Transcript Document

สัมมนา
่
้
การเชื
อมโยงเนื
อหา
คณิ
ต
ศาสตร
์
คณิ ตศาสตร ์
ระดับมัธยมศึกษาตอนต ้น
่
เรือง จานวน
เต็ม
ต้
อ
จัดทำโดย
นำงสำวประภำร ัตน์ เขำภู งำม
่ 13 ดำ วงษ ์ศรีจน
เลขที
นำงสำวสี
ั ทร ์
่
เลขที
31 นดำ วงศรี
นำงสำวจิ
เลขที่ ศ
36
คณะครุ
ำสตร ์ เอก
ส
ผู ช
้ ว
่ ยศำสตรำจำรย ์กนก
จุยคำวงศ ์
้
อำจำรย ์สงกรำนต ์ ปลืม
ปรีดำพร
จำนวน
จริง
จำนวนอต
รรกยะ
ติดค่ำ
รำก

ทศนิ ยม
ไม่ซำ้
จำนวน
ตรรกยะ
เศษส่ว ทศนิ ย
้
ำ
มซ
น
จำนวน
เต็ม
จำนวน
เต็มลบ
จำนวน
เต็มศู นย ์
จำนวน
เต็มบวก
จำนวน
ตรรกยะ คือ
จำนวนตรรกยะ
a
่
จำนวนทีสำมำรถ
b
เขียนแทนได้ในรู ป
่ a
 วน
เศษส่
เมือ
และ b เป็ นจำนวนเต็
ม
.
.
3
่
ที b 4 0 ได้แก่ จำนวน
เต็ม เศษส่วน และ
ทศนิ ยมซำ้ เช่น 15 0,-
จำนวน
ตรรกยะ
จำนวนตรรกยะ
แบ่งเป็ น 2 ประเภท คือ
่ น
จำนวนตรรกยะทีเป็
จำนวนเต็มและจำนวน
่ ใช่จำนวน
ตรรกยะทีไม่
เต็ม
ต่อไป
จำนวนอต
รรกยะ
จำนวนอตรรกยะ
่
คือ จำนวนทีไม่
สำมำรถเขียนแทนได้
 วน ได้แก่
ในเศษส่
3 ่
 ำรำก
2
จำนวนที5ติดค่
สัญลักษณ์ และ
ทศนิ ยมไม่ซำ้ เช่น
, ,
จำนวน
เต็
ม
จำนวนเต็ม
แบ่งเป็ น 3 พวกคือ
1. จำนวนเต็มบวก
2. จำนวนเต็มลบ
3. จำนวนเต็ม
ศูนย ์
จำนวน
ตรรกยะ
่ ใ่ ช่
ที
ไม่
จำนวนทีเขียน
อยู
ปเศษส่วน
ำนวนเต็
ม
..จ่ในรู
้
หรือทศนิ ยมซำได้
เช่น
4.23 ,
0.25000
1
2
อ ัตรำส่วนและร ้อยละ
คู อ
่ ันดับและกรำฟ
จำนวนเละต ัวเลข
ทศนิ ยม
ทฤษฎีบทปี ทำโกรส
จำนวนเต็ม
กำรประมำณค่ำ
กำรวัด
สมกำร
เลขยกกำลัง
กำรแปลง
อสมกำร
จำนวน
เต็
ม
...
จำนวนนับ หรือ จำนวนธรรมชำติ
ได้แก่ 1, 2, 3, …
้ ำ จำนวนเต็ม
เรำเรียกจำนวนนับเหล่ำนี ว่
บวก โดยมีขอ้ สังเกตว่ำสมำชิกตัวแรก คือ
้
1 จำนวนนับถัดไปจะมำกขึนกว่
ำจำนวนที่
อยู ่ขำ้ งหน้ำอยู ่ 1 เสมอ จำนวนนับหรือ
จำนวนเต็มบวกมีจำนวนตรงข้ำม
่ a เป็ นจำนวนเต็มใด ๆ จำนวน
เช่น เมือ
จำนวน
เต็มำ...
สัญลักษณ์แสดงจำนวนตรงข้
ม
จำนวนตรงข้ำมของ 3 เขียนแทนด้วย
สัญลักษณ์ -3
จำนวนตรงข้ำมของ -3 เขียนแทนด้วย
สัญลักษณ์ -(- 3)
เนื่ องจำก -(-3) หมำยถึง จำนวนตรง
ข้ำมของ -3
้
แต่จำนวนตรงข้ำมของ -3 คือ 3 ดังนัน
จำนวน
เต็ม...
เช่น ถ้ำ a = 4 จำนวนตรงข้ำมของ 4
คือ -4
ถ้ำ a = -4 จำนวนตรงข้ำมของ -4
คือ -(-4) = 4
้ จำนวนตรงข้ำมของจำนวนเต็ม
ดังนัน
บวก ได้แก่ -1,-2,-3, …
้ ำ
เรำเรียกจำนวนเหล่ำนี ว่
จำนวน
เต็ม...
่ ำจำนวนนับมำบวกก ับ
เมือน
จำนวนตรงข้ำมของ
้
่ เท่ำกับหมด
จำนวนนับนันผลลั
พธ ์ทีได้
ไปหรือกำรไม่ม ี
ใช้สญ
ั ลักษณ์แทนกำรไม่มน
ี ่นคื
ั อ“0
”
้ ำ
เช่น 2 + (-2) = 0 เรำเรียกจำนวนนี ว่
จำนวน
เต็
ม
...
จงบอกค่ำของจำนวน
ต ัวอย่ำงที่ 1
ตรงข้ำมต่อไปนี ้
1.) 23
2.) -54
3.) -31
4.) -(-43)
54
31
วิธท
ี ำ 1.) 2323
=
2.) -5443 =
3.) -31 =
4.) -(-43) =
จำนวน
เต็
ม
...
จำนวนนับแบ่งเป็ นจำนวนนับที่ 2
หำรได้ลงต ัว
เช่น 2, 4, 6, 8, 10, … เรียกว่ำ
จำนวนคู ่
และจำนวนนับที่ 2 หำรไม่ลงต ัว
เช่น 1, 3, 5, 7, 9, … เรียกว่ำ
จำนวนคี่
จำนวน
ตัวประกอบของจำนวนนั
บใด
เต็ม...
คือจำนวนนับ
 
่
้  ลงตัว
ทีหำรจ
ำนวนนับนันได้

 ตัวประกอบของ
เช่น
20 ได้แก่ 1,
2, 4, 5,
10 และ 20
ตัวประกอบร่วม
จำนวน
เต็
ม
...
คือจำนวนนับ
้
่ อ
่
ทังหมดซึ
งเมื
้ั
นำไปหำรจำนวนนับตงแต่
สองจำนวน
่ ำหนดได้ลงต ัว
ทีก
เช่น จงหำตัวประกอบร่วมของ 12
และ 18
วิธท
ี ำ ตัวประกอบของ 12 ได้แก่ 1, 2, 3,
จำนวน
ตัวอย่ำงที่ 2 จงหำหำตั
ว
ประกอบร่
ว
ม
เต็ม...
ของ 10 และ 12
วิธท
ี ำ หำตัวประกอบแต่ละตัวก่อน
จะได้ ต ัวประกอบของ 10 ได้แก่ 1, 2, 5,
และ 10
ต ัวประกอบของ 12 ได้แก่ 1, 2, 3, 4
6 และ 12
้ ตัวประกอบร่วมของ 10 และ 1
ดังนัน
จำนวน
เต็ม...
่ คำ
ต ัวประกอบทีมี
่
่ ดของ
น้อยทีสุ
่ คำ
่
ตัวประกอบทีมี
จำนวนนับใด ๆ
่ ดของ
มำกทีสุ
คือ 1
จำนวนนับใด ๆ คือ
จำนวนนับจำนวน
้ ่นเอง
นันนั
จำนวน
่ ต ัวประกอบเป็ น
จำนวนนับทีมี
เต็
ม
...
จำนวนเต็มบวกเพียง 2 ต ัว
้ เรียกว่ำ
คือ 1 และจำนวนนับนัน
จำนวนเฉพำะ
เช่น ต ัวประกอบของ 2 คือ 1 และ
2
้ 2 เป็ นจำนวนเฉพำะ
ด ังนัน
ต ัวประกอบของ 13 คือ 1 และ
จำนวน
วิธก
ี ำรตรวจสอบจำนวนเฉพำะ
เต็
ม
...
ถ้ำให้ n เป็ นจำนวนเต็มบวก กำรที่
จะตรวจสอบว่ำ n เป็ นจำนวนเฉพำะ
หรือไม่ วิธก
ี ำรหนึ่ งก็คอ
ื กำรหำจำนวน
่ นตัวหำรทีน้
่ อยกว่ำ n ถ้ำไม่
เต็มบวกทีเป็
มีจำนวนใดหำร n ลงตัว ยกเว้น 1 กับ n
ก็แสดงว่ำ n เป็ นจำนวนเฉพำะ แต่
้
วิธก
ี ำรนี เหมำะกั
บกรณี ท ี่ n มีคำ
่ ไม่มำก
นัก
จ
ำนวน
เช่น
เป็ นจำนวนเต็มบวก n เป็เต็
นจำนวน
ม
...
p  ่ nและp n
ประกอบ
ก็ตอ
่ เมือ มีจำนวน
้
p ซึง่
ขัเฉพำะ
นตอ
p n
เลื
อ
ก
ก
ำหนด
น
เป็ น
p
ไม่
เป็ น
n
ไม่ลง
ตัว
ลง
ตัว
นำ p ที่
เลือกทุก
ตัวหำร n
จำนวน
เต็ำนวน
ม...
กำรตรวจสอบจ
เฉพำะ
ตัวอย่ำงที่ 3 59 เป็ นจำนวน
เฉพำะหรือไม่
่
วิธค
ี ด
ิ 1. เลือกจำนวนเฉพำะทียกก
ำลัง
(เกิน 59
สองแล้วไม่เกิน 59 ไม่เอำ)
ได้แก่ 22 = 4 < 59 , 32 = 9 <
59,
จำนวน
เต็ม...
่ อกคือ
2. นำจำนวนเฉพำะทีเลื
2, 3, 5 และ 7แล้วมำหำร 59
พบว่ำไม่มจ
ี ำนวนเฉพำะตัวใด
่
ทีสำมำรถหำร
59 ได้ลงตัว
้ 59 เป็ นจำนวน
ดังนัน
เฉพำะ
จำนวน
เต็งแต่
้ ม...
วิธห
ี ำจำนวนเฉพำะตั
1–
100
1. ตัด 1 ออกเพรำะ 1 มีต ัวประกอบ
เพียงตัวเดียว
่ 2 เป็ น
2. เลือก 2 แล้วตัดจำนวนทีมี
ตัวประกอบออก
่ 3 เป็ น
3. เลือก 3 แล้วตัดจำนวนทีมี
ตัวประกอบออก
จำนวน
้
เต็
จำนวนเฉพำะตังแต่
1- ม...
100
ั นี4้
1
2มีด
3ง
11
21
31
41
51
61
71
81
91
12
22
32
42
52
62
72
82
92
5
6
7
8 9 10
13 14 15 16 17 18 19 20
23 24 25 26 27 28 29 30
33 34 35 36 37 38 39 40
43 44 45 46 47 48 49 50
53 54 55 56 57 58 59 60
63 64 65 66 67 68 69 70
73 74 75 76 77 78 79 80
83 84 85 86 87 88 89 90
93 94 95 96 97 98 99 100
จำนวน
้ั ม...
จำนวนเฉพำะตเต็
งแต่
1-
้
ด ังนัน
100
้ั
มีทงหมด
25 จำนวน ด ังนี ้
2
19
47
83
3
23
53
89
5
29
61
93
7
31
67
97
11
37
71
13
41
73
17
43
79
จำนวน
เต็
ม
...
กำรแยกตัวประกอบ
กำรแยกตัวประกอบ คือกำร
เขียนจำนวนนับ ให้อยู ่ใน
รู ปกำรคู ณของจำนวนเฉพำะ
้
อำจทำได้โดยวิธก
ี ำรหำรสัน
หรือ วิธก
ี ำรเขียนแผนภำพ
ต้นไม้
จำนวน
ตัวอย่ำงที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ
เต็ม...
108
้ จะได้ดงั นี ้
วิธท
ี ี่ 1 ใช้วธ
ิ ก
ี ำรหำรสัน
2)108

