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UNIDAD 12
ÍNDICE
•
•
•
•
•
•
OBJETIVO 1
OBJETIVO 2
OBJETIVO 3
OBJETIVO 4
OBJETIVO 5
OBJETIVO 6
OBJETIVO 1
ÍNDICE
1. Gráficamente ¿qué puntos
tienen abscisa 3?
• Como la abscisa es
constante, son todos
los puntos que se
encuentran a 3
unidades a la derecha
del eje y, en una recta
paralela a él.
2. ¿Donde quedan situados los
puntos que tienen la abscisa
igual a la ordenada?
• Si la abscisa y la
ordenada son
siempre iguales, se
trata de una recta a
45º que cruza los
cuadrantes I y III
3. Tres vértices de un rectángulo son A(-3, 0), B(3,
0) y C(3, 3) ¿cuáles son las coordenadas del
cuarto vértice y cuál es su perímetro y su
área?
• Para completar el
rectángulo, el otro
vértice tiene que
encontrarse al
desplazarse en
ángulo recto a partir
de los dos extremos,
de modo que:
• D(-3, 3)
• Perímetro:
2(6) + 2(3) =
12 + 6 = 18 unidades.
• Área: b x h =
6 x 3 = 18 unidades
cuadradas.
Índice
OBJETIVO 2
ÍNDICE
a) Distancia entre dos puntos.
1. Encuentra la distancia del origen al
punto A(a, b)
SOLUCIÓN:
d
a 0
2
b 0
a b
2
2
2
2. Encuentra el valor de x necesario para
que el punto P(x, 3) sea equidistante de
los puntos A(3, –2) y B(7, 4).
d PA
3 x 2 2 32
d PB
7 x 4 3
2
2
3 x
2
7 x
Para que P equidiste de A de B:
d PA d PB
25
2
1
3 x
2
3 x
25
7 x
25
7 x
2
2
2
1
1
9 6 x x 2 25 49 14x x 2 1
x x 6 x 14x 49 1 9 25
2
2
8 x 16
x2
El punto P(2, 3) equidista de los puntos A(3, –2) y B(7, 4).
3. Si los extremos de un diámetro de una
circunferencia son los puntos A(2, 3) y
B(5, 8), calcula la longitud de la
circunferencia y el área del círculo que
limita.
Diámetro =
5 22 8 32
d AB
Circunferencia =
3 5
2
2
d 34
3.1416 34; aproximadamente18.3185unidades
Área del círculo =
34
r
2
34
r
2
r2
34
4
34
3.1416 34 26.7036 u 2 , aproximada mente
4
4
b) Coordenadas del punto que divide a
un segmento en una razón dada.
1. Si A(2, 3) es un extremo del segmento
cuyo punto medio es P(5, 4), encuentra
las coordenadas del otro extremo, B.
x1 x 2
x
2
2 x2
5
2
10 2 x2
x2 8
y1 y 2
y
2
3 y2
4
2
8 3 y2
y2 5
de modo que:
B(8, 5)
2. Encuentra la longitud de la mediana del
lado del triángulo cuyos vértices son A(–
2, –2), B(6, 0) y C(2,8). (La mediana es la
recta que une el punto medio de un cateto
del triángulo con el vértice opuesto).
Coordenadas del punto medio del segmento
x
x1 x 2 2 6
2
2
2
y
y1 y 2
2
AB
20
1
2
P(2, -1)
Distancia del punto P al vértice C
d PC
2 2
2
1 8
La mediana del cateto
2
AB
0 9
2
81 9
al vértice C tiene una longitud de 9 unidades.
3. Los extremos de un segmento son los
puntos A(7, 4) y B(-1, -4) . Encuentra la
AP
razón PB en que el punto P(1, –2) divide
al segmento.
x1 rx 2
x
1 r
x1 r x1 rx 2
x rx rx2 x1
r x x2 x1 x
x1 x
r
x x2
7 1
r
1 1
La razón en que el punto P(1, –2) divide al segmento
6
3
2
AB es 3.
Índice
OBJETIVO 3
Se aplican los problemas
de los objetivos siguientes
ÍNDICE
OBJETIVO 4
ÍNDICE
1. Encuentra la ecuación de la recta que
pasa por los puntos A(–2, –3) y B(5, 1)
y 2 y1
x x1
y y1
x2 x1
1 3
x 2
y 3
5 2
1 3
x 2
y3
52
4
y 3 x 2
7
7 y 3 4x 2
7 y 21 4 x 8
7 y 4 x 13
2. Encuentra la ecuación de la recta que
intersecta al eje de las ordenadas 7
unidades hacia abajo del origen y tiene
2
una pendiente de 5
2
m ; b 7;
5
y mx b
2
y 7
5
3. Tres vértices de un paralelogramo son
11
los puntos A 2 ,0 ,B(0, 5) y C(–5, 8).
