Transcript expo55 - WordPress.com

เลขยกกำลัง
ฟังก์ชนั เอ็กซ์โพเนนเชียล
โดย ครู ปรีชา หยีดน้ อย
โรงเรียนจุฬาภรณราชวิทยาลัย เชียงราย
1. เลขยกกำลัง
บทนิยาม เมื่อ a เป็ นจำนวนจริ งใดๆ และ n เป็ นจำนวนเต็มบวก
an หมำยถึง a  a  a  a  …..  a จำนวน n ตัว
เช่น
25 = 2  2  2  2  2
บทนิยาม a0 = 1 เมื่อ a เป็ นจำนวนจริ งใดๆ ที่ไม่เท่ำกับศูนย์
บทนิยาม a-n = 1/an เมื่อ a เป็ นจำนวนจริ งใดๆ ที่ไม่เท่ำกับศูนย์ และ n เป็ น
จำนวนเต็มบวก
เช่น
3-2 = 1/32 = 1/9
สมบัติของเลขยกกำลัง
ทฤษฎีบท เมื่อ a , b เป็ นจำนวนจริ งที่ไม่เป็ นศูนย์ และ m , n เป็ นจำนวนเต็ม
1) am.an = am+n
2) (am)n = amn
3) (ab)n = anbn
4) (a/b)n = an/bn
5) am/an = am-n
ตัวอย่ าง จงหำค่ำของ (2-3x2y4/2x-1)-2
2. รำกที่ n ในระบบจำนวนจริง และจำนวนจริงในรูปกรณฑ์
บทนิยาม เมื่อ x , y เป็ นจำนวนจริ ง y เป็ นรำกที่สองของ x ก็ต่อเมื่อ y2 = x
สมบัติของรากทีส่ อง
1)
2)
x. y 
x
y

xy
x
เมื่อ x  0 , y > 0
y
ตัวอย่าง จงหำค่ำของ
วิธีทา
เมื่อ x  0 , y  0
( 3  7 2 )( 5  4 2 )
( 3  7 2 )( 5  4 2 )
 15  12 2  35 2  28 ( 2 )
  41  23
2
2
3. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ
บทนิยาม เมื่อ a เป็ นจำนวนจริ ง n เป็ นจำนวนเต็มที่มำกกว่ำ 1 และ a มีรำกที่ n
1
an  n a
บทนิยาม เมื่อ a เป็ นจำนวนจริ ง p , q เป็ นจำนวนเต็มที่ (p,q) = 1 , q > 0 และ
1
a
q
R โดยที่ p < 0 แล้ว a ต้องไม่เป็ นศูนย์
a
p
1
q
q
 (a )
p
p
ตัวอย่ าง จงทำให้ส่วนไม่ติดกรณฑ์
or
a
2
3
5
q

