4)
5)
⅂A⇔B
A ⇒ (⅂A⇒B)
⅂(A⇒(A⇒B))
A∨B
⅂A & B
Järelduvusseos
• Kui lausearvutuse valemist ℒ järeldub valem
ℛ, siis öeldakse, et valemite A ja B vahel
kehtib järelduvusseos. ℒ⊢ℛ
• Teoreem: Valemist ℒ järeldub valem ℛ siis ja
ainult siis, kui ℒ ⇒ ℛ ≡ 1.
• Näide 3: Liitlausest A∨B järeldub
liitlause⅂(⅂A∨B) ehk ⅂(⅂A∨B) ⊢ A∨B, sellega
⅂(⅂A∨B) ⇒ (A∨B) ≡ 1 (vaata näide 1).
Ülesanne 3
Tõesta või lükata ümber järgmised seosed teoreemi abil
(kasuta tõeväärtustabel)
1) (A & ⅂B) ⊢ (A∨ ⅂B)
2) (⅂A⇒B) ⊢ A∨B
Samaväärsed liitlaused
• Lausearvutuse valemid ℒ
ja ℛ
on
samaväärsed (ℒ ≡ ℛ), kui nendel on ühed ja
samad
tõeväärtused
komponentlausete
mistahes väärtuste kombinatsiooni korral.
• Näide 4: A & ⅂A ≡ ⅂ (A∨ ⅂A)
A
⅂A
A & ⅂A
A∨ ⅂A
⅂ (A∨ ⅂A)
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
Samaväärsed liitlaused
• Teoreem: Lausearvutuse valemid ℒ ja ℛ on
samaväärsed (ℒ ≡ ℛ) siis ja ainult siis, kui
ℒ ⇔ ℛ ≡ 1.
• Järeldus. ℒ ≡ ℛ siis ja ainult siis, kui
ℒ⊢ℛ ja ℛ⊢ℒ.
• Näide 5: A & ⅂A ⇔ ⅂ (A∨ ⅂A) ≡ 1 (vaata
nt. 4 tõeväärtustabelid)
Ülesanne 4
Otsustada, kas järgmised liitlaused on samaväärsed
Vastuväiteline tõestus/kontroll
• Et otsustada, kas liitlause on samaselt väär /
tõene, võib kasutada ka vastuväitelist tõestust.
• Olgu on vaja tõestada, et ℒ ≡ 1 .
• Oletame vastuväiteliselt, et leidub
komponentlausete tõeväärtuste selline
kombinatsioon, mille korral ℒ ≡ 0. Kui ei leidu
ühtegi sellist kombinatsiooni, siis see oletus
on vastuoluline ja seega ℒ ≡ 1.
Näide
• Tõesta, et ℒ ≡ (a ⇒ b)&(a& ⅂ b)≡ 0
 Oletame, et leidub komponentlausete tõeväärtuste
selline kombinatsioon, mille korral ℒ ≡1.
Et oleks ℒ ≡ 1, peab olema
a ⇒ b =1
a &⅂ b =1 . See lause on tõene, kui a=1 ja
b=0. Kui aga see kehtib, siis ei saa a ⇒ b
olla tõene. Sellega jõudsime vastuolule.
See tähendab, et ei leidu sellist kombinatsiooni, mille
korral ℒ ≡1. Järelikult ℒ ≡ 0 .
Ülesanne 5
• Tõesta, et [(A&B) ∨⅂B] ⇔(A∨⅂B) ≡ 1
• Tõesta, et ⅂(⅂A∨B) &⅂(A∨⅂B) ≡ 0
Vastuväiteline tõestus/kontroll
• Meenutame järelduvusseose kohta teoreemi
Teoreem: Valemist järeldub valem ℒ siis ja ℛ ainult siis,
kui ℒ ⇒ ℛ ≡ 1.
• Et tõestada seose ℒ⊢ℛ kehtivust, tuleb
näidata, et ei leidu komponentlausete
selliseid tõeväärtusi, mille korral ℛ =0, kuid
ℒ = 1, sest ℒ ⇒ ℛ ≡ 0, mis on vastuolus
teoreemiga.
Näide
• ℒ⊢ℛ, kui ℒ ≡(pVr)&(p=>q) ja
ℛ≡ p=>(qVr).
Seose kehtivuse kontrollimiseks oletame, et ei
leidu p, r ja q tõeväärtusi, mille korral ℛ=0 ja
ℒ=1 .
Oletame, et ℛ=0. Sel juhul peab olema p=1,
q=0 ja r=0. Antud kombinatsiooniga liitlause
ℛ≡0. Seega ei leidu p, r ja q selliseid
tõeväärtusi, mille korral ℛ on väär ja ℒ on
tõene. Järelikult ℒ⊢ℛ.
Ülesanne 6
Tõesta või lükata ümber järgmised seosed
teoreemi abil (kasuta vastuväiteline kontroll)
1) (A & ⅂B) ⊢ (A∨ ⅂B)
2) (⅂A⇒B) ⊢ A∨B
Vastuväiteline tõestus/kontroll
• Meenutame samaväärsuse kohta teoreemi:
Lausearvutuse valemid ℒ ja ℛ on samaväärsed (ℒ ≡ ℛ)
siis ja ainult siis, kui ℒ ⇔ ℛ ≡ 1.
• ℒ ⇔ ℛ ≡ 1 siis ja ainult siis,
kui ℒ ⇒ ℛ ≡ 1 ja ℒ ⇒ ℛ≡ 1.
• 1) Tõestatakse seose ℒ⊢ℛ kehtivust
• 2) Tõestatakse ka seose ℛ⊢ℒ kehtivust
Kui üks nendest ei kehti, siis valemid ei ole
samaväärsed.