Transcript دانلود
فصل :7منطق فازی و استدالل تقریبی
منطق گزارهها
منطقهای چند ارزشی
متغیرهای زبانی
متغیر زبانی درستی
متغیر زبانی احتمالی
منطق فازی
استدالل تقریبی
قوانین مقدماتی استنتاج فازی
قانون قیاس استثنای ی تعمیم یافته )(GMP
استنتاج فازی به وسیله قوانین ترکیبی استنتاج )(CRI
استنتاج فازی به روش مقایسه الگو )(PM
منطق گزارهها
یک حوزه منطق ،منطق گزارهها نام دارد که با گزارهها یعنی عباراتی که راست و یا دروغ‌اند سروکار دارد.
اصطالح
معنی
نماد
نقیض A
چنین نیست کهA
~A
ترکیب عطفی Aو B
AوB
A B
ترکیب فصلی Aو B
AوB
A B
ترکیب شرطی Aو B
اگر Aانگاه B
AB
ترکیب دو شرطی Aو B
Aفقط اگر B
AB
جدول :1رابطههای مهم در منطق کالسیک
A B A B A B
A B
B
A
T
T
T
T
T
T
F
F
T
F
F
T
F
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
F
جدول :2جدول درستی چهار رابطه مهم
تعریف :1یک صورت گزارهای ،یک راستگو (تناقض) است اگر به ازاء هر ارزش‌دهی به متغیرهای گزارهای ان ،ارزش )0( 1داشته باشد.
مثال:
چند راستگو هستند و
A ~ Aو A ~ ~ Aو A B A
یک تناقض است.
A ~ A
نامعتبر A1
, A2 , , A n A
است اگر بتوان یک نوع ارزش‌دهی بـرای متغیرهای گزارهای ان یافت
تعریف :2صـورت استدال لـی
به طوری که هر یک از
ز,ش،AFn
باشد .در غیر این صورت استدالل معتبر است.
AAدار,ای ار
دارای ارزش Tباشند ولی 1
تنها قاعده استنتاج در این دستگاه ،قاعده قیاس استثنای ی در قالب روبرو است.
p1 : A B
p2 : A
_________
B
* مثال زیر هر چند از لحاظ شهودی استدالل فوق پذیرفتنی است ،ولی این استدالل در چارچوب منطق گزارهها پذیرفتنی نیست.
هر انسانی فانی است.
سقراط انسان است.
پس ،سقراط فانی است.
به طور خالصه دو تفاوت مهم با حالت‌های قبل داریم.
.1استفاده از محمول .توضیح انکه هر گزاره ساده ،یک موضوع و یک محمول دارد .موضوع چیزی است که گزاره درباره ان چیزی را
بیان میکند و محمول به خاصیتی از موضوع مربوط میشود .در گزاره سقراط انسان است” ،سقراط“ موضوع و ”انسان است“
مثال با ) A(sنشان داد که در ان
محمول گزاره می‌باشد .می‌توان گامی در جهت نمادین شدن برداشت و جمله سقراط انسان است را ا
Aیک حرف محمولی است که بجای ”انسان است“ و sبجای ”سقراط“ قرار گرفته است.
.2استفاده از قید ”هر“ ،که ان را سور عمومی می‌نامیم و با نماد نشان می‌دهیم .البته یک سور دیگر هم داریم که سور وجودی نام
دارد که همان قید «بعضی» است و معنی «حداقل یکی» را می‌دهد و با نماد نشان داده میشود .با این توضیح که با در نظر گرفتن
فوق اینگونه
Aبرای محمول ”انسان است“ و Bبجای فانی است و sبجای سقراط و xدر مقام یک متغیر ،صورت استداللی
میشود.
x ; A x B x
As
_________
B s
منطقهای چند ارزشی
لوکاسیویچ
↔
→
V
Λ
b
a
1
1
0
0
0
0
½
1
½
0
½
0
0
1
1
0
1
0
½
½
½
0
0
½
1
1
½
½
½
½
½
1
1
½
1
½
0
0
1
0
0
1
½
½
1
½
½
1
1
1
1
1
1
1
جدول :1جدول تعریف رابطها برای منطق سه
ارزشی لوکاسیویچ
منطق دو ارزشی و سه ارزشی وتعمیم ان
•
•
•
•
•
برخی راستگوهای منطق دو ارزشی در حالت سه ارزشی راستگو نیستند
مثال .)a=1/2
قوانین شمول ) (aΛ~a=0و طرد ) (aV~a=1در منطق سه ارزشی برقرار نیستند ( ا
نیمه راستگو (نیمه تناقض) گزاره ای است که به ازای هر ارزش دهی به متغیرهای ان ،حاصل عبارت ارزش 1یا ½ ( 0یا
½) داشته باشد.
