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UNIDAD 12
ÍNDICE
•
•
•
•
•
•
OBJETIVO 1
OBJETIVO 2
OBJETIVO 3
OBJETIVO 4
OBJETIVO 5
OBJETIVO 6
OBJETIVO 1
ÍNDICE
1. Gráficamente ¿qué puntos
tienen abscisa 3?
• Como la abscisa es
constante, son todos
los puntos que se
encuentran a 3
unidades a la derecha
del eje y, en una recta
paralela a él.
2. ¿Donde quedan situados los
puntos que tienen la abscisa
igual a la ordenada?
• Si la abscisa y la
ordenada son
siempre iguales, se
trata de una recta a
45º que cruza los
cuadrantes I y III
3. Tres vértices de un rectángulo son A(-3, 0), B(3,
0) y C(3, 3) ¿cuáles son las coordenadas del
cuarto vértice y cuál es su perímetro y su
área?
• Para completar el
rectángulo, el otro
vértice tiene que
encontrarse al
desplazarse en
ángulo recto a partir
de los dos extremos,
de modo que:
• D(-3, 3)
• Perímetro:
2(6) + 2(3) =
12 + 6 = 18 unidades.
• Área: b x h =
6 x 3 = 18 unidades
cuadradas.
Índice
OBJETIVO 2
ÍNDICE
a) Distancia entre dos puntos.
1. Encuentra la distancia del origen al
punto A(a, b)
SOLUCIÓN:
d
a  0
2
 b  0 
a b
2
2
2
2. Encuentra el valor de x necesario para
que el punto P(x, 3) sea equidistante de
los puntos A(3, –2) y B(7, 4).
d PA 
3  x 2   2  32
d PB 
7  x   4  3
2
2


3  x 
2
7  x 
Para que P equidiste de A de B:
d PA  d PB
 25
2
1
3  x 
2
3  x
 25 
7  x 
 25 
7  x
2
2
2
1
1
9  6 x  x 2  25  49  14x  x 2  1
x  x  6 x  14x  49  1  9  25
2
2
8 x  16
x2
El punto P(2, 3) equidista de los puntos A(3, –2) y B(7, 4).
3. Si los extremos de un diámetro de una
circunferencia son los puntos A(2, 3) y
B(5, 8), calcula la longitud de la
circunferencia y el área del círculo que
limita.
Diámetro =
5  22  8  32
d AB 
Circunferencia =

3 5 
2
2
d   34 
3.1416 34; aproximadamente18.3185unidades
Área del círculo =
34
r 
2
34
r
2
r2 
34
4
34

 3.1416  34  26.7036 u 2 , aproximada mente
4
4
b) Coordenadas del punto que divide a
un segmento en una razón dada.
1. Si A(2, 3) es un extremo del segmento
cuyo punto medio es P(5, 4), encuentra
las coordenadas del otro extremo, B.
x1  x 2
x
2
2  x2
5
2
10  2  x2
x2  8
y1  y 2
y
2
3  y2
4
2
8  3  y2
y2  5
de modo que:
B(8, 5)
2. Encuentra la longitud de la mediana del
lado del triángulo cuyos vértices son A(–
2, –2), B(6, 0) y C(2,8). (La mediana es la
recta que une el punto medio de un cateto
del triángulo con el vértice opuesto).
Coordenadas del punto medio del segmento
x
x1  x 2  2  6
2

2
2
y
y1  y 2

2
AB
20
 1
2
P(2, -1)
Distancia del punto P al vértice C
d PC 
2  2
2
  1  8 
La mediana del cateto
2
AB
0   9  
2
81  9
al vértice C tiene una longitud de 9 unidades.
3. Los extremos de un segmento son los
puntos A(7, 4) y B(-1, -4) . Encuentra la
AP
razón PB en que el punto P(1, –2) divide
al segmento.
x1  rx 2
x
1 r
x1  r   x1  rx 2
x  rx  rx2  x1
r x  x2   x1  x
x1  x
r
x  x2
7 1
r

1   1
La razón en que el punto P(1, –2) divide al segmento
6
3
2
AB es 3.
Índice
OBJETIVO 3
Se aplican los problemas
de los objetivos siguientes
ÍNDICE
OBJETIVO 4
ÍNDICE
1. Encuentra la ecuación de la recta que
pasa por los puntos A(–2, –3) y B(5, 1)
y 2  y1
x  x1 
y  y1 
x2  x1
1   3
x   2
y   3 
5   2
1 3
x  2
y3
52
4
y  3  x  2
7
7 y  3  4x  2
7 y  21  4 x  8
7 y  4 x  13
2. Encuentra la ecuación de la recta que
intersecta al eje de las ordenadas 7
unidades hacia abajo del origen y tiene
2

una pendiente de 5
2
m   ; b   7;
5
y  mx  b
2
y   7
5
3. Tres vértices de un paralelogramo son
 11 
los puntos A   2 ,0  ,B(0, 5) y C(–5, 8).
Encuentra las ecuaciones de los lados
que pasan por AB y por BC.
Ecuación del lado que pasa por A y B:
11
a
2
b5
x y
 1
a b
x
y
 1
11 5