3
108 =2  2  3 3 3
2
3
2

3
=
จำนวน
วิธท
ี ี่ 2 ใช้วธิ เี ขียนแผนภู
ม
ต
ิ
น
้
ไม้
เต็
ม
...
จะได้ดงั นี ้
108
12

3
3
9
4
3
2
3
2

3
2 2 3
108 =
3
3
จำนวน
ต ัวประกอบร่วมของจำนวนสอง
เต็ม...
่ คำ
่ ด
จำนวนทีมี
่ มำกทีสุ
เรียกว่ำ
ตัวหำรร่วมมำก หรือ
ห.ร.ม.
เช่น 12 มีตวั ประกอบได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6,
และ 12
30 มีตวั ประกอบได้แก่ 1, 2, 3, 5, 6,
จำนวน
เต็ม...
ตัวอย่ำงที่ 5
จงหำ ห.ร.ม ของ 42, 60 และ
120
โดยกำรพิจำรณำตัว
ประกอบ
จำนวน
หำตัวประกอบแต่เต็
ละตัวก่
อน
ม...
วิธท
ี ำ
42 มีตวั ประกอบได้แก่ 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21
และ 42
60 มีตวั ประกอบได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 5, 10,
12,
15, 20, 30 และ 60
120 มีตวั ประกอบได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8,
10, 12, 15,
20, 24, 30, 40, 60 และ
จำนวน
เต็
ม
...
ตัวประกอบร่วมของ 42, 60 และ 120
คือ 1, 2, 3 และ 6
่ คำ
่ ดของ 42,
ตัวประกอบร่วมทีมี
่ มำกทีสุ
60 และ 120 คือ 6
้
ดังนัน
6 คือ ตัวหำรร่วมมำก หรือ
ห.ร.ม.
จำนวน
เต็ม...
ข้อสังเกตกำรหำ ห.ร.ม.
้ั
โดยวิธต
ี งหำร
้
1. ในแต่ละขันตอนของกำรหำร
่ ำไปหำรต้องเป็ นจำนวน
จำนวนทีน
่ นตัวประกอบร่วมของ
เฉพำะทีเป็
่ องกำรหำซึงอำจมี
่
ทุกจำนวนทีต้
หลำยจำนวนเลือกจำนวนเฉพำะ
จำนวน
เต็
ม
...
่
2. กำรหำรจะยุตเิ มือไม่มจ
ี ำนวน
่ นตัวประกอบร่วมของ
เฉพำะทีเป็
่ องกำรหำ
ทุกจำนวนทีต้
่ คอ
3. ห.ร.ม. ทีได้
ื ผลคู ณของจำนวน
่ ำไปหำร
เฉพำะทีน
ในแต่ละ
้
ขันตอน
เช่น
จำนวน
ม28
...
จงหำ ห.ร.ม ของเต็
12,
และ 40
้
โดยวิธก
ี ำรตังหำร
วิธท
ี ำ
2 ) 12 28 40
2 ) 6 14 20

3 7 10
้ ห.ร.ม. ของ 12, 28 และ 40 คือ
ดังนัน
2 2=4
จำนวน
เต็ของ
ม...
ตัวอย่ำงที่ 6 จงหำ ห.ร.ม
24,
้
36 และ 48 โดยวิธก
ี ำรตังหำร
วิธท
ี ำ 2 ) 24 36 48
2 ) 12 18 24
3 ) 6 9 12
2 3 4
 48
้ ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ
 คือ 2 2
ดังนัน
3 = 12
จำนวน
เต็มโดยวิ
... ธ ี
ข้อสังเกตกำรหำ ห.ร.ม.
แยกตัวประกอบ
1. กำรแยกตัวประกอบของทุกจำนวนที่
ต้องกำรหำ ห.ร.ม.
ให้เลือกจำนวน
่ นตัวประกอบร่วมของทุก
เฉพำะทีเป็
จำนวน
ในแต่ละชุด
่ คอ
2. ห.ร.ม. ทีได้
ื ผลคู ณ
่ อกได้
ของจำนวนเฉพำะทีเลื
จำกข้อ
จำนวน
เช่น จงหำ ห.ร.ม.ของ 12 และ 32 โดยวิธ ี
เต็
ม
...
แยกตัวประกอบ  
วิธท
ี ำ
12 = 2 2 3 
32 = 2 2 2 2 2

ห.ร.ม. คือ
2 2

้ ห.ร.ม. ของ 12 และ 32 คือ 2 2
ดังนัน
=4
จำนวน
ตัวอย่ำงที่ 7 จงหำ ห.ร.ม.ของ 18 และ 30 โดย
เต็ม...
วิธแ
ี ยกตัวประกอบ 
วิธท
ี ำ
18 =  2 3 3
30 = 2 3 5

ห.ร.ม. คือ
2 3

้ ห.ร.ม. ของ 18 และ 30 คือ 2 3
ดังนัน
=6
จำนวน
เต็ม...
ตัวคู ณร่วมน้อย คือ
พหุคูณร่วม ของจำนวน
้
่ คำ
นับตังแต่
สองจำนวนทีมี
่ น้อย
่ ด เรียกว่ำ ตัวคู ณร่วมน้อย
ทีสุ
หรือ ค.ร.น.
ของจำนวน
้ ๆ
นับนัน
เช่น
จำนวน
เต็
ม
...
พหุคูณของ 12 คือ 12, 24, 36,
48, 60, 72, …
พหุคูณของ 30 คือ
30, 60, 90, …
พหุคูณ
ร่วมของ 12 และ 30 คือ 60, …
่ คำ
่ ดของ 12
และพหุคูณร่วมทีมี
่ น้อยทีสุ
และ 30 คือ 660
้
ดังนัน
ค.ร.น. ของ 12 และ 30 คือ 60
จำนวน
ต ัวอย่ำงที่ 8 จงหำ ค.ร.น. ของ 15 และ 25
เต็
ม
...
โดยพิจำรณำพหุคูณ
วิธท
ี ำ พหุคูณของ 15 คือ 15, 30, 45, 60, 75,
90, 105, 120,
135, 150, …
พหุคูณของ 25 คือ 25, 50, 75, 100, 125,
150, …
พหุคูณร่วมของ 15 และ 25 คือ 75, 150, …
่ คำ
่ ดของพหุคูณร่วม
และพหุคูณร่วมทีมี
่ น้อยทีสุ
้
ทังหมด
คือ 75
จำนวน
ข้อสังเกตกำรหำ ค.ร.น.
โดย
เต็ม...
วิธแ
ี ยกตัวประกอบ
1. กำรแยกตัวประกอบของทุกจำนวน
่ องกำรหำ ค.ร.น. ให้เลือก
ทีต้
่ นตัว
จำนวนเฉพำะหนึ่ งจำนวนทีเป็
ประกอบร่วม ของทุกจำนวนหรือ
เป็ นตัวประกอบร่วมของจำนวนอย่ำง
น้อยสองจำนวนในแต่ละชุด
จำนวน
เช่น จงหำ ค.ร.น.ของ 8 และ 20 โดยวิธ ี
เต็
ม
...
แยกตัวประกอบ  
วิธท
ี ำ
8 = 2
 2
 2
20 = 2 2 5

ค.ร.น. คือ


2 2 2 5
 
้ ค.ร.น.ของ 8 และ 20 คือ 2 2
ดังนัน
2 5 = 40
จำนวน
ตัวอย่ำงที่ 9 จงหำ ค.ร.น.ของ 18 และ 30
เต็
ม
...
โดยวิธแ
ี ยกตัวประกอบ
 
วิธท
ี ำ
18 = 2 3 3
30 = 2 3 5

 
2 3 3 5

 
้ ค.ร.น.ของ 18 และ 30 คือ 2 3
ดังนัน
3 5 = 90
จำนวน
้ั ม...
ข้อสังเกตโดยวิธเต็
ต
ี งหำร
้
1. ในแต่ละขันตอนของ
่ ำไปหำรต้องเป็ น
กำรหำจำนวนทีน
่ นตัวประกอบร่วม
จำนวนเฉพำะทีเป็
ของจำนวนอย่ำงน้อย สองจำนวนที่
ต้องกำรหำร
2.
่ ำนวนเฉพำะไม่สำมรถ
จำนวนนับทีจ
้
หำรได้ลงตัวให้ดงึ ลงมำเป็ นตัวตังใน
จำนวน
เต็
ม
...
่
3. กำรหำรจะยุตเิ มือไม่มจ
ี ำนวนเฉพำะที่
้
เป็ นตัวประกอบร่วม ของตังแต่
สอง
่ องกำรหำร
จำนวนนับทีต้
่ คอ
4. ค.ร.น. ทีได้
ื ผลคู ณของจำนวน
่ ำไปหำรใน
้
เฉพำะทีน
แต่ละขันตอน
่
้
และจำนวนทีเหลื
อจำกกำรหำรทังหมด
จำนวน
เช่น จงหำ ค.ร.น. ของ 8, 12 และ 32 โดย
เต็
ม
...
้
วิธต
ี งหำร
ั
วิธท
ี ำ
2) 8 12 32
2) 4 6 16
2) 2 3 8
1 3 4
2 หำร 2 และ 8 ลงตัว
2 หำร 3 ไม่ลงตัว ดึง
3 ลงมำ
   
้ ค.ร.น.ของ 8, 12 และ 32 คือ 2 2 2 3
ดังนัน
จำนวน
ตัวอย่ำงที่ 10 จงหำ ค.ร.น.ของ 8, 30 และ
เต็ม...
้ั
42 โดยวิธต
ี งหำร
วิธท
ี ำ
2) 8 30 42
3) 4 15 21
4 5 7
3 หำร 4 ไม่
ลงต ัว
   
้ ค.ร.น.ของ 8, 30 และ 42 คือ 2 3 4 5
ดังนัน
7= 840
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
จำนวนและตัวเลข
ระบบต ัวเลขฐำนสิบ มี
่ สบ
สัญลักษณ์หรือเลขโดด ทีใช้
ิ
ต ัวคือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
ในกำรสร ้ำงต ัวเลขฐำน 10 ใช้
จำนวนทัง้ 10 จำนวนมำสร ้ำงโดย
มำกำหนดหรือวำงในตำแหน่ ง
ต่ำง ๆ แต่ละตำแหน่ งมีคำ
่ ประจำ
่ ำงก ันแม้วำ
ตำแหน่ งทีต่
่ จะเป็ น
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
จำนวนและตัวเลข
ตำรำงค่ำประจำหลักระบบตัว
่
หลักที่ ... หก
ห้
ำ
สี
เลขฐำนสิบ สำม สอง
หนึ่ ง
่
่ พัน ร ้อย สิบ หน่ ว
ชือ
... แสน หมืน
หลัก
ย
1
ค่ำ
... 100,00 10,00 1,000 100 10
0
0
ประจำ
หลัก
5
4
3
2
10
10
10
10
10
1
เลข ...
ยก
ข้
อตกลง กำรนับหลักให้นบ
ั จำกข้ำงหลัง
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
จำนวนและตัวเลข
เช่น 225415
่
กำรเชือมโยงจำนวนเต็มกับ
จำนวนและตัวเลข
ต ัวอย่ำง 11
จงเขียน 58,936 ให้อยู ่ใน
รู ปกำรกระจำย
4
วิธท
ี ำ58936
58,936
เขี
  5  10
 ย นในรู
 8  103 ป
 กำรกระจำย
 9 102    3  101   6
จะได้
ตำรำงค่ำประจำหลักระบบตัว
เลขฐำนสิ
หลักที่ ...บ
หก
ห ้า
ส ี่
สาม
 1
ื่ หลัก
ชอ
...
แสน
หมืน
่
พัน
ร ้อย
สอง
ิ
สบ
หนึง่
ค่าประจา
หลัก
เลขยก
กาลัง
...
100,000
10,000
1,000
100
10
1
...
105
104
103
102
10
1
หน่วย
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
จำนวนและตัวเลข
ระบบตัว เลขฐำนสอง ใช้เ ลขโดดเพีย ง
สองตัวคือ 0 และ 1
เ ล ข ฐ ำ น ส อ ง มี ว ิ ธ ี ก ำ ร เ ขี ย น เ ห มื อ น ตั ว
เลขฐำนสิ
บ คืำหลั
อ ยึกดระบบตัว
ค่ำประจำหลัก โดยแต่ ละ
ตำรำงค่ำประจ
้
หลั
ก
มี
ค
ำ
่
ประจ
ำหลั
ก
ดั
ง
นี
่
เลขฐำนสอง
หลักที
.. หก ห้ำ สี่ สำ สอ หนึ่
ค่ำประจำหลักตัว ..
เลขฐำนสอง
เทียบกับตัว
..
ม
ง
ง
25
24
23
22
2
1
32
16
8
4
2
1
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
จำนวนและตัวเลข
ระบบตัวเลขฐำนสิบเขียนแทนด้วยระบบตัว
เลขฐำนสอง ดังนี ้
0 = 02
102
1=1
2
2=
3 = 112
1012
4 = 1002
5=
่
กำรเชือมโยงจำนวนเต็มกับ
จำนวนและตัวเลข
่
ตัวอย่ำงที 12 จงเขียน 110102 ให้อยู ่ใน
ระบบตัวเลขฐำนสิบ