برای هر ،n≥3منطق -nارزشی تعمیمی از منطق دو و سه ارزشی است بطوریکه‌ارزش درستی هر گزاره با عدد گویایــی از
بازه [1و ]0تعیین می شود.
منطق چند ارزشی لوکاسویچ (استاندارد لوکاسویچ) :در این منطق درجات درستی گزاره ها از مجموعه Tnانتخاب می شوند.
و رابطهای منطقی بصورت زیر تعریف شده اند:
•
0
1
2
n 2 n 1
Tn 0
,
,
,...,
,
1
n
1
n
1
n
1
n
1
n
1
~a = 1 – a
)a Λ b = min (a, b
)a → b = min (1, 1+b – a
)a V b = max (a, b
|a ↔ b = 1 – |a – b
منطق چند ارزشی لوکاسویچ وقتی ∞→ ،nبا نظریه مجموعه های فازی برپایه عملگرهای minو maxو متمم معمولی یکریخت
است.
متغیرهای زبانی
می گوییم :در جامعه ای با میزان باسوادی باال ،ناهنجاریهای اجتماعی کم است؛
نمی گوییم :در جامعه ای با میزان باسوادی ببیشتر از ،٪90ناهنجاریهای اجتماعی در کمتر از ٪23افراد جامعه
مشاهده می شود؛
می گوییم :افراد‌سنگین‌وز ن بیشتر از‌افراد‌کم‌وز ن در‌معرض‌ایست‌قلبی‌هستند؛
نمی گوییم :افراد سنگین تر از 100کیلوگرم ،دو برابر ونیم بیشتر از افراد زیر 70کیلوگرم در معرض ایست قلبی
هستند؛
تعریف متغیر معمولی
تعریف :1سه‌تایــی‌مرتب)) (X , U , R (X ; uبطوریکه:
• Xنام‌متغیر
• Uزیر‌مجموعه‌مرجع
• ) R(X ; uیک‌زیرمجموعه‌از Uاست‌که‌به‌عنوان‌تحدیدی‌بر‌مقادیری‌از Uکه Xمیتواند‌انها
را‌اختیار‌کند،عمل‌میکند.
مثال :فرض‌کنید Xمتغیر‌طول‌قد‌برای‌انسانها‌باشد‌و) U=(0,250و
] R(X)=[100,150در‌این‌صورت) R(Xنشان‌دهنده‌تمام‌انسانهایــی‌است‌که‌طول‌قد
انها‌حداقل 100و‌حداکـثر 150سانتیمتر‌باشد،دقت‌کنید‌که) R(Xیک‌تحدید‌برای‌مجموعه
ا
بعالوه‌این‌تحدید‌کامال‌مشخص‌و‌معین‌است.
مقادیری‌است‌که Xمیتواند‌در Uاختیار‌کند.
تعریف متغیر زبانی
تعریف:2
پنج تایــی مرتب ) (X,T(X),U,G,Mبطوریکه:
• Xنام متغیر
• Uمجموعه مرجع
• ) T(Xمجموعه ِترمهای مربوط به متغیر Xاست
• ترم ،یک مجموعه فازی است که توسط قاعده نحوی Gتولید میشود
• Mیک قاعده معنای ی است که به هر ترم ) T(Xمعنای ان را مربوط میسازد ،یعنی تابع عضویت
ان ترم را مشخص میکند.
مثال :فرض کنید ،Xمتغیر زبانی طول قد باشد و ] ،U=[0,250ترم‌های این متغیر زبانی که هر کدام یک زیرمجموعه فازی از U
هستند می‌توانند چنین باشند :بلند ،کوتاه ،خیلی بلند ،نه خیلی بلند و . ...بنابراین ) T(Xدر اینجا به صورت زیر است ،که البته در
حالت کلی میتواند توسط یک قاعده ) G(Xبطورمنظم تولید شود.
