Transcript a) Derivaatan määritelmä, EOM jne.

3.1. DERIVAATAN MÄÄRITELMÄ
Kirja, E.1. s. 62 – 63
3.1.1. Erotusosamäärä (EOM)
Funktion y = f(x) erotusosamäärä kohdasta x0 kohtaan x (x0 x) on
f ( x)  f ( x0 ) y f


x  x0
x x
E.1. Laske funktion f(x) = x2 + 2x erotusosamäärä a) kohdasta 1 kohtaan 2 b) kohdassa 3.
a)
(22  2  2)  (12  2 1)
f (2)  f (1)

1
2 1
 83  5
( x 2  2 x)  (32  2  3)
f ( x )  f (3)

x 3
x 3
x 2  2 x  15  ( x  3)( x  5)

x 3
x3
b)
 x5
3.1.2. Tangentin kulmakerroin. Derivaatta
Kirja, s. 64 - 65
Derivaatan määritelmä
Funktion f(x) derivaatta kohdassa x0
f ´(x0) = lim
x x0
f ( x)  f ( x0 )
x  x0
eli kohdassa x0 lasketun EOM:n raja-arvo
raja-arvon ollessa olemassa, on funktio f derivoituva kohdassa x0
Jos EOM:llä vain oikeanpuoleinen (vasemmanpuoleinen) raja-arvo, niin f on
kohdassa x0 oikealta (vasemmalta) derivoituva.
Merkinnät
f’ (x0+) [f ’ (x0-) ]
Derivaatan määritelmä voidaan kirjoittaa myös muotoon
f ' ( x0 )  lim
h 0
f ( x0  h)  f ( x0 )
h
E.2. Mikä on funktion f(x) = x2 + 2x + 3 kohtaan x = 1 piirretyn tangentin kulmakerroin?
f ( x )  f (1) ( x 2  2 x  3)  (12  2 1  3)

x 1
x 1

( x  1)( x  3)
x 1
Tangentin kulmakerroin
( x  3)  4
lim
x 1
 x3
x2  2x  3  6

x 1
x2  2x  3

x 1
E.3. Olkoon f(x) = x2 - 3x. Laske f ‘ (1)
f ( x )  f (1)
x 1
( x 2  3x)  (12  3 1)

x 1
f ' (1)  lim ( x  2)  1  2  1
x 1
x 2  3x  2

x 1

( x  1)( x  2)
 x2
x 1
3.1.3. Derivoituvuus ja jatkuvuus
Olkoon funktio määritelty jollakin välillä I. Sanomme että f on derivoituva välillä I,
jos se on derivoituva välin jokaisessa kohdassa.
Lause
Derivoituva funktio on aina jatkuva
(jatkuvuus on derivoituvuudelle välttämätön ehto, mutta ei riittävä)
3.1.4. Derivaattafunktio
Kirjan E.1., s 69
Määritä funktion f(x) = x2 derivaatta kohdassa
a) -2
b) 1
c) ½
d) x0
d ensin:
x 2  x02
f ( x)  f ( x0 )

x  x0
x  x0

( x  x0 )(x  x0 )
x  x0
f ' ( x0 )  lim ( x  x0 )  x0  x0  2 x0
x  x0
f ' (2)  2  (2)  4
f ' (1)  2
f ' (½)  1
 x  x0
f(x) = x2
f ’(x) = 2x
E.4. (t. 168) Laske kahta erotusosamärän eri muotoa käyttäen funktion
f ( x) 
1
x
(x  0)
derivaatta
1 1

f ( x)  f ( x0 )
f
x x0



x
x  x0
x  x0

1
 2
x0
f
f ( x  h)  f ( x )


x
h
h
1
 
x ( x  h) h
x ( x  h)
f ' ( x)  
x0
x

xx0 xx0

x  x0
1
x0  x


xx0
xx0 ( x  x0 )
1
x2
1
1

xh x 
h

x0  x
xx0

x  x0

1
x2
x
xh

x ( x  h) x ( x  h)

h
kun h  0
xxh
x ( x  h)

h
Derivaattafunktio f’ on funktio, jonka arvot ovat annetun
funktion f derivaatan arvoja kaikilla kohdilla x
Derivoiminen = derivaattafunktion (*derivaatta) muodostaminen
Merkintöjä:
f’ , Df, df/dx, y’, dy/dx
Vakiofunktion derivaatta
Dc = 0
Identtisen funktion derivaatta
D(x) = 1
ks. E.3. kirja s. 71
(ks. E.2. s.70)
3.1.5. Korkeamman kertaluvun derivaatat
Toisen kertaluvun derivaatta f ’’
2
2
d
f
d
y
2
D f,
, y'' ,
2
dx
dx 2
Yleisesti:
n
n
d
f
d
y
n
(n)
D f,
, y ,
n
dx
dx n
”derivoidaan derivaattafunktio”
Kirjan esimerkki 1, s. 72