4
3
2
วิธท
ี ำ 110102 =
 2 ) +(1 2)
 (1 2 ) + (1 2 ) + (0
=
+ (0 1)
4) + (1 2) + (0 1)
้
ดังนัน
=
=
16 + 8 + 0 + 2 + 0
26
110102
=
26
(1 16) + (1 8) + (0
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
จำนวนและตัวเลข
กำรเขียนระบบต ัวเลขฐำนสิบ
ให้อยู ่ในระบบต ัวเลขฐำนสองโดย
้ คือ กำรหำรสัน
้
วิธก
ี ำรหำรสัน
้ วยสองตลอดเมือ
่
จำนวนนันด้
เหลือเศษในแต่ละครง้ั ให้เขียนไว้
้ั วั ต่อไป จนถึงตัว
ข้ำงหลังต ัวตงต
้ั น 0
ตงเป็
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
จำนวนและตัวเลข
คำตอบจะได้จำกเศษ
้ั
ของกำรหำรแต่ละครงโดยน
ำ
เศษจำกต ัวล่ำงสุดไปจนถึง
ต ัวบนสุดเขียนเรียงจำกซ ้ำย
ไปขวำ และเขียน “ สอง ”
หรือ “ 2 ” กำกับไว้ขำ้ งท้ำย
่
้
เพือให้
รู ้ว่ำต ัวเลขนันอยู
่ใน
ระบบต ัวเลขฐำนสอง
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
จำนวนและตัวเลข
ตัวอย่ำงที่ 13 จงเขียน 26 ให้อยู ่ในระบบตัว
้
เลขฐำนสองโดยวิธก
ี ำรหำรสัน
วิธท
ี ำ
2 ) 26
2 ) 13
เศษ 0
2)6
เศษ 1
2 ) 3 เศษ 0
2 ) 1 เศษ 1
0 เศษ 1
้
ดังนัน
26 = 110102
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
จำนวนและตัวเลข
ระบบตัว เลขฐำนห้ำ ใช้ส ญ
ั ลัก ษณ์
หรือเลขโดด 5 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, และ 4
เลขฐำนห้ำ มี ว ิ ธ ี ก ำรเขี ย นเหมื อ นตัว
เลขฐำนสิบและฐำนสอง คือ ยึดค่ำประจำ
หลัก โดยแต่
ะหลักกระบบมีค่ ำ ประจ ำหลัก
ตำรำงค่
ำประจลำหลั
้ กที่
ดังนีหลั
ตัวเลขฐำนห้
ำ .. หก ห้ำ สี่ สำ สอ หนึ่
ค่ำประจำหลัก
ตัวเลขฐำนห้ำ
เทียบกับตัว
ม
ง
ง
..
55
54
53
52
5
1
..
3125
625
125
25
5
1
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
จำนวนและตัวเลข
ระบบตัวเลขฐำนสิบเขียนแทนด้วยระบบ
ตัวเลขฐำนห้ำ ดังนี ้
0 = 05
1=1
3 = 35
4 = 45
5 = 105
6 = 115
7 = 125
8 = 135
5
2 = 25
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
จำนวนและตัวเลข
ต ัวอย่ำงที่ 14 จงเขียน 1325 ให้อยู ่ใน
ระบบตัวเลขฐำนสิ

 บ

วิธท
ี ำ 1325 = (1 52) + (3 51) + (2
= (1 25) + (3 5) + (2 1)
= 25 + 15 + 2
= 42
้ 1325 = 42
ดังนัน
1)
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
จำนวนและตัวเลข
คำตอบจะได้จำกเศษของกำร
หำรแต่ละครง้ั
โดยนำเศษ
จำกตัวล่ำงสุดไปจนถึงตัวบนสุด
เขียนเรียงจำกซ ้ำยไปขวำ และ
เขียน “ ห้ำ ” หรือ “ 5 ” กำกับ
ไว้ขำ้ งท้ำย
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
จำนวนและตัวเลข
ต ัวอย่ำงที่ 15 จงเขียน 42 ให้อยู ่ในระบบ
้
ต ัวเลขฐำนห้ำโดยวิธก
ี ำรหำรสัน
วิธท
ี ำ
5 ) 42
5 ) 8 เศษ 2
5)1
เศษ 3
0 เศษ 1
้
ด ังนัน
42 = 1325
่
กำรเชือมโยงจำนวนเต็ม
กับทศนิ ยม
่ ่ในรู ปทศนิ ยม
จำนวนทีอยู
ประกอบด้วยสองส่วน
่ นจำนวนเต็มและมีจด
คือส่วนทีเป็
ุ (.)
่
คันระหว่
ำงจำนวนเต็ม
่ นทศนิ ยม
กับส่วนทีเป็
่
กำรเชือมโยงจำนวนเต็ม
กับทศนิ ยม
ทศนิ ยมมี 2 แบบ
้ นย ์
1. ทศนิ ยมซำศู
..
้ นย ์
เช่น 0.2500 เป็ นทศนิ ยมซำศู
้. ๆ เป็ น 0.25
เขียนสัน
อ่ำนว่ำ ศู นย ์จุดสองห้ำ
้ นย ์ เขียน
4.750 เป็ นทศนิ ยมซำศู
่
กำรเชือมโยงจำนวนเต็ม
กับทศนิ ยม
้ นย ์
2. ทศนิ ยมไม่ซำศู
.
้
เช่น 0.777… เป็ นทศนิ ยมซำเจ็ด เขียน
้ ๆ เป็ น 0.7
สัน
อ่ำนว่ำ ศู นย ์จุดเจ็ด เจ็ดซำ้
..
้
่ ง แปด
0.3181818… เป็ นทศนิ ยมซำหนึ
้ ๆ เป็ น 0.318
เขียนสัน
อ่ำนว่ำ ศู นย ์จุดสำมหนึ่ งแปด หนึ่ ง
่
กำรเชือมโยงจำนวนเต็ม
กับทศนิ ยม
่
เชือมโยงด้
วยกำรหำรจำนวนเต็ม
่
ก ับจำนวนเต็ม เป็ นกำรหำรทีไม่
่ เป็ น
ลงต ัวทำให้ผลลัพธ ์ทีได้
ทศนิ
ย
ม
ตัวอย่ำงที่ 16
1.) 17  2  ?
2.) 73  12  ?
่
กำรเชือมโยงจำนวนเต็ม
กับทศนิ
ย
ม
2.) 73 12  ?
17  2  ?
1.)
วิธท
ี า
08.5
2 ) 17
วิธท
ี า
06.0833
12 )73
72
100
96
40
36
40
36
40
16
10
10
0
ดังนัน
้ 17  2  8.5
ดังนัน
้
.
73 12  6.833
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
กำรประมำณค่ำ
กำรประมำณ หมำยถึง กำรหำค่ำซึง่
่ จริง
ไม่ใช่คำ
่ ทีแท้
หรือเป็ นกำรศึกษำวิธก
ี ำรบอก
จำนวน ขนำด หรือ ปริมำณ
่ ตอ
่ วน เป็ น
ทีไม่
้ งกำรทรำบรำยละเอียดถีถ้
กำรบอกโดยกำรคำดคะเน
ด้วยสำยตำ ไม่ตอ
้ งนับสำมำรถนำไปใช้
ตอบปั ญหำหรือตัดสินใจได้
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
กำรประมำณค่ำ
กำรประมำณค่ำ หมำยถึง
่ จำกกำรคำนวณหำ
ค่ำทีได้
คำตอบอย่ำงรวดเร็ว แต่มค
ี วำม
ใกล้เคียง และเหมำะสมกับกำร
นำไปใช้ในกำรตัดสินใจ
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
กำรประมำณค่ำ
้ ำ4
ตัวอย่ำงที่ 17 นำรีซอสิ
ื ้ นค้
รำยกำรจำกห้ำงสรรพสินค้ำแห่งหนึ่ ง
้
จงประมำณค่ำของรำคำสินค้ำทังหมด
้ ำชินที
้ ่ 1 รำคำ 23 บำท สินค้
้ ำชินที
้ ่
สินค้
2 รำคำ 41 บำท
้ ำชินที
้ ำชินที
้ ่4
้ ่ 3 รำคำ 34 บำท สินค้
สินค้
รำคำ 12 บำท
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
กำรประมำณค่ำ
วิธท
ี ำ
้ ำชินที
้ ่ 1 รำคำ 23 บำท ประมำณ
สินค้
เป็ น 25 บำท
้ ำชินที
้ ่ 2 รำคำ 41 บำท ประมำณ
สินค้
เป็ น 40 บำท
้ ำชินที
้ ่ 3 รำคำ 34 บำท ประมำณ
สินค้
เป็ น 35 บำท
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
กำรประมำณค่ำ
ตัวอย่ำงที่ 18 จงประมำณค่ำ
่
ให้เกำรประมำณค่
ป็ นจำนวนเต็ม
ำทีใกล้
เคียงให้
เป็ นจำนวนเต็ม
จำนว
น
จำนว จำนวน
จำนวน จำนวน
จำนวน
นเต็ม
เต็ม
เต็ม
เต็ม
เต็มพัน
่
สิบ
ร ้อย
หมืน
แสน
30,6 30,65 30,70 31,00 30,00
54
0
0
0
0
13,7 13,74 13,70 14,00 10,00
42
0
0
0
0
-
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
กำรวัด
ควำมเป็ นมำ : คนสมัยโบรำณยังไม่ม ี
่
่ นมำตรฐำนในกำรวด
เครืองมื
อทีเป็
ั
้ ่ และปริมำตร
ระยะทำง เวลำ พืนที
่
่
้ กำรสือควำมหมำยเกี
ยวก
ั กำร
ด ังนัน
บ
่
ว ัดต่ำง ๆ จึงต้องอำศ ัยสิงแวดล้
อมตำม
ธรรมชำติโดยกำรสังเกตและกำร
คำดคะเน อย่ำงหยำบ ๆ ทำให้
้
่
่
กำรเชือมโยงจำนวนเต็มกับ
กำรวัด
่
่ กำรติดต่อ
เมือคนสมั
ยโบรำณเริมมี
้
่
ซือขำยแลกเปลี
ยนสิ
นค้ำระหว่ำงกัน
้ จึงได้พฒ
มำกขึน
ั นำหน่ วยกำรวด
ั
่
้
และเครืองมื
อว ัดต่ำง ๆ ขึนมำโดยกำร
้
ว ัดควำมยำวนันจะใช้
อว ัยวะส่วนต่ำง
้ คืบ ศอก วำ
ๆของร่ำงกำร เช่น นิ ว
ฯลฯ
่
กำรเชือมโยงจำนวนเต็มกับ
กำรวัด
หน่ วยกำรวัด
มำตรำไทย
วำ = 4 ศอก
1 ศอก = 2 คืบ
้
1 คืบ = 12 นิ ว
1
่
กำรเชือมโยงจำนวนเต็มกับ
กำรวัด
ตัวอย่ำงที่ 19
วิธท
ี ำ
3
่ ว
้
วำ เท่ำกับกีนิ
แปลงวำให้เป็ นศอก 1 วำ = 4 ศอก
3 วำ = 4  3 = 12 ศอก
แปลงศอกให้เป็ นคืบ 1 ศอก = 2 คืบ
12 ศอก = 2 12 = 24 คืบ
้
้
แปลงคืบให้เป็ นนิ ว
1 คืบ = 12 นิ ว
้
24 คืบ = 12  24 = 288 นิ ว
้
้
ดังนัน
3 วำ = 288 นิ ว
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
อ ัตรำส่วนและร ้อยละ
่
อ ัตรำ หมำยถึง ข้อควำมทีแสดง
ควำมสัมพันธ ์ระหว่ำง
่ ยนได้
ปริมำณสองปริมำณ ซึงเขี
โดยมีหน่ วยกำก ับอยู ่ดว้ ย
เช่น ค่ำรถโดยสำรประจำทำง 10
บำทต่อคน
ส้ม 1 กิโลกร ัม รำคำ 35
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
อ ัตรำส่วนและร ้อยละ
อ ัตรำส่วน หมำยถึง กำรเปรียบ
่
้ั
่
ปริมำณสิงของต
งแต่
สองสิงหรื
อ
่ นไป
้
่
มำกกว่ำสองสิงขึ
ซึงอำจจะเป็
น
่
สิงของอย่
ำงเดียวก ันหรือคนละอย่ำงก็
ได้ เช่aน
bวน a ต่อ b เขียนแทนด้วย a
อ ัตรำส่
:b
่
กำรเชือมโยงจำนวนเต็มกับ
อ ัตรำส่วนและร ้อยละ
ร ้อยละ หมำยถึง อต
ั รำส่วนโดยเปรียบเทียบ
ปริมำณสองปริมำณ
่ วส่วนเป็ น 100 เขียนแทนด้วย %
ทีตั
5
เช่น
100
1) ร ้อยละ 5 คือ
เขียนเป็ น 5 %
27
100
2) ร ้อยละ 27 คือ
เขียนเป็ น 27 %
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
อ ัตรำส่วนและร ้อยละ
ตัวอย่ำงที่ 20
ตู เ้ ย็นใบหนึ่ งปิ ดรำคำขำย
ไว้ 9,400 บำท
ลดรำคำ 15% ขำยตู เ้ ย็น
่
รำคำกีบำท
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
อ ัตรำส่วนและร ้อยละ
วิธท
ี ำ
ปิ ดรำคำไว้ 100 บำท ขำยไป 85 บำท ลดรำคำ
15 บำท
ถ้ำตูเ้ ย็นปิ ดรำคำไว้ 9,400 บำท ขำยไป
100 9,x
400บำท

