Transcript pptx

2301520 Fundamentals of AMCS



คำนิยำม ให้ f(t) เป็ นฟั งก์ชนั ของ t บนช่วง (a,b) จะได้ วำ่ สมการอนุพนั ธ์
สามัญคือสมกำรที่เกี่ยวข้ องกับ t, ฟั งก์ชนั f(t), และอนุพนั ธ์ของ f(t)
เรำมักจะแทนฟั งก์ชนั f(t) ด้ วย y ใน ODE
dy
ตัวอย่ำง
dt
y  0
t

y e
2
ty
4
dy
1

2
2
dt
1t
3
 2y   ty    t
2

สมกำรเชิงอนุพนั ธ์เชิงเส้ น (linear differential equation) เป็ น
สมกำรเชิงอนุพนั ธ์ที่อยูใ่ นรูปของ
an t  y n  t   an 1 t  y n 1 t  

 a1 t  y  t   a0 t  y t   g t 
ถ้ ำเขียนสมกำรเชิงอนุพนั ธ์แบบข้ ำงบนไม่ได้ เรำจะเรี ยกว่ำเป็ นสมกำรเชิงอนุพนั ธ์ไม่
เชิงเส้ น (non-linear differential equation)
3

ผลเฉลย (Solution) ของสมกำรเชิงอนุพนั ธ์บนช่วง t∈(a,b) คือฟั งก์ชนั
y(t) ที่ทำให้ สมกำรเชิงอนุพนั ธ์ดงั กล่ำวเป็ นจริ งเมื่อ t∈(a,b)

3
2

ตัวอย่ำง จงแสดงว่ำ y x   x

จริ งๆแล้ วสมกำรจำกตัวอย่ำงนี ้มีผลเฉลยมำกกว่ำหนึง่ ตัวอย่ำงผลเฉลยอืน่ ๆ คือ
เป็ นผลเฉลยของ
4x 2y   12xy   3y  0 สำหรับ x  0

1
2
y x   x ,

3
2
y x   9x ,
y x   7x

1
2
เป็ นต้ น
4

เงื่อนไขเริ่ มต้ น (initial condition(s)) คือเงื่อนไขหรื อเซตของเงื่อนไขที่
บอกค่ำของผลเฉลยหรื อค่ำของอนุพนั ธ์ของผลเฉลย ณ จุดใดจุดหนึง่ โดยเฉพำะ
เงื่อนไขเริ่ มต้ นจะเขียนอยูใ่ นรูป
y t 0   y 0

และ/หรื อ
ตัวอย่ำง จงแสดงว่ำ y x   x

3
2
y k  t 0   yk
เป็ นผลเฉลยของ
1
3
4x y   12xy   3y  0, y  4   , y   4   
8
64
2
5

ช่วงควำมสมเหตุสมผล (interval of validity) ของปั ญหำสมกำรเชิง
อนุพนั ธ์ที่มีเงื่อนไขเริ่ มต้ น (initial value problem) คือช่วงที่ใหญ่
ที่สดุ ที่เป็ นไปได้ โดยที่ผลเฉลยที่ได้ ยงั คงสมเหตุสมผลและช่วงดังกล่ำวต้ องรวมค่ำ t 0
อยูด่ ้ วย
6

ผลเฉลยเฉพำะ (particular solution) ของสมกำรเชิงอนุพนั ธ์คือผล
เฉลยที่ไม่มีตวั คงค่ำ arbitrary constant และสอดคล้ องกับเงื่อนไข
เริ่ มต้ น
7


ผลเฉลยทัว่ ไป (general solution) ของสมกำรเชิงอนุพนั ธ์ คือผลเฉลยที่
มีตวั คงค่ำ arbitrary constant โดยไม่คำนึงถึงเงื่อนไขเริ่มต้ น
ผลเฉลยทัว่ ไปเป็ นผลเฉลยที่อยูใ่ นรูปทัว่ ไปมำกที่สดุ และสำมำรถแปลงเป็ นผลเฉลย
เฉพำะได้ ทกุ ๆ ผลเฉลยเมื่อกำหนดค่ำให้ arbitrary constant
8

ผลเฉลยชัดแจง (explicit solution) คือผลเฉลยในรูป
y  f t 

ผลเฉลยโดยปริ ยำย (implicit solution) คือผลเฉลยในรูป
f y , t   0
9

โดยทัว่ ไปแล้ วสมกำรเชิงอนุพนั ธ์อนั ดับหนึง่ ในรูปแบบทัว่ ไปที่สดุ จะเขียนได้ เป็ น
dy
 f y , t 
dt

ซึง่ ไม่มีสตู รทัว่ ไปสำหรับผลเฉลย
มีสมกำรเชิงอนุพนั ธ์อนั ดังหนึง่ ในรูปแบบพิเศษบำงกรณีที่มีสตู รในกำรหำผลเฉลย
อย่ำงเช่น
dy
◦ Linear Equations
dt
 p  t  y  g t 
dy
 M t 
◦ Separable Equations N y 
dt
dy
◦ Exact Equations M t , y   N t , y 
0
dt
10

โดยทัว่ ไปแล้ วสมกำรเชิงอนุพนั ธ์อนั ดับสองในรูปแบบทัว่ ไปที่สดุ จะเขียนได้ เป็ น
p t  y   q t  y   r t  y  g t 

ถ้ ำ g t   0 เรำเรี ยกสมกำรเชิงอนุพนั ธ์นี ้ว่ำเป็ นสมกำร
homogeneous ถ้ ำไม่ใช่ จะเรี ยกว่ำเป็ นสมกำร
nonhomogeneous
11


บำงครัง้ เรำไม่สำมำรถหำผลเฉลยที่อยูใ่ นรูปแบบที่ชดั เจนได้ แต่เรำสำมำรถดู
พฤติกรรมของผลเฉลยโดยกำรวำดกรำฟ Direction Fields ได้
ตัวอย่ำง
y  x  y
12
13