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SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN 2º CURSO ITOP
AFINIDAD
AFINIDAD HOMOLÓGICA ORTOGONAL (ABATIMIENTO)
AFINIDAD HOMOLÓGICA OBLICUA GENERAL
Una afinidad está determinada si conocemos el eje de afinidad, y un par de puntos
afines (con lo que, uniéndolos, conoceremos la dirección de afinidad).
OTRAS FORMAS DE DEFINIR LA AFINIDAD
Dando tres pares de puntos afines
(Naturalmente las tres rectas que los unen resultarán paralelas).
Dando dos pares de rectas afines.
PROPIEDADES DE LA AFINIDAD
1.
Si un punto M1 divide a un
segmento A1 B1en una relación
determinada el segmento afín A2 B2
queda dividido por el punto M2, afín
de M1, en la misma relación anterior
(Teorema
de
Thales).
Por
consiguiente el punto medio de un
segmento se transforma en el punto
medio del segmento afín.
2.
Las rectas paralelas tienen por
afines rectas que también son
paralelas
3.
Si una recta t1 es tangente a una
curva C1 la afín t2 de esa recta
también es tangente a la curva afín
C2. Los puntos T1 y T2 de contacto
de las respectivas tangentes son
también afines y, por consiguiente,
la recta que los une es paralela a la
dirección de afinidad. Igual sucede
con cualquier otra pareja de
tangentes q1 q2 etc. y sus puntos
de contacto Q1 Q2
4.
El punto O2 afín del centro O1 de
una curva C1 es el centro de la
curva afín C2.
CURVA AFÍN DE UNA CIRCUNFERENCIA (EJE+A1,A2)
1.
El centro O2 de la elipse afín se
obtiene uniendo O1 con A1 hasta
que corte al eje en E y cortando a la
recta E A2 con la paralela por O1 a la
dirección de afinidad.
2.
Dibujemos el diámetro P1 O1
perpendicular a M1 N1 y obtengamos
el diámetro afín P2 O2. Los
diámetros M2 N2 Y P2 O2 son
diámetros conjugados de la elipse
3.
En una cónica dos diámetros
son conjugados cuando uno es
el lugar geométrico de los
puntos medios de las cuerdas
paralelas al otro
4.
Las tangentes en los extremas
de un diámetro son paralelas a
su diámetro conjugado.
OBTENCIÓN DE LOS EJES CONOCIENDO DIÁMETROS
CONJUGADOS. CONSTRUCCIÓN DE CHASLES
•
Se conocen dos semidiámetros, a´y b´.
1.
Por el extremo E de b´ se traza la
perpendicular a a´, llevando ER y EQ de
igual magnitud que a´.
2.
Las bisectrices interior y exterior del
ángulo ROQ son los ejes OX e OY de la
elipse.
3.
Por E se traza paralela a X que corta a
OR en P.
4.
Los semiejes de la elipse son:
PR = a
OP = b
OBTENCIÓN DIRECTA DE LOS EJES
1.
Los ejes de la elipse son
diámetros
conjugados
PERPENDICULARES.
2.
Debemos
elegir
dos
diámetros
perpendiculares
de la circunferencia cuyos
afines sean perpendiculares.
3.
Se halla la mediatriz del
segmento O1O2 que corta al
eje de afinidad en un punto
O que se toma como centro
de una circunferencia de
radio OO1=OO2 la cual corta
al eje de afinidad en los
puntos R y S por donde
deben pasar los ejes de lo
elipse y los diámetros de la
circunferencia de los que
proceden.
ELIPSE AFÍN ORTOGONAL DE UNA CIRCUNFERENCIA
AFINIDAD ENTRE LAS PROYECCIONES DIÉDRICAS DE UNA
FIGURA PLANA
EJE: Intersección plano con 2º bisector
DIRECCIÓN: Perpendicular a la LT.
CASOS PARTICULARES
A. La afinidad que relaciona las dos proyecciones diédricas de una figura plana es, en
general, oblicua.
B. En el caso de que el plano de la figura sea paralelo a la línea de tierra o, en
particular, pase par ella la afinidad es ORTOGONAL (ya que la intersección de estas
planos con el segundo bisector es una recta paralela a la línea de tierra).
C. Cuando el plano en el que está contenida la figura es vertical, de canto, horizontal o
frontal no existe la afinidad considerada pues una de las proyecciones de la figura es
una recta en la que se confunden todos los puntos. Tampoco tiene objeto hablar de
la afinidad en el caso de un plano de perfil ya que tanto la proyección horizontal
como vertical de la figura se confunden en una recta.
D. Cuando el plano de la figura, además de ser paralelo a la línea de tierra es
perpendicular al primer bisector la afinidad se convierte en un caso particular
excepcional: es una TRASLACIÓN de dirección perpendicular a la línea de tierra.
CIRCUNFERENCIA CONTENIDA EN UN PLANO (1)
1.
Se abate el centro C sobre H
y V con charnelas P y P´.
2.
Se dibuja la circunferencia
abatida sobre H y sobre V.
3.
El eje mayor, 2a, es igual en
planta y alzado al diámetro
(proyecciones de diámetros
horizontal y frontal).
4.
Ejes menores sobre línea de
máxima pendiente (planta) y
sobre línea de máxima
inclinación (alzado)
5.
Q y S puntos más alto y más
bajo
6.
V y W puntos más alejado y
menos alejado
CIRCUNFERENCIA CONTENIDA EN UN PLANO (2)
1.
Se abate sobre el plano H la
circunferencia y P´.
2.
Los ejes mayores son, 2ª, son
iguales al diámetro en planta y
alzado (horizontal y frontal por
C).
3.
Para hallar los ejes menores se
abaten los planos proyectantes
(Vertical y de Canto) de las
líneas de máxima pendiente
(sobre H) y máxima inclinación
(sobre V).
4.
Q y S puntos más alto y más
bajo.
5.
V y W puntos más alejado y
menos alejado.
6.
I y D puntos más a la izda. Y
más a la dcha. Se obtienen
abatiendo una recta de perfil
ZZ´y trazando las tangentes a la
circunferencia abatida paralelas
a ella