85
x
จริ
ง
จะได้
x
85
 9400
100
ขำยตูเ้ ย็นรำคำ
บำท
= 7,990
บำท
้ ขำยตูเ้ ย็นรำคำ 7,990 บำท
ด ังนัน
่
กำรเชือมโยง
จำนวนเต็ม
กับ
สมกำร
สมกำร หมำยถึง ประโยค
สัญลักษณ์ทกล่
ี่ ำวถึงควำมสัมพันธ ์
่ สญ
ของจำนวนซึงมี
ั ลักษณ์ “=”
บอกควำมสัมพันธ ์ระหว่ำงจำนวนว่ำ
้
่
กำรเชือมโยง
จำนวนเต็ม
กับ
สมกำร
คำตอบของสมกำร คือ จำนวน
่
เต็มทีแทนตั
วแปร
่
กำรเชือมโยงจำนวน
เต็
ม
กั
บ
สมกำร
ตัวอย่ำง
่ 21 ำตอบของสมกำร x + 12
จงหำค
ที
= 25
วิธท
ี ำ x + 12 = 25
นำ 10 แทนค่ำตัวแปรใน
สมกำร
จะได้ 10 + 12 = 25
22 = 25 สมกำร
ไม่เป็ นจริง
เนื่องจำก ถ้ำนำ 13 แทนค่ำตวั
แปรในสมกำร จะได้ 13 +
่
กำรเชือมโยงจำนวน
เต็ม
ตัวอย่ำงที่ กับสมกำร
จงหำคำตอบของสมกำร
22
3(y - 1) = 24วิธท
ี ำ 3(y1) = 24
เนื่ องจำก ถ้ำนำ 9
แทนค่ำตัวแปรในสมกำร
จะ
ได้ 3(9- 1) = 24
3 8 = 24
24 = 24
้ คำตอบของสมกำรคือ 9
ดังนัน
กำรเชือมโยง
จำนวนเต็ม
กับ
สมกำร
กำรแก้สมกำรเรำสำมำรถทำ
ได้โดย
กำรนำสมบัตข
ิ องกำรเท่ำกัน
กำรเชือมโยง
จำนวนเต็ม
กับ
สมกำร
สมบัตข
ิ องกำรเท่ำกันเป็ น
สมบัตข
ิ อง ระบบจำนวน
จริง เนื่ องจำกจำนวนเต็ม
เป็ นระบบย่อยของจำนวนจริง
่
กำรเชือมโยงจำนวน
เต็มกับสมกำร
สมบัตก
ิ ำรเท่ำกันของจำนวน
1.
สมบัตก
ิ ำรสมมำตร
ให้ a และ b เป็ นจำนวนเต็มใด ๆ
ถ้ำ a = b แล้ว b = a
เช่น 2 = -(-2) แล้ว –(-2) = 2
่
กำรเชือมโยงจำนวน
เต็มกับสมกำร
2. สมบัตก
ิ ำรถ่ำยทอด
ให้ a , b และ c เป็ นจำนวนเต็มใด ๆ
ถ้ำ a = b และ b = c แล้ว a = c
เช่น ถ้ำ x - 2 = 8 และ 8 = 2x แล้ว x
- 2 = 2x
3. สมบัตก
ิ ำรบวก
ให้ a , b และ c เป็ นจำนวนเต็มใด ๆ
ถ้ำ a = b แล้ว a + c = b + c
เช่น ถ้ำ 12 = 6x แล้ว 12 + 4 = 6x +
่
กำรเชือมโยงจำนวน
เต็มกับสมกำร
4. สมบัตก
ิ ำรคู ณ
ให้ a , b และ c เป็ นจำนวนเต็มใด ๆ
ถ้ำ a = b แล้ว ac = bc
เช่น ถ้ำ 6 = 3x แล้ว 6 x 3 = 3x x 3
่
กำรเชือมโยงจำนวน
เต็
ม
กับสมกำร
้
ขันตอนกำรหำคำตอบโจทย ์ปั ญหำ
่
1. อ่านข ้อมูลจากโจทย ์ว่าโจทย ์กาหนดสิงใดให
้มา
บ ้าง
่ โจทย
่
่ ่
2. สมมติตวั แปรแทนสิงที
์ต ้องการหาหรือสิงที
ไม่ทราบค่า
่ โจทย
่
3. หาความสัมพันธ ์ของสิงที
์กาหนดมาเขียน
เป็ นประโยคสัญลักษณ์
4. แก ้สมการตามวิธก
ี ารแก ้สมการ
5. ตรวจสอบคาตอบโดยการนาคาตอบของสมการ
่
กำรเชือมโยงจำนวน
เต็มกับสมกำร
่
ตัวอย่ำงที 23
่ั
นำรีซอฝร
ื้
งมำ
2 ชนิ ด รำคำ
รวมกัน 564 บำท โดยฝรง่ ั
ชนิ ดแรกรำคำผลละ 3 บำท
และ
่
ชนิ ดทีสองรำคำผลละ
7 บำท
ถ้ำจำนวนฝรง่ ั
้
่
กำรเชือมโยงจำนวน
เต็มกับสมกำร
บาท
วิธท
ี า
้ งชนิ
่ ั ดแรก
ให ้ซือฝร
x
้ งชนิ
่ ั ดทีสองมา
่
ดังนั้นซือฝร
108 – x
้ งมาผลละ
่ั
ซือฝร
3
บาท
้ งชนิ
่ ั ดแรก
เสียเงินซือฝร
3x
้ งมาผลละ
่ั
ซือฝร
3
บาท
้ งชนิ
่ ั ดทีสอง
่
และเสียเงินซือฝร
7(108 -
่
กำรเชือมโยงจำนวน
เต็มกับสมกำร
สามารถเขียนเป็ นประโยค
ั ลักษณ์ได ้
สญ
3x + 7 (108 - x) = 564 (การคูณแบบ
แจกแจง)
3x + 756 -7x = 564 (นาค่าตัวแปรมา
รวมกัน)
756 - 4x = 564
่
กำรเชือมโยงจำนวน
เต็มกับสมกำร
756 - 4x = 564
้
นำ (-564) มำบวกเข้ำทังสองข้
ำงของ
สมกำร (สมบัตก
ิ ำรบวก)
(756 - 4x ) + (-564) = 564 + (564)
192 - 4x = 0
่
กำรเชือมโยงจำนวน
เต็มกับสมกำร
192 - 4x = 0
้
นำ (-192) มำบวกเข้ำทังสองข้
ำง
ของสมกำร
(สมบัตก
ิ ำรบวก)
(192 - 4x ) + (-192) = 0 + (-192)
- 4x = -192
้
นำ -1 มำคู ณเข้ำทังสองข้
ำงของ
สมกำร
่
กำรเชื อมโยงจ ำนวน
เต็มกับนสมกำร
1
้
ำ ไปคู ณเข้ำทังสองข้
ำงของ
สมกำร4
1
1
192 
4x 
4
4 =
x = 48
้ ซือฝร
้
่ั
ดังนัน
งชนิ
ดแรก 144 บำท
้
่ั
่
และซือฝร
งชนิ
ดทีสอง
420
บำท
่
กำรเชื อมโยงจ ำนวน
เต็มกับสมกำร
ตรวจคำตอบ แทน x ด้วย 48 ใน
สมกำร
3x + 7 (108 - x) = 564
3(48) + 7 (108 - 48) = 564
144 + 420 = 564
564 = 564
่ ำ x = 48 ไปแทนค่ำในสมกำรแล้วทำให้
เมือน
คำตอบของสมกำรเป็ นจริง
่
กำรเชื อมโยงจ ำนวน
เต็
ม
กั
บ
อสมกำร
อสมกำร คือ ประโยคสัญลักษณ์ทมี
ี่ 


