Transcript Secciones Cónicas

Secciones
Cónicas
María del Coral Alicia González Rebollo
Rafael Pastor de la Fuente
Pilar Tejedor Martín
José Daniel Orzáez Hernández
SE LLAMAN SECCIONES CÓNICAS PORQUE
PROVIENEN DE LA INTERSECCIÓN DE UN
CONO CON UN PLANO.
1. CIRCUNFERENCIA:
Es el lugar geométrico de los puntos
del plano cuya distancia a otro punto
llamado CENTRO es constante, a
dicha distancia se llama RADIO.
Ejercicio:
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene
centro
en el punto C=(3,0) y cuyo radio mide 3cm.
La ecuación de la circunferencia de centro (a,b)
Y radio r en forma REDUCIDA es:
x  a    y  b 
2
2
 r2  0
La ecuación de la circunferencia en forma
DESARROLADA es:
x 2  y 2  Dx  Ey  F  0
Ecuación reducida.
x  a2   y  b2  r 2  0
 D E
Centro  (a, b)    , 
 2 2
D2 E 2
Radio r 

F
4
4
Ecuación desarrollada.
x 2  y 2  Dx  Ey  F  0
Posición relativa “RECTA y CIRCUNFERENCIA”:
Para estudiar la posición se resuelve el sistema
de ecuaciones.
Paso 1: despejamos de la lineal.
Paso 2: sustituimos en la no lineal
Ejercicio:
Estudia la posición relativa de la recta r:x-y+5=0
y la circunferencia x²+y²-6x+8y-25=0
Posición relativa “DOS CIRCUNFERENCIAS”:
Paso
Paso
Paso
Paso
1:
2:
3:
4:
Calculamos la distancia entre los centros.
Calculamos la suma de los radios.
Calculamos la resta de los radios.
Aplicamos la tabla siguiente.
Ejercicio:
Estudia la posición relativa de las circunferencias:
C1: x²+y²-6x+8y-25=0
C2: x²+y²-1=0
POTENCIA:
Se cumple que:
PA PB '

PB PA '
Esto es lo mismo que:
PA  PA'  PB  PB '
Es decir:
PA  PA'  cte
A esta constante la
llamamos POTENCIA del
punto P respecto de la
circunferencia C.
Para calcular la potencia de un punto respecto
a C, hay que sustituir el punto en C.
La potencia sirve para saber la posición relativa
entre un punto y una circunferencia:
PotC P  0  punto exterior.
PotC P  0  punto en circunferencia.
PotC P  0  punto dentro.
Ejercicio:
Estudia la posición de P(-3,2), Q(0,6) y R=(1,2) respecto
de C: x²+y²-6y=0
Ejercicio:
Estudia para qué valores de m el punto P=(5,m) es
interior , exterior o perteneciente a la circunferencia
C: x²+y²-4x-4y-17=0
Calcula el lugar geométrico del plano que tienen la
misma potencia respecto de las circunferencias
C1:x²+y²-4x-4y-17=0
C2: x²+y²+1=0
EJE RADICAL:
Es el lugar geométrico de los puntos del plano
que tienen la misma potencia respecto a las dos
circunferencias:
Propiedades del eje radical:
1.-Es perpendicular a la recta que une los
centros.
2.-Pasa por el punto medio de las tangentes
exteriores comunes.
3.-Si las circunferencias son secantes pasa por los
puntos de corte.
4.-Si son tangentes, el eje radical es tangente en
el punto de tangencia.
Ejercicio:
Halla el centro radical de las circunferencias siguientes:
C1: x²+y²=16
C2: x²+y²-2x+4y-4=0
C3: x²+y²+6x-6y+14=0
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene por
centro el punto C(1,4) y es tangente a la recta 3x+4y4=0.
Calcula la ecuación de una circunferencia concéntrica a
C: 4x²+4y²-24x+4y+33=0
y cuyo radio mide la mitad.
Ejercicio:
Calcula el eje radical de las circunferencias:
C1: x²+y²-4x+2y+4=0
C2: x²+(y-3)²=4
C3:2 x²+2y²+8x-24=0
Calcula la posición relativa de la circunferencia :
C1: 2x²+2y²-6x-6y+7=0
Con las circunferencia:
C2: x²+y²-2x-3y+3=0
C3: x²+y²=-1/4
C4: 2x²+2y²=5
C5: x²+y²-3y+2=0
LA RUEDA:
Todo el peso se apoya en el suelo
sobre un punto. La superficie de
rozamiento es mínima.
La primera rueda de la que se tiene constancia se
encontró en un grabado de Mesopotamia en el 3.500
A.C.
LA NORIA:
EL ARO:
EL ANILLO:
Podemos relacionar el radio “r” o diámetro del
anillo con la medida del dedo “L”.
2r  L
L
r
2
d
L