}، ...نه‌خیلی‌بلند،خیلی‌بلند،کوتاه،بلند{=)طول‌قد(T
مثال برای ترم ” :Aبلند“ ،می‌توان تابع عضویت
) M(Xقاعده‌ای است که ترم ،معنایــی را به صورت یک تابع عضویت از Uمی‌بخشد .ا
زیر را در نظر گرفت
})={(u , A(u)) , u Uبلند(M
که در ان
0 u 150
150 u 250
0
2 1
Au u 150
1
30
متغیر زبانی درستی
• در منطق ∞-ارزشی مقدار درستی گزارهای میتواند بطور پیوسته از [1و ]0انتخاب شود.
• مقادیر درستی گزارهها خود مقادیر زبانی هستند یعنی با متغیر زبانی درستی سر وکار داریم .مجموعه
ترم‌های ان میتواند به صورت زیر باشد:
کامال درست ،خیلی درست ،نادرست ،درست} = (درستی) T
{ ،...نه درست نه نادرست ،... ،ا
•
•
•
•
مثال درست توسط مجموعه‌ی فازی
مجموعه مرجع [1وU=]0است .برای نمونه یک عضو از (درستی) Tا
از [1وI-]0تعریف میشود که بستگی به زمینه‌ی کاربرد ان دارد.
تعریف بالدوین از ترم ”درست“ تابع همانی است ،یعنی A(u) = u
تقریبا درست“ را با ½)) (A(uتعریف میکند.
بالدوین ترم‌های ”خیلی درست“ را با (A(u))2و ” ا
مثال اگر درجه درستی گزارهای 8/0باشد ان گزاره به اندازه 64/0خیلی درست و به اندازه 89/0ا
تقریبا
ا
درست است.
تعریف زاده :
تابع عضویت برای ترم ” =Aدرست“ :
0ua
150 u 250
a 1
u 1
2
شکل :3ترم‌های ”درست“ و
”نادرست“ ( )a = 6/0بر اساس دو
تعریف مختلف بالدوین و زاده .ترم
نادرست بصورت متمم ترم درست
تعریف شده است.
0
u a 2
Au 2
1 a
2
u
1
1
1 a
منطق‌کالسیک‌یا‌منطق∞-ارزشی
مقدار‌درستی‌گزاره”افراد‌چاق،خونسردند“ زیاد‌است
مقدار‌درستی‌گزاره”افراد‌خونسرد،صبورند“ ا
تقریبا‌درست‌است
مقدار‌درستی‌گزاره”افراد‌چاق،صبورند“ کم‌و‌بیش‌درست‌است
• استنتاج زیر در قالب منطق کالسیک و حتی منطق ∞-ارزشی نمی‌گنجد ،اما با استفاده از متغیر زبانی
درستی می‌توان بسیاری از گزارهها و استنتاج‌ها را مانند استنتاج فوق صورت‌بندی و تحلیل کرد.
متغیر زبانی احتمالی
تعریف :3یک قید زبانی ،عملگر ی است که معنای یک ترم (مجموعه فاز ی) را تغییر می‌دهد .اگر Aیک ترم باشد و mیک قید زبانی،
انگاه ) B= m(Aیک ترم مرکب است که نتیجه اعمال قید mبر ترم Aاست.
الگوهای ریاضی رایج برای قیدهای زبانی :
تعمیم چهار عمل اصلی برای اعداد فازی
CON Au A2 u
) (concentrationتمرکز
DIL Au Au
گسترش یا اتساع
1
2
1
2
0 Au
1
Au 1
2
2
2 A u
INT Au
1 21 Au 2
)(dilatation
تشدید
)(Intensification
الگوهای قبل به این نحو استفاده می‌شوند که چنانچه Aیک ترم (مجموعه فاز ی) باشد ،انگاه داریم :
)) Very (A) = CON (Aخیلی (A
)) more or less A = DIL (Aکم و بیش (A
) plus A = A1.25بیش از (A
])not (very A
) slightly = INT [ Plus Aکمی (A
تعریف :4متغیر زبانی Xرا ساختیافته گوییم اگر مجموعه ) T(Xو معانی ترم‌های ان را بتوان توسط یک الگوریتم ،مشخص کرد.
شکل 2توابع‌سازگاری‌چند‌ترم‌از‌متغیر‌زبانی«احتمال»
مثال :فرض کنید Xمتغیر طول قد باشد و ] U=[0,250و ترم (مجموعه فازی) بلند قد که ان را با Aنشان می‌دهیم با تابع سازگاری
(عضویت) زیر تعریف شده باشد.