สัญลักษณ์ <,>, , หรือ บอก
ควำมสัมพันธ ์ระหว่ำงจำนวนโดยอำจมีตวั
แปรหรือไม่มต
ี ัวแปรก็ได้
< แทนควำมสัมพันธ ์ น้อยกว่ำ หรือไม่ถงึ
> แทนควำมสัมพันธ ์ มำกกว่ำ หรือเกิน
 แทนควำมสัมพันธ ์ น้อยกว่ำ หรือเท่ำกบั
แทนควำมสัมพันธ ์ มำกกว่ำ หรือเท่ำกับ
่
กำรเชื อมโยงจ ำนวน
เต็มกับอสมกำร
คำตอบของอสมกำร คือ จำนวน
่
ทีแทนต
ัวแปรในอสมกำรแล้วทำให้
อสมกำรเป็ นจริง
เช่น 8 เป็ นคำตอบของอสมกำร 3x-4 > 18
่
หรือไม่
เพรำะเมือแทนต
ัวแปร x ในอสมกำร
ด้วย 8 แล้วทำให้อสมกำรเป็ นจริง
2 เป็ นคำตอบของอสมกำร 3x-4 > 8
หรือไม่
่
่
กำรเชื อมโยงจ ำนวน
เต็มกับอสมกำร
คำตอบของอสมกำรอำจมีได้หลำย
ลักษณะ
เช่น 
 y 4 คำตอบคือ จำนวนเต็มทุกจำนวนที่
อสมกำร
น้อยกว่ำหรือเท่ำกับ 4
อสมกำร x 10 คำตอบคือ จำนวนเต็มทุกจำนวน
ยกเว้น 10
อสมกำร x+3 > x+1 คำตอบคือ จำนวนเต็มทุก
จำนวน
่
กำรเชื อมโยงจ ำนวน
เต็มกับอสมกำร
กำรแก้อสมกำรเรำสำมำรถ
ทำได้
โดยกำรนำสมบัตข
ิ องกำรไม่
เท่ำกันมำช่วยแก้อสมกำร
่
กำรเชื อมโยงจ ำนวน
เต็มกับอสมกำร
สมบัตข
ิ องกำรไม่เท่ำกัน
1. สมบัตกิ ารถ่ายทอด
ให ้ a , b และ c เป็ นจานวนเต็มใด ๆ ถ ้า a > b และ
2x้วa3> c
b > c แล
a = 2x , b = 3 , c = 5่
3  5  2x
เชน
2x
2x  5  2x
ดังนัน
้
่
กำรเชื อมโยงจ ำนวน
เต็มกับอสมกำร
2. สมบัตก
ิ ารบวกด ้วยจานวนทีเ่ ท่ากัน
ให ้ a , b และ c เป็ นจานวนเต็มใด ๆ ถ ้า a > b แล ้ว
a+c 2>x b+c
5
a = 2x , b = 5 , c =
่
เชน 2x   5  5   5
-5
2x  5  0
ดังนัน
้
่
กำรเชื อมโยงจ ำนวน
เต็มกับอสมกำร
3. สมบัตก
ิ ารคูณด ้วยจานวนทีเ่ ท่ากัน
ให ้ a , b และ c เป็ นจานวนเต็มใด ๆ
3.1 ถ ้า a > b และ c > 0 แล ้ว ac > bc
่3
เชxน
a=x,b=3,c=
x  2  3 2
2
ดังนัน
้ 2x  6
่
กำรเชื อมโยงจ ำนวน
เต็
ม
กั
บ
อสมกำร
3.2 ถ ้า a > b และ c < 0 แล ้ว ac < bc
5xน
่  10
เช
5x   2  10   2
ดังนัน
้ 10x  20
4.
a = 5x , b = 10 , c =
-2
สมบัตก
ิ ารตัดออกของการบวก
ให ้ a , b และ c เป็ นจานวนเต็มใด ๆ ถ ้า a+c > b+c
แล ้ว a >
12xb  2  25  2 a = 12x , b = 25 , c =
่  25
2
1เช
2xน
่
กำรเชื อมโยงจ ำนวน
เต็
ม
กั
บ
อสมกำร
สมบัตก
ิ ารตัดออกการคูณ
5.
ให ้ a , b และ c เป็ นจานวนเต็มใด ๆ
5.1 ถ ้า ac > bc และ c > 0 แล ้ว a > b
่
เชน
2x  3  5  3
a = 2x , b = 5 , c =
2x  5
3
5.2 ถ ้า ac > bc และ c < 0 แล ้ว a < b
่ (4x)  (12x)
เชน
a = 4x , b = 12x , c =
4x  (1)  12x  (1) -1
4x  12x
ดังนัน
้
่
กำรเชื อมโยงจ ำนวน
เต็
ม
กั
บ
อสมกำร
่ นจำนวนเต็ม
ต ัวอย่ำงที่ 24 จงหำคำตอบทีเป็
ของอสมกำร 4x-3 > 2x+3
4x-3 > 2x+3
้
นำ -2x มำบวกทังสองข้
ำงของอสมกำร
วิธท
ี ำ
4x-3-2x > 2x+3-2x
2x-3 > 3
่
กำรเชื อมโยงจ ำนวน
เต็มนำกั3บมำบวกทั
อสมกำร
้
งสองข้
ำงของอสมกำร
2x-3+3 > 3+3
2x > 6
้
นำ 1 มำคูณทังสองข้
ำงของอสมกำร
2
1
1
2x > 6 2
2
้
ดังนัน
x>3
่
ตอบ จำนวนเต็มทุกจำนวนทีมำกกว่
ำ3
่
กำรเชื อมโยงจ ำนวน
เต็มกับ่อสมกำร ่
ตัวอย่ำงที 25 จงหำคำตอบทีเป็ น
จำนวนเต็มของอสมกำร
x - 4 < 20
้
วิธท
ี ำ นำ 4 มำบวกทังสองข้
ำงของ
อสมกำร
จะได้ x – 4 + 4 < 20 + 4
้
ดังนัน
x < 24
่
่
ก ำ ร เ ชื อ มโ ย ง จ ำ น ว น
เต็มกับเลขยกกำลัง
บทนิ ยำม 1 ถ้ำ a เป็ นจำนวนเต็มใด ๆ และ
n เป็ นจำนวนเต็มบวก
“a ยกกำลัง n ” หรือ “a กำลัง n ” เขียน
แทนด้วย an
n
a  a a a ...  a
มีควำมหมำยดังนี ้
n ตัว
่ a เป็ นฐำน และ
เรียก an ว่ำ เลขยกกำลังทีมี
่
ก ำ ร เ ชื อ มโ ย ง จ ำ น ว น
เต็มกับเลขยกก
ำลั
ง
ตัวอย่ำง
่
ที
26ำนวนต่อไปนี ้
จงเขียนจ
ให้อยู ่ในรู ปของเลขยกกำลังที่
  
ฐำนเป็ นจำนวนเฉพำะ
1.) 2  2 2 2 2
2.) 25 5
3.) 625
่
ก ำ ร เ ชื อ มโ ย ง จ ำ น ว น
เต็มกับเลขยกกำลัง
1.) 2 2 2 2 2  2
5
2.) 5  5  5  5
4
3.) 5 5 5 5  5
3
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
ทฤษฎีบทพีทำโกร ัส
ทฤษฎีบทพีทำโกร ัส สำหร ับรู ป
่
สำมเหลียมมุ
มฉำกใด ๆ กำลัง
สองของควำมยำวของด้ำนตรง
ข้ำมมุมฉำกเท่ำกับผลบวกของ
กำลังสองของควำมยำวของ
ด้ำนประกอบมุมฉำก
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
ทฤษฎีบทพีทำโกร ัส
่
พิจำรณำ สำมเหลียมมุ
มฉำกที่
้
มีดำ้ นทังสำมยำว
a,b,c
หน่ วย ดังรู ป
c
a
b
a
c
b
รู ปที่ 2
ทฤษฎีพท
ี ำโกร ัส
่
c2 =จะได้
a2 +วำ่
จำกรู ปสำมเหลียมมุ
มฉำก
*ข้อสังเกต ด้ำนตรงข้ำมมุbม2ฉำก
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
ทฤษฎีบทพีทำโกร ัส
2 = a2 +
c
จำกทฤษฎีบทพีทำโกร ัสจะได้
2
b
่
ต ัวอย่ำง 27 กำหนดสำมเหลียมมุ
ม
C
ฉำก
b
a
ด ังรู ป
A
c
B
่ a = 12 , b =
จงหำค่ำ c เมือ
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
ทฤษฎีบทปี ทำโกร ัส
วิธ ี
ทำ
่
จำกรู ปสำมเหลียมมุ
มฉำกที่
กำหนดให้
จะได้ c2 = a2 + b2
= 122 + 52
= 144 + 25
13  13
1
69


2
c = 169
c =
=
c2
c = 13
หมำยเหตุ
้ ควำมยำวของด้
ดังนัน
c = 13 หน่ำวนไม่
ย เป็ นค่ำติด
ลบ
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
ทฤษฎีบทพีทำโกร ัส
จำนวนต่อไปนี ้ เป็ นตัวอย่ำง
่ น
จำนวนเลขชุดพีทำโกร ัสทีเป็
จำนวนเต็ม
1.) 3, 4, 5
25
20
2.) 5, 12, 13
3.) 6, 8, 10
4.) 7, 24,
5.) 9, 12, 15
6.) 12, 16,
่
กำรเชือมโยงจ ำนวนเต็ ม
กับกำรแปลง
ตัง้ แต่อดีตจนถึงปั จจุบน
ั มนุษย์ ได ้นา
รูปร่าง
้
รูปทรงต่าง ๆ เราอาจใชการแปลงมา
้
ประยุกต์ใชในการสร
้างงานต่าง ๆ
่ งานสถาปั ตยกรรม วิศวกรรม การ
เชน
ออกแบบ
ิ ปะต่าง ๆ
รวมไปถึงศล
่
กำรเชือมโยงจ ำนวนเต็ม
กับกำรแปลง
กำรแปลงทำงเรขำคณิ ตมี 3 แบบ
ได้แก่ กำรสะท้อน กำรหมุน และ
่
กำรเลือนขนำน
้
กำรแปลงทำงเรขำคณิ ตทังสำม
่ รูปร่ำงเหมือนกัน
แบบจะได้ภำพทีมี
และขนำดเดียวกันกับรู ปต้นแบบ
เสมอ
่
กำรเชือมโยงจ ำนวนเต็ม
กับกำรแปลง
ข้อตกลง การแปลงทางเรขาคณิ ต
มี 3 แบบ
แต่จะยกตัวอย่าง
่
เพียงแบบเดียว คือ การเลือนขนาน
่
กำรเชือมโยงจ ำนวนเต็ม
กับกำรแปลง
่
กำรแปลงโดยกำรเลือน
ขนำน
่
กำรเลือนขนำนบนระนำบ
่
เป็ นกำรแปลงทำงเรขำคณิ ตทีมี
่
กำรเลือนจุ
ดทุกจุดไปบนระนำบ
ตำมแนวเส้นตรงในทิศทำง
่ ำกัน
เดียวก ันและเป็ นระยะทำงทีเท่
่
กำรเชือมโยงจ ำนวนเต็ม
กับกำรแปลง
่
กำรเลือนขนำนมี
สมบัต ิ
ดังนี ้
่
1. สำมำรถเลือนรู
ปต้นแบบทับ
่ จำก กำรเลือน
่
ภำพทีได้
ขนำนได้สนิ ทโดยไม่ตอ
้ ง
พลิกรู ป
่ อม
่
2. ส่วนของเส้นตรงทีเชื
่
กำรเชือมโยงจ ำนวนเต็ม
กับกำรแปลง
3. ส่วนของเส้นตรงบนรู ป
่ จำกกำร
ต้นแบบและภำพทีได้
่
วนของ
เลือนขนำนของส่
้
เส้นตรงนัน
จะขนำนก ันและ
ยำวเท่ำกัน
ด ังต ัวอย่ำงต่อไปนี ้
่
กำรเชือมโยงจ ำนวนเต็ม
กับกำรแปลง
่ ABC อยู ่
ตัวอย่ำงที่ 28 รู ปสำมเหลียม
บนระนำบพิกด
ั ฉำกโดยมีพก
ิ ด
ั ดังนี ้
A(1, 1) , B(4, 1) และ C(3, 3)
่
่ ABC ด้วย
จงเลือนรู
ปสำมเหลียม
่
วิธก
ี ำรเลือนไปขวำตำมแนวแกน
X
เป็ นระยะ 5 หน่ วย
่
กำรเชือมโยงจ ำนวนเต็ ม
กับกำรแปลง
ดัง Y
รูป
C
C
A
0
B A
B
1 2 3 4 5 6 7 X
8 9 10
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็ ม
กับกำรแปลง
วิธท
ี ำ ถ ้าเลือ่ นสามเหลีย่ ม ABC ตามแนวแกน X
ไปทางขวาเป็ นระยะทาง
A
A
5 หน่วย จะได
้
B (1 + 5, 1) หรืBอ (6, 1)
A(1, 1)
C (4 + 5, 1) หรืC
B(4, 1)
อ (9, 1)
 B+C5, 3) หรือ (8, 3)
A(3
C(3, 3)
ดังนัน
้ สามเหลีย
่ ม
เป็ นรูปสามเหลีย
่ มทีจ
่ ากการ
เลือ
่ นขนาน สามเหลีย
่ ม ABC ตามแนวแกน X ไป
ทางขวาเป็ นระยะทาง 5 หน่วย ดังรูปต่อไปนี้
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
คู อ
่ ันดับและกรำฟ
ในชีวต
ิ ประจำวัน เรำมักจะพบ
สถำนกำรณ์ทกล่
ี่ ำวถึง
ควำมสัมพันธ ์ระหว่ำงปริมำณสอง
่ นจำนวนเต็มอยู ่เสมอ
ปริมำณทีเป็
เรำสำมำรถเขียนแสดงควำมสัมพันธ ์
้
เหล่ำนี ในรู
ปตำรำง แผนภำพ คู ่
้
่ ๆ
อ ันด ับ รวมทังกำรแสดงในรู
ปอืน
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
คู อ
่ ันดับและกรำฟ
คู อ
่ ันด ับ เป็ นกำรแสดงควำมสัมพันธ ์
ระหว่ำงปริมำณสองปริมำณ
ในคณิ ตศำสตร ์มักจะเขียนคู อ
่ น
ั ดับในรู ป (a
, b)
โดยที่ a เป็ นสมำชิกตัวหน้ำ และ b เป็ น
สมำชิกตัวหลัง
นิ ยำมกำรเท่ำกัน
( a , b ) และ ( b , a ) จะไม่เท่ำกัน
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
คู อ
่ ันดับและกรำฟ
กรำฟ คือ กำรแสดง
ควำมสัมพันธ ์ของคู อ
่ ันด ับ
ในชีวต
ิ ประจำว ันของเรำ มักจะ
่ นคู เ่ สมอ เช่น
่ เป็
พบสิงที
ควำมสัมพันธ ์ของพ่อ กับ ลู ก
พระอภัยมณี
สินสมุทร
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
คู อ
่ ันดับและกรำฟ
ตัวอย่ำงที่ 29 จงเขียนคูอ่ นั ดับแสดง
ควำมสัมพันธ ์ระหว่ำง จำนวนผักบุง้
้ ยนกรำฟ
และรำคำขำยพร ้อมทังเขี
ปริมำณผักบุง้ จีน รำคำขำย
2
(บำท)
(กำ) 1
2
4
3
6
4
8
5
10
่
กำรเชือมโยงจ
ำนวนเต็มกับ
คู อ
่ ันดับและกรำฟ
เขียนคู อ
่ น
ั ดับแสดงควำมสัมพันธ ์ระหว่ำง
้ (1, 2)
ดังนี
, (2,
, (3, 6) ,ก(4,
จ
ำนวนผั
กบุ
ง้ กั4)
บรำคำผั
บุง้ 8) , (5, 10)
ปริมำณ
ผักบุง้ จีน(กำ)
สมกำร
กำรวัด
้ ่
กำรหำพืนที
ผิวและ
ปริมำตร
กำร
จำนวนเต็ม
แปลง
้
่
กำรหำพืนทีผิว
และปริ
ม
ำตร
เป็ นกำรศึกษำกำรหำ
้ ผิ
่ วและปริมำตร
พืนที
ของรู ปทรงต่ำง ๆ ทำง
เรขำคณิ ตสองมิต ิ และ
สำมมิต ิ
้ ผิ
่ วและ
สู ตรกำรหำพืนที
ปริฐำน
มำตร
ส่วน
ด้
สู งำน
ฐำนข้ำง
่ วและปริมำตรของปริซม
้ ผิ
ึ
กำรหำพืนที
่
่
้ ผิ
่ ว
สีเหลี
ยมผื
นผ้ำ 
พืนที
้ ฐาน)+
่  พืนที
้ ผิ
่ วของ
ของปริซมึ รูปต่าง = (2 พืนที
้ ผิ
่ วข ้างของปริซมึ = เส ้นรอบรูปของ
ปริซมึ พืนที
ฐาน ความสูง