q
a
p
4. ฟังก์ชนั เอกซ์โพเนนเชียล
บทนิยาม ฟังก์ชนั เอกซ์โพเนนเชียล คือ f = {(x,y)RR / y = ax , a>0 , a1}
y
ข้ อสั งเกต 1) กรำฟของ y = ax ผ่ำนจุด (0,1) เสมอ
2) ถ้ำ a > 1 แล้ว y = ax เป็ นฟังก์ชนั เพิ่ม
3) ถ้ำ 0 < a < 1 แล้ว y = ax เป็ นฟังก์ชนั ลด
4) y = ax เป็ นฟังก์ชนั 1-1 จำก R ไป R+
5) โดยสมบัติของฟังก์ชนั 1-1 จะได้ ax = ay ก็ต่อเมื่อ x = y
5. ฟังก์ชนั ลอกำริทึม
จำก f = {(x,y) RR / y = ax , a>0 , a1} ซึ่งเป็ นฟังก์ชนั 1-1 จำก R ไป R+
จึงมีฟังก์ชนั อินเวอร์สคือ f-1 = {(x,y) R+R / x = ay , a>0 , a1}
จำก x = ay สำมำรถเขียนในรู ป y = f(x) ได้ โดยกำหนดเป็ น y = logax
เช่น 9 = 32 เขียนในรู ปลอกำริ ทึมเป็ น 2 = log39
32 = 25 เขียนในรู ปลอกำริ ทึมเป็ น 5 = log232
บทนิยาม ฟังก์ชนั ลอกำริ ทึมคือฟังก์ชนั ที่เขียนอยูใ่ นรู ป
f = {(x,y) R+R / y = logax , a>0 , a1}
เช่น
y = log2x , f(x) = log5x
y
x
ข้ อสั งเกต 1) กรำฟของ y = logax ผ่ำนจุด (1,0) เสมอ
2) ถ้ำ a > 1 แล้ว y = logax เป็ นฟังก์ชนั เพิ่ม
ถ้ำ 0 < a < 1 แล้ว y = logax เป็ นฟังก์ชนั ลด
3) y = logax เป็ นฟังก์ชนั 1-1 จำก R+ ไปทัว่ ถึง R
4) โดยสมบัติของฟังก์ชนั 1-1 จะได้ logax = logay ก็ต่อเมื่อ x = y
สมบัติของลอกำริทึม
เมื่อ a , M , N เป็ นจำนวนจริ งบวกที่ a 1 และ k เป็ นจำนวนจริ ง
1) logaMN = logaM + logaN
2) loga M/ N = logaM – logaN
3) loga Mk = k logaM
4) loga a = 1
5) loga 1 = 0
6) logakM = 1/k logaM
7) logb a = 1/ logab
6. กำรหำค่ำของลอกำริทึม
ลอการิทึมสามัญ หมำยถึงลอกำริ ทึมฐำน 10 ซึ่งนิยมเขียนโดยไม่มีฐำนกำกับ
เช่น
log107 เขียนแทนด้วย log 7
log1015 เขียนแทนด้วย log 15
พิจำรณำค่ำของลอกำริ ทึมของจำนวนเต็มที่สำมำรถเขียนในรู ป 10n เมื่อ n I
log 10 = log 101 = 1
log 100 = log 102 = 2
log 1000 = log 103 = 3
ดังนั้น log 10n = n
จำนวนจริ งบวก N ใดๆ สำมำรถเขียนในรู ป N0x10n ได้เสมอ เมื่อ 1 < N0<10
และ n เป็ นจำนวนเต็ม
เนื่องจำก
ดังนั้น
N = N0x10n
log N = log (N0x10n)
= log N0+ log 10n
= log N0 + n
log N0 เรี ยกว่ำ แมนทิสซำ (mantissa) ของ log N
n เรี ยกว่ำ แคแรกเทอริ สติก (characteristic) ของ log N
ตัวอย่ าง จงหำค่ำของ log 4520 พร้อมทั้งบอก แมนทิสซำและแคแรกเทอริ สติก
วิธีทา เนื่องจำก
log 4520 = log (4.52x103)
= log 4.52 + log 103
= 0.6551 + 3
= 3.6542
ดังนั้น
log 4510 = 3.6551
แมนทิสซำของ log 4520 คือ 0.6551
แคแรกเทอริ สติกของ log 4520 คือ 3
แอนติลอกำริทึม
ตัวอย่ าง กำหนดให้ log N = 2.5159 จงหำค่ำ N
วิธีทา เนื่องจำก
log N = 2.5159
= 0.5159 + 2
= log 3.28 + log 102
= log (3.28x102)
= log 328
ดังนั้น
N = 328
7. การเปลี่ยนฐานของลอการิทึม
กำหนดให้
y = logbx
จะได้
x = by
loga x = loga by
loga x = y loga b
ดังนั้น
y =
log a x
log a b
logbx =
log a x
log a b
ตัวอย่าง จงหำค่ำของ log224
ลอกำริทึมธรรมชำติ (Natural logarithms)
ลอกำริ ทึมธรรมชำติ คือลอกำริ ทึมฐำน e เมื่อ e เป็ นสัญลักษณ์แทนจำนวนอตรรกยะ
ซึ่ งมีค่ำประมำณ 2.7182818 หรื อเรี ยกอีกอย่ำงหนึ่งว่ำ “ลอการิทมึ แบบเนเปี ยร์ ” (Napierian
Logarithms) ในกำรเขียนลอกำริ ทึมธรรมชำติจะไม่นิยมเขียนฐำนกำกับ ดังนี้
logex เขียนแทนด้วย ln x
loge3 เขียนแทนด้วย ln 3
loge20 เขียนแทนด้วย ln 20
กำรหำค่ำลอกำริ ทึมธรรมชำติทำได้โดยกำรเปลี่ยนฐำนให้เป็ นลอกำริ ทึมสำมัญ
ซึ่ ง log e = log 2.7182818 = 0.4343
ตัวอย่าง จงหำค่ำของ ln 25
8. สมการเอ็กซ์โพเนนเชียลและสมการลอการิทึม
สมการเอ็กซ์ โพเนนเชียล คือสมกำรที่มีตวั แปรเป็ นเลขชี้กำลัง ในกำรหำคำตอบของสมกำร
ทำได้โดยใช้สมบัติของฟั งก์ชนั เอ็กซ์โพเนนเชียลและสมบัติของฟั งก์ชนั ลอกำริ ทึม
ตัวอย่าง จงหำเซตคำตอบของสมกำร 2x.22x+1 = 4x-2
วิธีทา
2x+2x+1 = (22)x-2
23x+1 = 22x-4
จะได้
3x+1 = 2x-4
x = -5
ดังนั้น คำตอบของสมกำร คือ {-5}
ตัวอย่าง จงหำเซตคำตอบของสมกำร 4x + 2x+1 – 24 = 0
สมการลอการิทมึ คือสมกำรที่มีลอกำริ ทึมของตัวแปร กำรหำคำตอบของสมกำรทำได้
โดยใช้สมบัติของฟังก์ชนั ลอกำริ ทึม
ตัวอย่าง จงหำเซตคำตอบของสมกำร log2(x-2) + log2(x-3) = 1
วิธีทา
log2(x-2) + log2(x-3) = 1
log2(x-2)(x-3) = log22
จะได้
(x-2)(x-3) = 2
x2- 5x + 4 = 0
(x-1)(x-4) = 0
x = 1,4
ดังนั้น คำตอบของสมกำร คือ {4} เพรำะว่ำ เมื่อตรวจคำตอบ x = 1 หำค่ำไม่ได้