ESPIRAL:
Podemos construir una espiral, en la
naturaleza se encuentra en el
caparazón de algunos moluscos.
DISCO DURO:
Podemos calcular la velocidad
de giro.
RUEDA DE PALETAS:
Para generar energía no contaminante.
Para las ruedas de molino.
LA POLEA:
Cambia la dirección de la fuerza
aplicada a un objeto.
PARALELOS Y MERIDIANOS:
Para localizar situaciones y medir distancias.
La longitud de un arco es el radio por el
ángulo.
2  r m etros
2 rad
 rad
l
l  r 
2. PARÁBOLA:
Lugar geométrico de los puntos que
equidistan de un punto llamado foco
y de una recta llamada directriz.
Los puntos de la
parábola cumplen:
d ( P, F )  d ( P, d )
2
p
p

x  y   y
2
2

2
Simplificando esta ecuación queda:
x2  2 px
La parábola en otros casos:
Ejercicio:
Ejercicios 13y 14 pag 145.
Ejercicios 36,37,38,39,40 pag 152 y153.
LOGO DE MARCA COMERCIAL
PUENTES:
TRAYECTORIAS DE PROYECTILES:
PISTAS DE PATINAJE
NAVES ESPACIALES
CIUDAD Y ARTES DE LAS CIENCIAS
(VALENCIA)
3. ELIPSE:
Es el lugar geométrico de los puntos
del plano tales que la suma de sus
distancias a dos puntos llamados
focos es constante.
La elipse cumple que la
suma de las distancias
de cada foco al punto
P es siempre la misma:
PF  PF'  2a
Ecuación fundamental de la elipse: a 2  b 2  c 2
La excentricidad de la elipse es:
c
e
a
Si e=0 es una circunferencia
Si e= 1 es una recta
e SIEMPRE ESTÁ ENTRE 0 Y 1
( x  c )  y  ( x  c )  y  2a
Operando y reduciendo lo máximo posible nos
queda:
PF  PF'  2a
a
2
2

2
2

c x b y  a a c
2
2
2
2
2
2
x2 y 2
 2 1
2
a
b
Esta es la ecuación reducida de la
elipse.
2

2
La elipse en otros casos:
Ejercicio:
Ejercicios 15 y 16 pag 147.
Ejercicios 45,46,47,48,49,50 pag 153.
ANFITEATROS:
El anfiteatro de Pompeya.
LA CASA BLANCA:
Plaza elíptica.
CIRCUNFERENCIAS:
Vistas en perspectiva.
LEY DE KEPLER:
Determina la velocidad
de los planetas.
CLOUD GATE ELIPSE
Arte en las calles de
Chicago.
FELICE VARINI
Arte y geometría.
4. HIPÉRBOLA:
Es el lugar geométrico de los puntos
del plano tales que la diferencia de
sus distancias a dos puntos llamados
focos es constante.
En este caso:
PF  PF'  2a
Ecuación fundamental de la hipérbola: c 2  a 2  b 2
La excentricidad de la elipse es:
c
e
a
Si e= 1 es una recta
e SIEMPRE ES MAYOR QUE 1
Las asíntotas de la hipérbola son:
b
y x
a
b
y x
a
( x  c )  y  ( x  c )  y  2a
Operando y reduciendo lo máximo posible nos
queda:
PF  PF'  2a
c
2
2

2
2

a x a y  a c a
2
2
2
2
2
2
x2 y2
 2 1
2
a
b
Esta es la ecuación reducida de la
hipérbola.
2

2
La hipérbola en otros casos:
Ejercicio:
Ejercicios 17 y 18 pag 149.
Ejercicios 41,42,43,44 pag 152 y 153.
TORRE DE AERPUERTO
Aeropuerto de
Barcelona.
CHIMENEAS EN CENTRALES TÉRMICAS
INTERFERENCIAS DE GOTAS DE AGUA
BÓBEDAS DE LA SAGRADA FAMILIA:
Fin
La excentricidad mide lo
“achatada” que está la
elipse, cuanto más cerca
de uno está su valor, más
achatada está.
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