่
่
กำรหำปริมำตรของปริซม
ึ สีเหลี
ยมมุ
มฉำก
่
่  มฉำก
หรือทรงสีเหลี
ยมมุ
ฐำน
h
ควำม
้ ผิ
่ วและปริมำตรทรงกระบอก
กำรหำพืนที
r ร ัศมี
สู ง
2 rh
้ ผิ
่ วข้ำงของทรงกระบออก
พืนที
=
2

r
้
่
พืนทีฐำนของทรงกระบอก
=
้ ผิ
่ วของทรงกระบอก = (2 พืนที
้ ฐำน)+พื
่
้ ่
พืนที
นที
ผิวข้ำงของทรงกระบอก
 2 r 2  2 rh
 2 r  r  h 
2

r
h
และ ปริมำตรของทรงกระบอก
=
l สู ง
ตรง
h สู ง
ตรง
r ร ัศมี
้ ผิ
่ วและปริมำตรทรงกรวย
กำรหำพืนที
 rl =
้ ผิ
่ วข้ำงของทรงกรวย
พืนที
2

r
้ ฐำนของทรงกรวย
่
พืนที
=
้ ผิ
่ วของทรงกรวย
้ ผิ
่ วข้ำงของทรงกรวย
พืนที
= พืนที
2
 rl  r
้ ฐำนของทรงกรวย
่
+ พืนที
=
+
1 2
r h =
และ ปริมำตรของทรงกรวย
3
ตัวอย่ำงที่ 30 จงหำปริมำตรของทรง
่ เส้นผ่ำนศู นย ์กลำงฐำนยำว 6
กรวยซึงมี
เซนติเมตร และกรวยสู ง 7 เซนติเมตร
่
วิธท
ี ำ ร ัศมีของวงกลมที
=3
1 2 ฐำน
r h
3 เมตร
เซนติเมตร สู ง 7 เซนติ
1 22

 32  7
3 7 =
ปริมำตรทรงกรวย
=
เซนติเมตร
=
66
ลู กบำศก ์
้ ผิ
่ วและปริมำตร
กำรหำพืนที
่
เชือมโยงกั
บกำรวัด
่
่
ตัวอย่ำงที่ 31 ภำชนะใบหนึ่งมีฐำนเป็ นรู ปสีเหลี
ยมมุ
ม
ฉำก กว้ำง 20 เซนติเมตร
้
ยำว 30 เซนติเมตร และสู ง 50 เซนติเมตร ภำชนะใบนี จุ
่ ตร
น้ ำกีลิ
วิธท
ี ำ
หำปริมำตรของภำชนะ = ควำมกว้ำง x
ควำมยำว x ควำมสู ง
= 20 x 30 x 5030,000
1,000 ์เซนติเมตร
= 30,000 ลู กบำศก
1,000 ลู กบำศก ์เซนติเมตร = 1 ลิตร
30,000 ลู กบำศก ์เซนติเมตร =
= 30
้ ผิ
่ วและปริมำตร
กำรหำพืนที
่
เชือมโยงกั
บสมกำร
่
้ ผิ
่ วและ
ในเรืองกำรหำพื
นที
ปริมำตร เรำต้องอำศ ัยสมกำรมำ
่
ช่วยในกำรจัดรู ป เพือสะดวกในกำร
แก้สมกำรและกำรหำคำตอบ ดัง
ตัวอย่ำงต่อไปนี ้
้ ผิ
่ วและปริมำตร
กำรหำพืนที
่
เชือมโยงกั
บสมกำร
่
่
ตัวอย่ำงที่ 32 ภำชนะใส่น้ ำทรงสีเหลี
ยมมุ
มฉำก
3
่
ใบหนึ งกว้ำง 1.2 เมตร
ยำว
1.5 เมตร สู ง 80
4
เซนติเมตร มีน้ ำ ของภำชนะ จงหำว่ำต้อง
่ ตรจึงจะเต็มภำชนะ
เติมน้ ำอีกกีลิ
่
่
ยมมุ
มฉำกกว้ำง 1.2
วิธท
ี ำ ภำชนะใส่น้ำทรงสีเหลี
เมตร = 120 เซนติเมตร
ยำว 1.5 เมตร = 150
เซนติเมตร
้
่
กำรหำพืนทีผิวและปริมำตร
่
เชือมโยงกั
บ
สมกำร
หำปริมำตรของภำชนะ = ควำมกว้ำง x
ควำมยำว x ควำมสู ง
= 120 x 150
เซนติเมตร
=
เซนติเมตร
x 80 ลู กบำศก ์
1,440,000
1,000
3
1,440,000 ลู กบำศก ์
4
=
มีน้ ำอยู ่ในภำชนะ =
1,080 ลิตร
ต้องเติมน้ ำอีก
=
= 1,440
ลิตร
x 1,440 =
1,440 - 1,080 =
้ ผิ
่ วและปริมำตร
กำรหำพืนที
่
เชือมโยงกั
บกำรแปลง
กำรแปลงทำงเรขำคณิ ต
่
กล่ำวถึง ควำมเกียวข้
องกัน
ระหว่ำงรู ปเรขำคณิ ตก่อนกำร
แปลงและรู ปเรขำคณิ ตหลังกำร
แปลง เรำเรียกรู ปเรขำคณิ ตก่อน
กำรแปลงว่ำ รู ปต้นแบบ และ
เรียกรู ปเรขำคณิ ตหลังกำรแปลง
่ จำกกำรแปลง
ว่ำ ภำพ ทีได้
้
่
กำรหำพืนทีผิวและปริมำตร
่
เชือมโยงกับกำรแปลง
้ ่
ในกำรแก้โจทย ์ปั ญหำกำรหำพืนที
่
โดยใช้กำรเลือนขนำนและกำร
สะท้อน มำช่วยในกำรหำคำตอบ
่
มำแล้ว
ในเรืองกำรหมุ
น เรำก็
่
สำมำรถนำควำมรู ้เกียวก
ับกำรหมุน
มำช่วยหำคำตอบได้เช่นกัน ดัง
่
ต ัวอย่ำงทีจะอธิ
บำยด ังนี ้
้ ผิ
่ วและปริมำตร
กำรหำพืนที
่
เชือมโยงกั
บกำรแปลง
ต ัวอย่ำงที่ 33 กำหนด O เป็ นจุดศูนย ์กลำง
่ ร ัศมี OA ยำว 3
ของวงกลมทีมี
เซนติเมตร และมีวงกลมบรรจุอยู ่ใน
่ OA เป็ นเส้นผ่ำนศู นย ์กลำง
วงกลม O ทีมี
้ โดยประมำณของส่
่
จงหำพืนที
วนที่
แรเงำในรู ป
.
P
O
3
A
้ ผิ
่ วและปริมำตร
กำรหำพืนที
่
เชือมโยงกั
บกำรแปลง
แนวคิด จำกรู ปทีก่ ำหนดให้ได้วำ่ OA เป็ นเส้น
่ ัศมียำว 1.5
ผ่ำนศูนย ์กลำงของวงกลม ซึงร
่ จำรณำกำรหมุน รู ปทีแรเงำ
่
เซนติเมตร เมือพิ
้ บส่วนทีไม่
่ แร
รอบจุด O คำดคะเนได้วำ
่ รู ปนี ทั
่
เงำได้พอดี แสดงว่ำส่วนทีแรเงำมี
พนที
ื้ ่
่
้ ของ
่งของพืนที
่
โดยประมำณเป็ นครึงหนึ
วงกลม
.P O 3 A
่ ำหนดให้
ทีก
้ ผิ
่ วและปริมำตร
กำรหำพืนที
่
เชือมโยงกั
บกำรแปลง
จำกแนวคิด ทำได้ด ังนี ้
2
่
้

r
จำกสู ตรพืนทีของรู ปวงกลมเท่ำกับ
ร ัศมีของวงกลมเท่ำก ับ 3 เซนติเมตร
22
้
่
3
จะได้พนที
ื ของรู ปวงกลมประมำณ
7
1 22
้  14.1นที
้ ของส่
่
 ด ังนั
 9นพื
4
ตำรำงเซนติเมตร
ว
น
2 7
่
ทีแรเงำประมำณ
ตำรำงเซนติเมตร
ตอบ ประมำณ 14.14 ตำรำงเซนติเมตร
2
ทฤษฎีบทพีทำโกร ัส
เลขยกกำลัง
กำรวัด
่
เลขยกก ำลัง เชือมโยง
กับจำนวนเต็ม
จำกบทนิ ยำม 1 ถ้ำ a เป็ นจำนวนเต็มใด ๆ
และ n เป็ นจำนวนเต็มบวก
“a ยกกำลัง n ” หรือ “a กำลัง n ” เขียน
n
n
แทนด้
ว
ย
a
a  a a a ...  a
มีควำมหมำยด ังนี ้
n ตัว
่ a เป็ นฐำน และ
เรียก an ว่ำ เลขยกกำลังทีมี
่
เลขยกก ำลัง เชือมโยง
กั
บ
จ
ำนวนเต็
ม
ตัวอย่ำงที่ 34 จงหำว่ำเลขยกกำลัง
้
ต่อไปนี แทนจ
ำนวนใด
1.) 33
2
2.) 5343  3  33.)
7
 3  27
วิธท
ี า 1.
2. 5  5  5  5  5  625
4
3.
7  7  7  49
2
เ ล ข ย ก ก ำ ลั ง
่
เ ชื อ ม โ ย ง กั บ
เศษส่วน
เรำสำมำรถเขียน
เศษส่วนให้อยู ่ ในรู ป
ของเลขยกกำลังและ
สำมำรถหำค่ำได้ ดัง
่
ตัวอย่ำงทีจะอธิ
บำย
ดังต่อไปนี ้
่
เลขยกก ำลังเชือมโยง
กับ่ เศษส่วน
ตัวอย่ำงที 35 ถ้ำ x และ
=
ใด
วิธท
ี ำ
และ 3y = 27 แล้ว x + y เท่ำกับจำนวน
 1
 