2
2x
y
 1
 11 5
Ecuación del lado que pasa por B y C: B(0, 5); C(–5, 8)
y 2  y1
x  x1 
y  y1 
x2  x1
3
y 5 
x
5
85
x  0
y 5 
50
3
y   x5
5
4. Encuentra la ecuación de una recta
perpendicular a eje y, que pase por el
punto (h, k)
α = 0º; tan α = 0
y  y1  mx  x1 
y  k  0x  h
yk 0
yk
Índice
OBJETIVO 5
ÍNDICE
1. Determina la posición relativa de las rectas:
R1 : 14x  10y  1  0
Para
y
5
R2 :    x  3
2
14
R1 : 14x  10y  1  0
14
7
m 
10
5
y
5
Para R 2 :    x  3
2
14
5
y
x 3 0
14
2
 5 
 y
14 x   14    14 3  140
 14 
 2
5x  7 y  42  0
A
5
5
m 

B
7 7
mR1
Por lo tanto, las rectas son perpendiculares.
1

mR 2
2. Demostrar que las siguientes rectas
forman un cuadrado:
R1 : 5x  y  6  0
R2 : x  5 y  22  0
R3 : 5x  y  32  0
R4 : x  5 y  4  0
Posiciones relativas entre las rectas:
m R1
1
5

 5 mR2  
5
1
mR3
5

5
1
mR4
1

5
R1 y R3 son paralelas; R2 y R4, son paralelas.
R1 es perpendicular con R2 y con R4;
R3 es perpendicular con R2 y con R4.
• Punto de intersección entre R1 y R2:
5x  y  6  0
y  5x  6
x  5 y  22  0
x  55x  6  22  0
26 x  30  22  0
52
x
 2
26
y  52  6  4 
P1(2,4)
• Con el mismo procedimiento encuentras que otros
puntos de intersección son:
R1 y R4: P2(1, –1)
R3 y R2: P3(7, 3)
R3 y R4: P4(6, –2)
• También puedes determinar otros punto para graficar:
R1 : 5x  y  6  0
R2 : x  5 y  22  0
R3 : 5x  y  32  0
R4 : x  5 y  4  0
Si x = 3
Si x = –3
Si x = 8
Si x = 1

y=9
→
P1(3, 9);

y=5
→

y=8
→ P3(8, 8);

P2(–3, 5);
y = –1 → P4(1, –1)
Longitudes de los lados:
P1 P2 
P1 P3 
P2 P4 
P3 P4 
2  12  4  12
2  7 2  4  32
 1  25  26
 25  1 
26
1  62   1  22

25  1  26
7  62  3  22

1  25  26
Los cuatro lados tienen la misma longitud,
y las rectas forman un cuadrado.
Índice
OBJETIVO 6
ÍNDICE
1. Calcula la longitud del radio de la
circunferencia con centro en el punto (2, 3)
y que es tangente a la recta 4 x  3 y  3  0
Radio de la circunferencia = distancia del centro de la circunferencia a la tangente.
d
Ax1  By1  C
A B
2
2

893
25
4(2)  3(3)  3
4 2  32

20
4

5
radio = 4 (unidades de longitud)
2. Calcula el área del triángulo cuyos
vértices son P1(2, 1), P2(8, 2) y P3 (3, 6)
bh
Área 
2
Base del triángulo: cualquiera de los tres lados, por ejemplo,
P1 P2
Usando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados:
y 1 
2 1
x  2
82
1
y  1  x  2
6
6y  6  x  2
x  6y  4  0
Longitud de la base:
2
2


P
P

(
x

x
)

y

y
distancia 1 2
2
1
2
1

(8  2) 2  (2  1) 2 
36 1 
37
Altura del triángulo: distancia del otro vértice, P3 (3, 6), a la base:
d
Ax1  By1  C
A2  B 2
3  ( 6)(6)  4

 29
37
12  ( 6) 2

 29 
37

 37  
Área del triángulo
2

3  36  4
37

29
37
29
(unidades de superficie )
2
3. Si la abscisa de P es 2, encuentra su
ordenada cuando la distancia dirigida de la
recta 2 x  5 y  10  0 a un punto P es -3.
Distancia dirigida:
C<0
3 
d
Ax1  By1  C
 A2  B 2
 signo del radical positivo, y para el punto P (2, y):
2(2)  5 y  10
2 2  52
5 y  6  3 29
y, por tanto:
3
5y  6
29
(3)( 29)  5 y  6
La ordenada es:

6  3 29 
  3,



5


6  3 29
y
5
Índice