0 u 150
150 u 250
0
1
u u Au u 150 2
1
بلند‌قد
30
در این صورت ترم‌های (مجموعه‌های فازی) بیانگر طول قد ”خیلی بلند“ و ”کم و بیش بلند“ دارای توابع سازگاری (عضویت) زیر خواهند بود
0 u 150
150 u 250
0 u 150
150 u 250
0
2
very A Con A u 150 2
خیلی‌بلند
1
30
0
1
2
more or less A DIL A u 150 2
1
کم‌و‌بیش‌بلند
30
شکل 3نمودار‌توابع‌سازگاری(عضویت) بلند،خیلی‌بلند‌و‌کم‌و‌بیش‌بلند‌مربوط‌به‌مثال‌قبل
منطق فازی
ویژگی‌ها و سیمای اصلی منطق فازی که ان را از سیستم‌های منطق کالسیک جدا میسازد ،به شرح زیر است:
.1در سیستم‌های منطق دو ارزشی ،یک گزاره یا درست است و یا نادرست .در منطقهای چند ارزشی ،هر گزاره میتواند درست یا
نادرست باشد و یا یک مقدار درستی میانه داشته باشد که این مقدار درستی میتواند عضوی از یک مجموعه متناهی یا نامتناهی مقادیر
مثال «خیلی
معموال ] )T= [0,1باشد .اما در منطق فازی مقادیر درستی ،زیرمجموعه‌های فازی از ] [0,1هستند .ا
درستی ( Tا
درست» یک مقدار درستی در منطق فاز ی است که به وسیله یک زیر مجموعه فاز ی از ] [0,1تعریف و توصیف میشود .تابع
عضویت این مجموعه فازی را که در موارد متفاوت می‌توان مختلف تعریف کرد ،تابع سازگاری ”خیلی درست“ نیز می‌گوییم.
.2در منطقهای کالسیک ،محمول‌ها باید کامال معین باشند .یعنی زیرمجموعه‌هایــی مشخص (غیرفازی) از مجموعه مرجع باشند .مانند:
مثال :بزرگ ،سالم ،بلند ،سبک. ... ،
بزرگـتر از ،10فانی ،پدر ... ،؛ در حالی که در منطق فازی ،محمول‌ها می‌توانند فازی باشند ا
.3در منطقهای کالسیک تنها دو سور عمومی و وجودی داریم .که به ترتیب بیانگر همه و بعضی (حداقل یکی) است .در مقابل ،در
منطق فاز ی می‌توانیم از سورهای فاز ی استفاده کنیم مانند :اکـثر ،خیلی ،بندرت ،خیلی کم. ... ،
.4در منطق کالسیک تنها قیدی که معنای یک گزاره را تغییر می‌دهد قید نفی (نه ،چنین نیست که) است .اما در منطق فاز ی می‌توان از
قیدهای فازی برای تعدیل و تشدید و ، ...و به طور کلی تغییر معنای گزارهها استفاده کرد .مانند قیدهای خیلی ،کم و بیش ،کمی،
خیلی خیلی. ... ،
.5منطق کالسیک یک وجه توصیفی دارد که همان وجه درستی گزاره‌هاست و هر گزاره یا استنتاج از جنبه درستی سنجیده میشود .در
حالی که در منطق فازی سه وجه توصیفی به شرح زیر دارد:
تقریبا درست است.
.aتوصیف درستی .مانند انکه بگوییم :گزاره ” :Pاحمد جوان است ،“.ا
در اینجا گزاره Pبه وسیله یک توصیف درستی ارزیابی شده است.
تقریبا محتمل است.
.bتوصیف احتمالی .مانند انکه بگوییم :گزاره ” :Pاحمد جوان است “.ا
در اینجا گزاره Pبه وسیله یک توصیف احتمالی ارزیابی شده است.
.cتوصیف امکانی .مانند انکه بگوییم :گزاره ” :Pاحمد جوان است “.خیلی ممکن است.
در اینجا گزاره Pبه وسیله یک توصیف امکانی ارزیابی شده است.
استدالل تقریبی
مقدمه:
اگر A،xباشد،انگاه B،yاست.
مشاهده:
A،xاست.
نتیجه:
B،yاست.
قوانین مقدماتی استنتاج فازی
قانون استلزام
مثال:
مریم‌خیلی‌جوان‌است.
خیلی‌جوان‌زیر‌مجموعه‌جوان‌است.
نتیجه :مریم‌جوان‌است.