 2
x
=
 1
 
 2
้
ด ังนัน
x
1
1
 
y แทนจำนวนเต็
มบวก
 
16
2
x
x
=
=
1
16
1 =
1 1
×
2 ×2 2
 1
 
 2
1
×2
4
4
x+y = 4+3 = 7
3y× = ×27
= 3
3y = 33
y = 3
3
3
เ ล ข ย ก ก ำ ลั ง
่
เชื อมโยงก บ
ั กำร
วัด
่
ในกำรศึกษำเรืองกำรวัด หน่ วย
้
ของกำรวัดนันไม่
อำจเป็ นจำนวน
เต็มได้ทุกกรณี อำจเป็ นเศษส่วน
่ ้
ทศนิ ยม หรือ อตรรกยะได้ ในทีนี
่
จะเชือมโยงไปยั
งเลขยกกำลัง
่
ซึงเรำจะพบเห็
นสัญลักษณ์ใน
่ ยกว่ำ
วิทยำศำสตร ์ ทีเรี
่
เลขยกกำลังเชือมโยง
กับกำรวัด
้
ตัวอย่ำงที่ 36 เสนลวดในสายไฟฟ้
าชนิด
หนึง่ มีหน ้าตัดเป็ นรูปวงกลม มีรัศมียาว 3.5 x
10-4 เมตร ถ ้าสายไฟฟ้ ายาว 5.8 x 103 เมตร
้ ้
จงหาปริมาตรของลวดเสนนี
(กาหนด   3.14 และปริมาตรของทรงกระบอก =
พืน
้ ทีฐ
่ าน x ความสู
ง)
2
r
พืน
้ ทีฐ
่ านได ้จากสูตรพืน
้ ทีว่ งกลม
สูตรพืน
้ ทีว่ งกลม =
คือ รัศมีของวงกลม
่
เลขยกก ำลัง เชือมโยง
กับกำรวัด
วิธท
ี า ปริมาตรของลวด = พืน
้ ทีข
่ องวงกลม
x ความสูง
=  x 3.5 x 10-4 x 3.5 x 10-4 x 5.8 x
103

=
3.14 x 3.52 x 5.8 x 10-5
=
223.097 x 10-5
ปริมาตรของลวด =
2.23097 x 10-3
เ ล ข ย ก ก ำ ลัง เ ชื่ อ มโ ย ง กับ
ทฤษฎีบทพีทำโกร ัส
เป็ นกำรศึกษำถึงกำรแสดงควำมสัมพันธ ์
ในเรขำคณิ ตแบบยุคลิด ระหว่ำงด้ำนทัง้
่
สำมของรู ปสำมเหลียมมุ
มฉำก
สู ตรทฤษฎีบทพีทำโกร ัส เขียนให้อยู ่ในรู ป
c2 = a2 + b2
c2 = a2 +b2
โดย
ำนตรงข้ำม
B BC = c แทนควำมยำวของด้
2
2
2
c = 4 +3
มุมฉำก
c
c2 =16+9
AB4 = a และ AC = bc2แทนควำมยำวของด้
ำ
น
= 25
ประกอบมุมฉำก
c = 25
A
3
C
c= 5
จำนวนเต็ม
ทศนิ ยม
กำรวัด
กำรประมำณค่ำ
้ ผิ
่ วและปริมำตร
พืนที
ัตรำส่วนและร ้อยละ
่
กำรประมำณค่ำเชือมโยง
กับจำนวนเต็ม
กำรปั ดเศษจำนวนเต็มใด ๆ ให้เป็ น
จำนวนเต็มสิบ จำนวนเต็มร ้อย หรือ
จำนวนเต็มพัน ฯลฯ
่
่ ด ทำโดยอำศ ัยหลักว่ำ
ทีใกล้
เคียงทีสุ
่ องกำรปั ดเศษอยู ่ระหว่ำง
จำนวนทีต้
่ นจำนวนเต็มสิบ
สองจำนวนทีเป็
จำนวนเต็มร ้อย หรือจำนวนเต็มพัน
่
กำรประมำณค่ำเชือมโยง
กับจำนวนเต็ม
ตัวอย่ำงที่ 37 จงประมาณค่า 43 ,
281 , 6,500, 91,200 ให ้เป็ นจานวน
เต็มทีใ่ กล ้เคียง
ิ
วิธท
ี า 43 ประมาณเป็ นจานวนเต็มสบ
คือ 40
281 ประมาณเป็ นจานวนเต็มร ้อยคือ
300
6,500 ประมาณเป็ นจานวนเต็มพันคือ
่
กำรประมำณค่ำเชือมโยง
กับจำนวนเต็ม
ต ัวอย่ำงที่ 38 จงประมาณค่าของ
4,152,367 ให ้เป็ นจานวนเต็มล ้าน เต็มแสน เต็ม
หมืน
่ เต็มพัน
วิธท
ี า 4,152,367 ประมาณเป็ นจานวนเต็มล ้าน
คือ 4,000,000
4,152,367 ประมาณเป็ นจานวนเต็มแสนคือ
4,200,000
4,152,367 ประมาณเป็ นจานวนเต็มหมืน
่ คือ
4,150,000
ก ำ ร ป ร ะ ม ำ ณ ค่ ำ
่
เชือมโยงกับกำรวัด
ในการปั ดเศษจานวนเต็มใด ๆ ให ้เป็ นจานวน
ิ จานวนเต็มร ้อย จานวนเต็มพัน หรือ
เต็มสบ
จานวนเต็มหมืน
่ ฯลฯ ทีใ่ กล ้เคียงทีส
่ ด
ุ ให ้
พิจารณาปั ดเศษจานวนในหลักถัดไปทาง
ขวามือ ถ ้าตา่ กว่า 5 ให ้ตัดทิง้ แต่ถ ้าตัง้ แต่ 5
ขึน
้ ไปให ้ปั ดขึน
้
่
กำรประมำณค่ำเชือมโยง
กับทศนิ ยม
ตัวอย่ำงที่ 39 จงปั ดเศษจานวน
ต่อไปนีใ้ ห ้เป็ นจานวนเต็ม
9.478
2) 9.578
วิ9ธ.478
ท
ี า 9
1)
2)
9.578  10
3)
12.706  13
3) 12.706
1)
น ้อยกว่า 5 ให ้ปั ดตัวเลขทศนิยมทุก
ตาแหน่งทิง้ จึงเป็ น 9
เท่ากับ 5 ให ้ปั ดขึน
้ เป็ น 1 เมือ
่ รวม
กับ 9 จึงเป็ น10
มากกว่า 5 ให ้ปั ดขึน
้ เป็ น 1 เมือ
่ รวม
กับ 12 จึงเป็ น 13
ก ำ ร ป ร ะ ม ำ ณ ค่ ำ
่
เชือมโยงกับกำรวัด
ในชีวต
ิ ประจำวัน เรำไม่อำจนำ
่
่ ว ัด ไปใช้ได้ใน
เครืองมื
อวัดทีใช้
ทุกสถำนที่ ทุกเวลำได้ เรำจึง
จำเป็ นต้องประมำณควำมยำวหรื
่
่ องกำร
อปริมำณสิงของต่
ำง ๆ ทีต้
ทรำบ ดังต่ออย่ำงต่อไปนี ้
ก ำ ร ป ร ะ ม ำ ณ ค่ ำ
่
เชือมโยงกับกำรวัด
ตัวอย่ำงที่ 40
่ ำหนดให้ ให้มห
จงหำควำมยำวรอบรู ปทีก
ี น่ วยเป็ นเมตร
โดยประมำณให้เป็ น
จำนวนเต็มหน่ วย
วิธท
ี ำ จำกรู ป กำหนดให้ 45 เมตร 20 เซนติเมตร มีคำ่ เป็ น
45.20 เมตร
70 เมตร 89 เซนติเมตร มีคำ
่ เป็ น 70.89 เมตร
23 เมตร 20 เซนติเมตร มีคำ
่ เป็ น 23.20 เมตร
่
่
ควำมยำวรอบรู ปสีเหลี
ยมด้
ำนไม่เท่ำมีคำ
่ เป็ น 45.20 + 70.89
่
กำรประมำณค่ำเชือมโยงกั
บ
อ ัตรำส่วนและร ้อยละ
่
ในกำรหำค่ำประมำณเพือหำ
คำตอบ
โดยใช้อ ัตรำส่วน
่
และร ้อยละเข้ำมำช่วยเพือหำ
่
้
คำตอบเกียวกั
บกำรซือขำย
ได้
่
ดังตัวอย่ำงทีจะอธิ
บำย
่
กำรประมำณค่ำเชือมโยงกับ
อ
ัตรำส่
ว
นและร
้อยละ
่
ตัวอย่ำงที 41 แอร์เครือ
่ งหนึง่ ปิ ดราคาขายไว ้ 9,492 บาท ถ ้า
ื้ เงินผ่อน
ซอ
ี ดอกเบีย
ต ้องเสย
้ 15% ของราคาขาย คิดเป็ นดอกเบีย
้ ประมาณ
กีบ
่ าท
วิธท
ี า
ี ดอกเบีย
เสย
้ 15 % ของราคาขาย
ี ดอกเบีย
จะได ้ว่รา
าคาขา
ราคาขาย
บาท เสย
้ 15 บาท
ย 100 100
9,492

=
ี ดอกเบีย
ราคาขาย
9,492 บาท เสย
้ X บาท
ดอกเบีย้
15
X
9492  15
100
X  1,423.8  1,424
100X = 9,492
X  x 15
่
กำรประมำณค่ำเชือมโยงกั
บ
้ ผิ
่ วและปริมำตร
พืนที
้
ต่อไปนี เป็ นกำรอธิบำยตัวอย่ำงของกำร
่ อมโยง
่
้ ผิ
่ วและ
ประมำณค่ำทีเชื
กับพืนที
ปริมำตร โดยใช้โจทย ์ปั ญหำในกำรหำ
คำตอบ
ดังตัวอย่ำงต่อไปนี ้
ตัวอย่ำงที่ 42
ิ ทรงกระบอกใบหนึง่ สูง 15
กระป๋ องออมสน
้ านศูนย์กลางของฐานยาว
เซนติเมตร เสนผ่
5.4 เซนติเมตร ต ้องการปิ ดกระดาษรอบข ้าง
้
กระป๋ องจะต ้องใชกระดาษอย่
างน ้อยกี่
ตารางเซนติเมตร
่
กำรประมำณค่ำเชือมโยงกั
บ
้ ผิ
่ วและปริมำตร
พืนที
วำดรู ปจำกโจทย ์กำหนด
2r
่
กำรประมำณค่ำเชือมโยงกั
บ
่ วและปริมำตร
้ ผิ
พืนที
วิธท
ี ำ จำกสู ตร พืน
้ ทีผ
่ วิ ข ้างของทรงกระบอก
2rh
้ านศู
54
. นย์กลางของฐานยาว
กระป๋ องมีเสนผ่
5.4
เซนติเมตร2
ิ
รัศมีของกระป๋ องออมสน
= 2.7
เซนติเมตร
ิ สูง
กระป๋ องออมสน
= 15
เซนติเมตร
ิ
พืน
้ ทีผ
่ วิ ข ้างของกระป๋ องออมสน
= 2  3.14
เลขยก
กำลัง
สมกำรเชิง
เส้นตัวแปร
เดียว
จำนว
นเต็ม
ก ำ
ร
วัด
ควำม
คล้ำย
ทฤษฎีบ ทพี
ทำโกร ัส
กำรวัด
กำรวัด เป็ นกำรหำปริมำณ
่ ำง ๆ เช่น กำรว ัด
ของสิงต่
ควำมยำว กำรจบ
ั เวลำ กำร
่ ั ้ ำหนัก
ว ัดอุณหภู ม ิ กำรชงน
้ และปริ
่
กำรว ัดพืนที
มำตร
่ ำง ๆ
กำรหำปริมำตรของสิงต่
และกำรบอกหน่ วยในกำรว ัด
่
กำรวัดเชือมโยงกับ
จำนวนเต็ม
มำตรำส่วนหน่ วยกำรวัด
1
หลา =
3
ฟุต
ได ้ว่า (1 หลา)2 = (3 ฟุต)2
1
ตารางหลา =
9
ตารางฟุต
ก ำ ร ว ั ด เ ชื่ อ มโ ย ง กั บ
จำนวนเต็ม
้ ่ 57 ตำรำงฟุ ต คิด
ตัวอย่ำงที่ 43 พืนที
่
่ ต
เป็ นกีตำรำงหลำและกี
ฟุ
้ ่ 9 ตำรำงฟุ ต
วิธท
ี ำ
เนื่ องจำกพืนที
9
57
เท่ำกับ 1 ตำรำงหลำ