Encuentra las ecuaciones de los lados
que pasan por AB y por BC.
Ecuación del lado que pasa por A y B:
11
a
2
b5
x y
1
a b
x
y
1
11 5
2
2x
y
1
11 5
Ecuación del lado que pasa por B y C: B(0, 5); C(–5, 8)
y 2 y1
x x1
y y1
x2 x1
3
y 5
x
5
85
x 0
y 5
50
3
y x5
5
4. Encuentra la ecuación de una recta
perpendicular a eje y, que pase por el
punto (h, k)
α = 0º; tan α = 0
y y1 mx x1
y k 0x h
yk 0
yk
Índice
OBJETIVO 5
ÍNDICE
1. Determina la posición relativa de las rectas:
R1 : 14x 10y 1 0
Para
y
5
R2 : x 3
2
14
R1 : 14x 10y 1 0
14
7
m
10
5
y
5
Para R 2 : x 3
2
14
5
y
x 3 0
14
2
5
y
14 x 14 14 3 140
14
2
5x 7 y 42 0
A
5
5
m
B
7 7
mR1
Por lo tanto, las rectas son perpendiculares.
1
mR 2
2. Demostrar que las siguientes rectas
forman un cuadrado:
R1 : 5x y 6 0
R2 : x 5 y 22 0
R3 : 5x y 32 0
R4 : x 5 y 4 0
Posiciones relativas entre las rectas:
m R1
1
5
5 mR2
5
1
mR3
5
5
1
mR4
1
5
R1 y R3 son paralelas; R2 y R4, son paralelas.
R1 es perpendicular con R2 y con R4;
R3 es perpendicular con R2 y con R4.
• Punto de intersección entre R1 y R2:
5x y 6 0
y 5x 6
x 5 y 22 0
x 55x 6 22 0
26 x 30 22 0
52
x
2
26
y 52 6 4
P1(2,4)
• Con el mismo procedimiento encuentras que otros
puntos de intersección son:
R1 y R4: P2(1, –1)
R3 y R2: P3(7, 3)
R3 y R4: P4(6, –2)
• También puedes determinar otros punto para graficar:
R1 : 5x y 6 0
R2 : x 5 y 22 0
R3 : 5x y 32 0
R4 : x 5 y 4 0
Si x = 3
Si x = –3
Si x = 8
Si x = 1
y=9
→
P1(3, 9);
y=5
→
y=8
→ P3(8, 8);
P2(–3, 5);
y = –1 → P4(1, –1)
Longitudes de los lados:
P1 P2
P1 P3
P2 P4
P3 P4
2 12 4 12
2 7 2 4 32
1 25 26
25 1
26
1 62 1 22
25 1 26
7 62 3 22
1 25 26
Los cuatro lados tienen la misma longitud,
y las rectas forman un cuadrado.
Índice
OBJETIVO 6
ÍNDICE
1. Calcula la longitud del radio de la
circunferencia con centro en el punto (2, 3)
y que es tangente a la recta 4 x 3 y 3 0
Radio de la circunferencia = distancia del centro de la circunferencia a la tangente.
d
Ax1 By1 C
A B
2
2
893
25
4(2) 3(3) 3
4 2 32
20
4
5
radio = 4 (unidades de longitud)
2. Calcula el área del triángulo cuyos
vértices son P1(2, 1), P2(8, 2) y P3 (3, 6)
bh
Área
2
Base del triángulo: cualquiera de los tres lados, por ejemplo,
P1 P2
Usando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados:
y 1
2 1
x 2
82
1
y 1 x 2
6
6y 6 x 2
x 6y 4 0
Longitud de la base:
2
2
P
P
(
x
x
)
y
y
distancia 1 2
2
1
2
1
(8 2) 2 (2 1) 2
36 1
37
Altura del triángulo: distancia del otro vértice, P3 (3, 6), a la base:
d
Ax1 By1 C
A2 B 2
3 ( 6)(6) 4
29
37
12 ( 6) 2
29
37
37
Área del triángulo
2
3 36 4
37
29
37
29
(unidades de superficie )
2
3. Si la abscisa de P es 2, encuentra su
ordenada cuando la distancia dirigida de la
recta 2 x 5 y 10 0 a un punto P es -3.
Distancia dirigida:
C<0
3
d
Ax1 By1 C
A2 B 2
signo del radical positivo, y para el punto P (2, y):
2(2) 5 y 10
2 2 52
5 y 6 3 29
y, por tanto:
3
5y 6
29
(3)( 29) 5 y 6
La ordenada es:
6 3 29
3,
5
6 3 29
y
5
Índice