X is A
A B
_____
X is B
قانون عطف
مثال:
هوا‌خیلی‌گرم‌نیست.
و‌هوا‌خیلی‌سرد‌نیست.
X is A
and X is B
_________
X is A B
نتیجه :هوا‌نه‌خیلی‌گرم‌است‌و‌نه‌خیلی‌س رد
قانون فصل
مثال:
فشار‌خیلی‌زیاد‌است.
یا‌‌‌‌‌‌فشار‌خیلی‌کم‌است.
نتیجه :فشار،خیلی‌زیاد‌یا‌خیلی‌کم‌است.
X is A
or X is B
_________
X is A B
X is A
قانون حاصلضرب دکارتی
Y is B
_________
مثال:
فشار‌زیاد‌است.
دما‌متوسط‌است.
X , Y is A B
نتیجه( :فشار‌و‌دما)،متوسط× زیاد‌است.
X , Y is R
قانون تصویر
_________
X is R X
مثال:
) (X,Yنزدیک‌به) (7,3است.
نتیجه X :نزدیک‌به 7است.
X , Y is R
قانون ترکیب
مثال:
هوای‌کوهرنگ‌بسیار‌سردتر‌از‌هوای‌شهرکرد‌است.
هوای‌شهرکرد‌سرد‌است.
Y is B
_________
X is B R
نتیجه :هوای‌کوهرنگ‌بسیار‌سردتر Oسرد‌است.
not X is A
_________
X is A
قانون نفی
مثال:
چنین‌نیست‌که‌فشار‌باال‌است.
نتیجه :فشار‌باال‌نیست.
قانون (اصل) گسترش
که در ان Aیک مجموعه فاز ی در Uبه صورت زیر
X is A
___________
f X is f A
1
n
2
A
,
, ,
u2
un
u1
و ) f(Aنیز به صورت مجموعه فاز ی زیر است
n
2
f A 1 ,
, ,
f u2
f un
f u1
مثال:
Xکوچک‌است.
نتیجه)2،X2 :کوچک( است.
قانون قیاس استثنای ی تعمیم یافته )(GMP
مثال:
if X is A then Y is B
:مقدمه
X is A
:مشاهده
Y is B
:نتیجه
مقدمه:
اگر‌فشار‌بیش‌از 10باشد،انگاه‌دما‌بیش‌از 65°است.
مشاهده:
فشار‌بیش‌از 10است.
نتیجه:
دما‌بیش‌از 65°است.
(CRI) استنتاج فازی به وسیله قانون ترکیبی استنتاج
P1 : if X is A then Y is B
P2 : X is A*
Y is B* , B* = A* O R = A* O (A × B)
مثال :قانون فازی P1و مشاهده P2به صورت زیر داده شده‌اند
:P1اگر در یک روز هوا بارانی ) (Aباشد؛ ان شب هوا مرطوب ) (Bاست.
:P2امروز هوا نیمه بارانی )* (Aاست.
که در ان مجموعه‌های فازی (توزیع‌های امکان) بیانگر = Aهوای بارانی و = Bهوای مرطوب و * = Aهوای نیمه بارانی از
مجموعه‌های مرجع Uو Vزیر می‌باشند .برای سادگی ،مجموعه‌های مرجع را گسسته اختیار کرده‌ایم .بنابراین فرض کنید هر مقدار
بارندگی و یا درجه رطوبت به نزدیک‌ترین عدد از مجموعه مرجع خود گرد شود.
مجموعه‌مرجع‌میزان‌بارندگی
U 0 , 5 , 10 , 15 , 20
V 25 , 50 , 75 , 100
0 0.3 0.6 0.8 1
A ,
,
,
,
0
5
10
15
20
0.1 0.4 0.7 0.9
B
,
,
,
25 50 75 100
0.1 0.4 1 0.4 0.1
A
,
, ,
,
0 5 10 15 20
*
مجموعه‌مرجع‌درجه‌رطوبت
بارانی
مرطوب
مشاهده(نیمه‌بارانی)
حال می‌خواهیم درباره میزان رطوبت هوای امشب استنتاجی انجام دهیم .یعنی یافتن یک مجموعه فازی * Bاز Vکه گزاره نتیجه زیر را
کامل کند.
امشب‌هوا (B*) ....است.