1
x
้ ่ 57 ตำรำงฟุ ต มีก ี่
ต้องกำรทรำบว่ำพืนที
9x  57
ตำรำงหลำ
57
x 
สมมุต ิ x ตำรำงหลำ
9
x  63
.
63
.
่
กำรวัดเชือมโยงกั
บ
เลขยกกำลัง
มำตรำส่วนหน่ วย
กำรวัด
1
ม. = 100 ซม.
(1 ม. )3 = (100
ซม.)3
กำรวัด เชื่อมโยงกับ เลขย
กำลัง ่
้
ตัวอย่ำงที 44 ลู กบำศก ์นี มีป ริมำตร
่ กบำศก ์เซนติเมตร
กีลู
วิธท
ี า
2 ม. X 2 ม. X 2 ม. = 8 ลูกบาศก์เมตร
200 ซม. X 200 ซม. X 200 ซม. = 800 ลูกบาศก์
เซนติเมตร
=
เซนติเมตร
8
X
102 X 106 ลูกบาศก์
่
กำรวัดเชือมโยงกั
บทฤษฎี
บทพี่ ทำโกร
ัส
้
่
้
ตัวอย่ำงที 45
คู นำกว้ำง 8 เมตร ฝั งคู นำข้ำง
หนึ่ งสู งกว่ำอีกข้ำงหนึ่ ง 6 เมตร อยำกทรำบว่ำ
จะต้องใช้ไม้ยำวเท่ำไรจึงจะพำดสองฝั่ งคู น้ ำข้ำง
หนึ่ งไปยังอีกข้ำงหนึ่ งได้
วิธท
ี ำ จำกสู ตรทฤษฎีบทพีทำโกร ัส c2 = a2 + b2
กำหนดให้ x เป็ นควำมยำวไม้
จะได้
x2 = 82 + 62
x
ฝั่ งคู
ฝั่ งคู 6 ม.
x2 2
100
= 64 + 36
x
=
8 ม.
x
= 10
=
10  10
่
กำรวัดเชือมโยงกั
บ
ควำมคล้ำย
บทนิ ยำม 2 รูปสามเหลีย
่ ม
สองรูปทีค
่ ล ้ายกัน
ก็ตอ
่ เมือ
่ สามเหลีย
่ มสองรูป
นัน
้ มีขนาดของมุมเท่ากัน 3
มุม มุมต่อมุม
่
กำรวัด เชือมโยงกั
บ
ควำมคล้ำย
ในต ัวอย่ำงต่อไปนี ้ จะกล่ำวถึง
่
ควำมรู ้
ของรู ปสำมเหลียม
คล้ำย สำมำรถประยุกต ์ใช้ในกำรหำ
่ ควำมยำวมำก ๆ หรือระยะทำง
ระยะทีมี
่ เครืองมื
่
ทีใช้
อว ัดได้ยำก เช่น ควำมสู ง
ของอำคำร เสำไฟฟ้ำ ควำมกว้ำงของ
แม่น้ ำ เป็ นต้น
่
กำรว ด
ั เชือมโยงก บ
ั
ำง่ สูยง 6 ฟุต ยืนห่างจากเสา
ตัวอย่ำควำมคล้
งที่ 46 ชายคนหนึ
่ งพาดเงาของเสาไฟ
ไฟฟ้ า 8 หลา ดวงไฟด ้านบนสอ
ทอดไปยาวผ่านศรีษะของชายคนนีไ
้ ด ้พอดี ดวงไฟบน
เสาสูงจากพืน
้ กีฟ
่ ต
ุ
วิธท
ี ำ จากโจทย์สามารถสร ้างรู
ABC ~
ACปได
BC้ดังนี้

EBD
ED BD 1 หลา = 3 ฟุต
ดังนัน
้ 8 หลา = 24 ฟุต
AC 12+24
12
ฟุต
B
E
6
ฟุต
D
8
หลา
24 ฟุ ต
C
จะได ้
6

12
6  36
AC 
12
แทนค่า
กำรวัด เชื่อมโยงกับ สมกำร
เชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมกำรเชิงเส้นตัวแปรเดียว
่ ตวั แปรเดียว และเลขชี ้
คือ สมกำรทีมี
กำลังของตัวแปรเป็ น 1 เขียนให้อยู ่ในรู ป
่ a , b เป็ นค่ำคงตัว
ax +b = 0 เมือ
และ a 0
เช่น 2x+3 = 0
กำรวัด เชื่อมโยงกับ สมกำร
เชิงเส้นตัวแปรเดียว
้
ต่อไปนี จะเป็
นกำรยกตัวอย่ำงของ
สมกำรเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ต ัวอย่ำงที่ 47 ชยั ขีจ่ ักรยานยนต์ออก
จากศาลาหน ้าหมูบ
่ ้านไปตามถนนสาย
หนึง่ ด ้วยอัตราเร็ว 40 กิโลเมตรต่อชวั่ โมง
อีกหนึง่ ชวั่ โมงต่อมา ธีระขีร่ ถจักยานยนต์
่ เดียวกัน
ออกจากศาลาหน ้าหมูบ
่ ้านเชน
ั ไปด ้วย
และไปตามถนนสายเดียวกับทีช
่ ย
อัตราเร็ว 50 กิโลเมตรต่อชวั่ โมง จงหาว่า
่
กำรวัด เชือมโยงกั
บ สมกำร
เชิ
งเส้
ตัวแปรเดี
ย้าหมู
ว บ่ ้านเป็ นเวลา
วิ
ธท
ี ำ
ให ้ธีน
ระขีจ
่ ักยานออกจากศาลาหน
X
ชวั่ โมง
ั ขีร่ ถจักยานออกจากจุดเริม
ชย
่ ต ้นก่อนธีระหนึง่ ชวั่ โมง
้ ชย
ั ขีร่ ถออกจากจุดเริม
ด ังนัน
่ ต ้นเป็ นเวลานาน x + 1 ชวั่ โมง
ในเวลา x ชวั่ โมง ธีระขีร่ ถเป็ นระยะทาง 50x กิโลเมตร
ั ขีร่ ถเป็ นระยะทาง 40(x + 1)
ในเวลา x + 1 ชวั่ โมง ชย
กิโลเมตร
ั ไป 10 กิโลเมตร
เนือ
่ งจาก
ธีระขีร่ ถนาหน ้าชย
จะได ้เป็ นสมการ
50x - 40(x + 1) = 10
50x - 40x - 40 = 10
50x-40x
= 10 + 40
10x
= 50
X
= 5
่
่
้
กำรวัดเชือมโยงกบ
ั พืนที
ผิวและปริมำตร
ตรวจสอบ
แทนค่า x = 5 ในสมการ
50x - 40(x + 1) = 10
จะได ้ 50(5) - 40(5 + 1) = 10
250 – 240 = 10
10 = 10
ดังนัน
้ แทนค่า x = 5 ทาให ้สมการเป็ นจริง
้ ่
กำรวัด เชื่อมโยงกับ พื นที
ผิวและปริมำตร
เป็ นการหาพืน
้ ทีแ
่ ละปริมาตรของรูปทรงต่าง
ๆ ทางเรขาคณิต
ตัวอย่ำงที่ 48 ภาชนะใบหนึง่ มีรปู ทรงสเี่ หลีย่ มมุม
ฉาก กว ้าง 20 ซ.ม.
ยาว 30 ซ.ม. และสูง 50 ซ.ม. ภาชนะใบนีจ
้ น
ุ ้ ากีล
่ ต
ิ ร
่ ้ า = ความกว ้าง x ความ
วิธท
ี ำ ปริมาตรของภาชนะใสน
ยาว x ความสูง
= 20 x 30 x30,000
50
= 30,000 ลูก1,000
บาศก์เซนติเมตร
1,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร = 1 ลิตร
สมกำรเชิงเส้นตัวแปรเดีย
สมกำร ทฤษฎีบทพีทำโกร ัส
่
ส ม ก ำ ร เ ชื อ มโ ย ง
กั บ จ ำ น ว น เ ต็ ม
สมกำร คือ ประโยค
สัญลักษณ์ทมี
ี่
่
เครืองหมำย
เท่ำก ับ ( = )
สมกำรอำจมีต ัวแปร
หรือไม่มต
ี ัวแปรก้อได้
เช่น 5 + 4 = 9
x+1=2
่
สมกำรเชื อมโยง
กับจ่ ำนวนเต็ม
ในเรืองจำนวนเต็มสำมำรถ
เขียนให้อยู ่ในรู ปของสมกำรได้
่
เพือสะดวกในกำรหำค
ำตอบ
้ ดังตัวอย่ำง
และเข้ำใจมำกขึน
่
ทีจะกล่
ำวดังต่อไปนี ้
่
สมกำรเชือมโยงกับ
จ
ำนวนเต็
ม
ตัวอย่ำงที่ 49 แม่คำ้ ติดรำคำขำยส้มไว้กโิ ลกร ัมละ 40
้ มจำนวนหนึ่ ง ชงน
่ ั ้ ำหนักได้ 3
บำท นิ ดเลือกซือส้
กิโลกร ัมก ับ 8 ขีด แม่คำ้ คิดเงินค่ำส้มให้นิด อยำกทรำบ
ว่ำแม่คำ้ คิดรำคำส้มเป็ นเท่ำไร
วิธท
ี ำ
แม่คำ้ คิดเงินจำกน้ ำหนักส้ม 3 กิโลกร ัม 8
ขีด กิโลกร ัมละ 40 บำท
ประโยคสัญลักษณ์ (3 x 40)+(8 x 4) =
คิดเป็ นเงิน 120 + 32 = x
152 = x
้ แม่คำ้ คิดค่ำส้มเป็ นเงิน 152 บำท
ดังนัน
x
่
สมกำรเชือมโยง
กับสมกำรเชิงเส้นตัวแปร
เดียว
สมกำรเชิงเส้นตัวแปรเดียว
่ ตวั แปรเดียว และเลขชี ้
คือ สมกำรทีมี
กำลังของตัวแปรเป็ น 1 เขียนให้อยู ่
่ a , b เป็ นค่ำ
ในรู ป ax + b = 0 เมือ
คงตัว
และ a 0
่
สมกำรเชือมโยง
กับสมกำรเชิงเส้นตัว
แปรเดียว
ตัวอย่ำงที่ 50 บริเวณป่ าแห่งหนึง่ มีกลุม
่ ไก่ป่า
้
ฝูงหนึง่ และชางโขลงหนึ
ง่
ั ว์
อยูร่ วมกัน 475 ตัว ถ ้านับจานวนขาของสต
ทัง้ หมดได ้ 1,456 ขา
้
จงหาว่าบริเวณป่ าแห่งนีม
้ ไี ก่ป่า และชางอยู
่
รวมกันอย่างละกีต
่ วั
่
สมกำรเชือมโยง
กับสมกำรเชิงเส้นตัวแปร
เดี
ย
ว
วิธท
ี า ให ้ไก่ป่า x ตัว ไก่ป่าหนึ่ งตัวมี 2 ขา
ดังนั้น จานวนขาของไก่ป่ามี 2x ขา
จะมีช ้าง 475 – x ตัว ช ้างหนึ่ งตัวมี 4 ขา
ดังนั้น จานวนขาของช ้างมี 4(475 - x) ขา
จะได ้
2x + 4(475 - x) = 1,456
2x + 1,900 – 4x = 1,456
1,900 – 2x = 1,456
1,900 – 1,456 = 2x
444 = 2x
222 = x
่
สมกำรเชือมโยง
กับสมกำรเชิงเส้นตัวแปร
เดียว
ตรวจคำตอบ
ขาของไก่ป่า 2 x 222 = 444 ขา
้
ขาของชาง
4 x 253 = 1,012 ขา
้
รวมขาของไก่ป่าและขาของชางทั
ง้ หมดเป็ น
1,456 ขา เป็ นจริง
ดังนัน
้ บริเวณป่ าแห่งนีม
้ ไี ก่ป่า
222 ตัว
้ 475 – 222 = 253 ตัว
และมีชาง
่
สมกำรเชือมโยงก ับ
ทฤษฎีบทพีทำ
โกร ัส
ทฤษฎีบทพีทำโกร ัสเป็ นกำร
แสดงกำรเท่ำกัน
ของด้ำนตรงข้ำมมุมฉำกกำลัง
สองเท่ำกับผลบวกของกำลัง
่
สมกำรเชือมโยงกบ
ั ทฤษฎี
บ ท พี ท ำ โ ก ร ั ส
่ ABC จง
ตัวอย่ำงที่ 51 จำกรู ปสำมเหลียม
หำควำมยำวด้ำน AC
วิธท
ี ำ
A
17
B
15
x
C
จำกสู ตร c2 = a2 + b2
172 = x2 + 152
289 = x2 + 225
289 - 225 = x2
64 =x2 x2
64
=
8 8
=
x = 8
้
ดังนัน
ควำมยำวด้ำน AC = 8
จบแล้ว
ค่ะ