Rectas y planos en 3D
Download
Report
Transcript Rectas y planos en 3D
Rectas en 3D
Rectas en 3D
a
P0
r0
R
r
P
v
R
Punto por el que sabemos pasa la recta
Punto cualquiera sobre nuestra recta
Resta vectorial indica dirección de recta
P0 ( x0 , y0 , z 0 ) r0 x0 , y0 , z 0
P ( x, y , z )
r x, y , z
a r r0
r r0 a
Cualquier vector paralelo a a indica dirección
Coordenadas de punto en recta cumplen
a t v v a, b, c
x, y, z x0 t a, y0 t b, z 0 t c
Ecuaciones paramétricas de la recta
x x0 t a
y y0 t b
Números directores: a,b,c
z z0 t c
Notaciones alternativas
Vectores unitarios
Componentes en orden
Vector columna
r x0 t a iˆ y 0 t b ˆj z 0 t c kˆ
r x0 t a, y 0 t b, z 0 t c
x0 t a
r y0 t b
z t c
0
Rectas en 3D
P0
r0
R
r
P
x x0 t a
a
v
y y0 t b
z z0 t c
R
Consideren la cuestión:
¿Qué relación concreta existe entre los vectores a y v?
Está abierta. La diferencia entre distintas elecciones consiste en que, una vez
escogido al vector v, queda determinado el parámetro escalar t en su rango y en
su escala.
Se conviene en elegir al punto P0 a la izquierda, cuando se observa el primer
octante (vector a de izquierda a derecha).
¿Qué consecuencia tendría el elegir al vector –v en vez de v?
Ejemplo 1 de rectas en 3D
Una recta pasa por el punto (5,1,3) y es paralela al
vector (1,4,-2).
a)Encontrar la ecuación paramétrica de la recta
b)Encontrar
otros puntos de la misma recta
a) r0 5,1,3
x0 5
v 1,4,2
y0 1 z0 3
Para t 1
b)
x 5 1 6
a 1 b 4 c 2
6,5,1
Para t 1
entonces, las ecuaciones solicitadas son
x 5t
y 1 4t
x 5 1 4
z 3 2t
y 1 4 3 z 3 2 5
4,3,5
5
r0 1
3
x0 r0
0
R
y 1 4 5 z 3 2 1
1
v 4
2
y0 r0
1
z0 r0
2
av v
0
x0 t av
recta ( t ) y0 t bv
z0
t
cv
bv v
1
cv v
2
Ejemplo 1 de rectas en 3D
La recta en azul pasa por el punto (5,1,3) en magenta y es
paralela al vector de extremo(1,4,-2) en anaranjado.
Otros dos puntos de la misma recta en marrón.
5.3
P3 recta(t 0.3) 2.3
2.4
4.4
P6 recta(t 0.6) 1.4
4.2
R P0 v0 P3 P6
Ejemplo 1 en Mathcad
Np 256
tMin 100
t tMin l
l
l 0 Np 1
tMax 100
tMax tMin
Np 1
5
r0 1
3
x0 r0
0
1
v 4
2
y0 r0
1
r( t ) r0 t v
z0 r0
2
av v
0
bv v
1
cv v
2
x0 t av
recta ( t ) y0 t bv
z0
t
cv
R CreateSpace ( recta tMin tMax)
6
r( 1) 5
1
R
4
r( 1) 3
5
105
r( 100 ) 401
197
95
r( 100 ) 399
203
Ecuaciones simétricas
Despejando a t de cada una de las ecuaciones
paramétricas
a, b, c 0
x x0
y y0
z z0
t
t
t
a
b
c
x x0 y y 0 z z 0
.
a
b
c
Ejem plo si solo a 0
x x0 0
x x0
y y0 z z0
b
c
R1
x0 1
R1
Continuación de ejemplo a=0
1
r0 2
10
0
v 3
5
r( t) r0 t v
x0 t av
1
1
1
1
recta( t) y0 t bv r( 1) 1 r( 1) 5 r( 5) 17 r( 10) 32
z0
t
cv
5
15
35
60
1
r0 3
15
0
v 1
7
1
1
1
1
r( 1) 2 r( 1) 4 r( 5) 8 r( 10) 13
8
22
50
85
1
r( 15) 18
120
R2 R1
1
r( 15) 47
85
Ejemplo 2 de rectas en 3D
Hallar las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones
simétricas de la recta que pasa por los puntos
A(2,4,-3) y B(3,-1,1).
¿En qué punto corta esta recta al plano xy?
El vector diferencia puede ser determinado y
luego empleado
a v 3,1,1 2,4,3
1,5,4
a 1 b 5
c4
Tomando al punto A, las ecuaciones paramétricas
son
x 2t
y 4 5t
z 3 4t
R
Ejemplo 2 de rectas en 3D
… para las ecuaciones simétricas, usando los números directores hallados
(1,-5,4) y usando al punto A(2,4,-3), al sustituir en
x x0
y yo
z z0
a
b
c
las ecuaciones simétricas resultan
x2
y4
z3
1
5
4
La recta corta al plano xy cuando z=0. De las ecuaciones anteriores
x2
y4
3
1
5
4
Ejemplo 2 de rectas en 3D
Despejando x
x2 3
.
1
4
3
x 2
4
3 8 11
.
4
4
Despejando y
y4 3
.
5
4
y 4 5
3
15
,
4
4
15
4
16 15 1
.
4
4
Por lo anterior, las coordenadas del punto cortando al plano xy son
(11/4,1/4,0).
R plano_zero
y 4
R plano_zero
Ejemplo 3 de rectas en 3D
Demostrar que las rectas con ecuaciones
paramétricas dadas son oblicuas (no se cortan sin
ser paralelas), o sea, no son coplanares…
L1 , t
x 1 t
L2 , s
x 2s
y 2 3t
y 3 s
z 4t
z 3 4s
Para L1, a1=<1,3,-1>, mientras que para L2, a2=<2,1,4>. ¿Son paralelos?
iˆ ˆj kˆ
3 1
1 1 ˆ 1 3
ˆ
ˆ
1,3,1 2,1,4 1 3 1 i
j
k
1 4
2 4
2 1
2 1 4
iˆ(12 1) ˆj (4 2) kˆ(1 6)
13iˆ 6 ˆj 5kˆ
Al no resultar el vector cero, los vectores forman un ángulo distinto de cero entre sí
Ejemplo 3 de rectas en 3D
Si las dos rectas se cortaran, habría un punto con las mismas coordenadas
<x,y,z> o, habría valores de t y s cumpliendo
2 3t 3 (1 t ) / 2 3 1 / 2 t / 2 La coordenada z no coincide
1 t 2s
2 3t 3 s
4 t 3 4s
3t t / 2 7 / 2 2 11/ 2
5t / 2 11/ 2
4 11/ 5
t 11/5
3 4
1 11/ 5 2s
16 / 10 s
s 8/5
RA CreateSpace( rectA 0 5)
RA RB
RB CreateSpace( rectB 0 5)
RA RB
RA RB
20 11
9/5
5
8
15 32
3 32 / 5
17 / 5
5
5
Conclusiones