بر اساس رابطه B* = A* O Rباید ابتدا Rو انگاه A* O Rرا بیابیم .همانطور که گـفته شد انتخاب‌های مختلفی برای رابطه
استلزام Rو عملگر ترکیب Oدر A*O Rپیشنهاد شده است .ما در اینجا از دو عملگر رایج minو productاستفاده کرده
* Bرا محاسبه می‌کنیم.
min
product
0.1 0.4 0.6 0.6
B*
,
,
,
25
50
75
100
0.06 0.24 0.42 0.54
*
B
,
,
,
75 100
25 50
استنتاج فازي به روش مقايسه الگو ()PM
P1 : if X is A then Y is B
*P2 : X is A
*Y is B
الف) روش‌افزايش‌تابع‌عضويت:
B* min 1, B(v) / SM
ب) روش‌کاهش‌تابع‌عضويت:
B* T B(v), SM
که‌در‌ان
• Tيک-Tنرم‌مناسب‌به‌ويژه‌ضرب‌است.
• SMميزان‌مشابهت Aو* Aيا‌ميزان‌زيرمجموعگي* Aدر Aاست.
ميزان مشابهت برحسب فاصله
تعریف :1فرض کنید Aو Bدو زیر مجموعه فازی (تعریف شده در mنقطه) از مجموعه مرجع متناهی گسسته Xباشند .فاصله Aو
Bبه صورت زیر تعریف میشود
1
p
1
P
DM A , B A x Bx
m xX
که در حالت خاص برای P = 2به صورت فاصله اقلیدسی در می‌اید
1
2
همچنین اندازه دیگری برای فاصله Aو Bبه صورت زیر تعریف میشود
1
2
DM A , B Ax B x
m xX
DM A , B 1 sup T A( x), B( x)
x
که در ان -Tنرم دلخواه را می‌توان به کار برد.
تعریف :2با مفروضات تعریف پیشین ،اندازه مشابهت Aو Bبه صورت تابعی معکوس از فاصله Aو ،Bو یا مکمل ان،
تعریف میشود .یعنی
SM A , B 1
1 DM A , B
یا
SM A , B 1 DM A , B
که با استفاده از رابطه سوم در تعریف قبل برای برای اندازه فاصله ،رابطه قبل بدین صورت در می‌اید:
SM A , B sup T Ax , Bx
x
مثال :فرض کنید } X={ 1 , 2 , … , 10و دو مجموعه فازی Aو Bاز Xبه صورت زیر تعریف شوند.
1 0.8 0.6 0.4 0.2
A ,
,
,
,
1
2
3
4
5
1 0.4 0.7 1 0.7 0.4 0.1
B ,
,
, ,
,
,
2
3
4
5
6
7
8
بنابر رابطه یک از تعریف یک داریم:
1
2
1
2
2
DM A , B A1 B1 A8 B8
8
1
1
1.71
2
1 , , 0.01
0.21
8
8
همچنین از رابطه دو از تعریف یک و با در نظر گرفتن عملگر minبه جای -Tنرم داریم
DM A , B 1 sup minAx , Bx
x
1 sup 0 , 0.1 , , 0 1 0.4 0.6
x
ميزان زيرمجموعگي
تعریف :3با مفروضات تعریف 1میزان زیرمجموعگی Aدر Bبه صورت زیر تعریف میشود
A B
A
Q A , B
که در ان | |Aعدد اصلی مجموعه Aاست.
همچنین میزان فوق مجموعگی Aنسبت به ،Bبه صورت متمم میزان زیرمجموعگی تعریف میشود .یعنی
O A , B 1 Q A , B
از تعریف زیرمجموعگی معلوم میشود که در حالت خاص‌که
.= Q(B , A) = 0
داریمA
B،
Q(A,B)=1و نیز اگر
A Q(A
) B , B
.انگاه
مثال :برای دو مجموعه Aو Bبه صورت زیر داریم:
1 0.8 0.6 0.4 0.2
A ,
,
,
,
1 2 3 4 5
1 0.4 0.7 1 0.7 0.4 0.1
B ,
,
, ,
,
,
2
3
4
5
6
7
8
0.1 0.4 0.4 0.2
A B
,
,
,
2
3
4
5
و
A B 0.1 0.2 1.1
و
و لذا
زیر مجموعگی Aدر B
فوق مجموعگی Aنسبت به B
1.1
0.37
3
A 1 0.2 3
A B
A
Q A , B
O A , B 1 0.37 0.63
یعنی مجموعه Aبه اندازه 0.37زیرمجموعه Bاست و بالعکس مجموعه Bبه اندازه 0.63فوق مجموعه Aاست.