Transcript Rectas y planos en 3D

Rectas en 3D
Rectas en 3D

a
P0

r0
R

r
P

v
R
Punto por el que sabemos pasa la recta
Punto cualquiera sobre nuestra recta
Resta vectorial indica dirección de recta

P0 ( x0 , y0 , z 0 )  r0  x0 , y0 , z 0

P ( x, y , z )
 r  x, y , z
  
  
a  r  r0
 r  r0  a
Cualquier vector paralelo a a indica dirección
Coordenadas de punto en recta cumplen



a  t  v  v  a, b, c
x, y, z  x0  t  a, y0  t  b, z 0  t  c
Ecuaciones paramétricas de la recta
x  x0  t  a
y  y0  t  b
Números directores: a,b,c
z  z0  t  c
Notaciones alternativas
Vectores unitarios
Componentes en orden
Vector columna

r  x0  t  a   iˆ   y 0  t  b   ˆj  z 0  t  c   kˆ

r  x0  t  a, y 0  t  b, z 0  t  c
 x0  t  a 

 
r   y0  t  b 
 z  t c
 0

Rectas en 3D
P0

r0
R

r
P
x  x0  t  a

a

v
y  y0  t  b
z  z0  t  c
R
Consideren la cuestión:
¿Qué relación concreta existe entre los vectores a y v?
Está abierta. La diferencia entre distintas elecciones consiste en que, una vez
escogido al vector v, queda determinado el parámetro escalar t en su rango y en
su escala.
Se conviene en elegir al punto P0 a la izquierda, cuando se observa el primer
octante (vector a de izquierda a derecha).
¿Qué consecuencia tendría el elegir al vector –v en vez de v?
Ejemplo 1 de rectas en 3D
Una recta pasa por el punto (5,1,3) y es paralela al
vector (1,4,-2).
a)Encontrar la ecuación paramétrica de la recta
b)Encontrar
otros puntos de la misma recta


a) r0  5,1,3
x0  5
v  1,4,2
y0  1 z0  3
Para t  1
b)
x  5 1  6
a  1 b  4 c  2
 6,5,1
Para t  1
entonces, las ecuaciones solicitadas son
x  5t
y  1  4t
x  5 1  4
z  3  2t
y  1  4  3 z  3  2  5
 4,3,5
5
r0   1 
 
3
x0  r0
0
R
y  1 4  5 z  3  2  1
 1 
v   4 
 
 2 
y0  r0
1
z0  r0
2
av  v
0
 x0  t  av 
recta ( t )   y0  t  bv 


z0

t

cv


bv  v
1
cv  v
2
Ejemplo 1 de rectas en 3D
La recta en azul pasa por el punto (5,1,3) en magenta y es
paralela al vector de extremo(1,4,-2) en anaranjado.
Otros dos puntos de la misma recta en marrón.
 5.3 
 
P3  recta(t  0.3)   2.3 
 2.4 
 
 4.4 


P6  recta(t  0.6)    1.4 
 4.2 


R P0 v0  P3 P6
Ejemplo 1 en Mathcad
Np  256
tMin  100
t  tMin  l
l
l  0  Np  1
tMax  100
tMax  tMin
Np  1
5
r0   1 
 
3
x0  r0
0
 1 
v   4 
 
 2 
y0  r0
1
r( t )  r0  t  v
z0  r0
2
av  v
0
bv  v
1
cv  v
2
 x0  t  av 
recta ( t )   y0  t  bv 


z0

t

cv


R  CreateSpace ( recta  tMin  tMax)
6
r( 1)   5 
 
1
R
 4 
r( 1)   3 
 
 5 
 105 
r( 100 )   401 



197


 95 
r( 100 )   399 


203


Ecuaciones simétricas
Despejando a t de cada una de las ecuaciones
paramétricas
a, b, c  0
x  x0
y  y0
z  z0
t
t
t

a
b
c
x  x0 y  y 0 z  z 0


.
a
b
c
Ejem plo si solo a  0
x  x0  0 
x  x0
y  y0 z  z0

b
c
R1
x0  1
R1
Continuación de ejemplo a=0
 1
r0   2 
 
 10
 0
v   3 
 
 5
r( t)  r0  t v
 x0  t av 
1
 1
1
 1
recta( t)   y0  t bv  r( 1)   1  r( 1)   5  r( 5)   17  r( 10)   32 


 
 
 
 
z0

t

cv
5
15
35


 
 
 
 60
1
r0   3 
 
 15
 0
v   1 
 
 7
 1
 1
 1
 1
r( 1)   2  r( 1)   4  r( 5)   8  r( 10)   13 
 
 
 
 
 8
 22
 50
 85
 1 
r( 15)   18 
 
 120
R2 R1
 1
r( 15)   47 
 
 85
Ejemplo 2 de rectas en 3D
Hallar las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones
simétricas de la recta que pasa por los puntos
A(2,4,-3) y B(3,-1,1).
¿En qué punto corta esta recta al plano xy?
El vector diferencia puede ser determinado y
luego empleado
 
a  v  3,1,1  2,4,3
 1,5,4
 a  1 b  5
c4
Tomando al punto A, las ecuaciones paramétricas
son
x  2t
y  4  5t
z  3  4t
R
Ejemplo 2 de rectas en 3D
… para las ecuaciones simétricas, usando los números directores hallados
(1,-5,4) y usando al punto A(2,4,-3), al sustituir en
x  x0
y  yo
z  z0


a
b
c
las ecuaciones simétricas resultan
x2
y4
z3


1
5
4
La recta corta al plano xy cuando z=0. De las ecuaciones anteriores
x2
y4
3


1
5
4
Ejemplo 2 de rectas en 3D
Despejando x
x2 3
 .
1
4
3
x 2
4
3  8 11

 .
4
4
Despejando y
y4 3
 .
5
4
y  4  5 
3
15
 ,
4
4
15
4
16  15 1

 .
4
4
Por lo anterior, las coordenadas del punto cortando al plano xy son
(11/4,1/4,0).
R plano_zero
y  4
R plano_zero
Ejemplo 3 de rectas en 3D
Demostrar que las rectas con ecuaciones
paramétricas dadas son oblicuas (no se cortan sin
ser paralelas), o sea, no son coplanares…
L1 , t
x  1 t
L2 , s
x  2s
y  2  3t
y  3 s
z  4t
z  3  4s
Para L1, a1=<1,3,-1>, mientras que para L2, a2=<2,1,4>. ¿Son paralelos?
iˆ ˆj kˆ
3 1
1 1 ˆ 1 3
ˆ
ˆ
1,3,1  2,1,4  1 3  1  i
 j
k
1 4
2 4
2 1
2 1 4
 iˆ(12  1)  ˆj (4  2)  kˆ(1  6)
 13iˆ  6 ˆj  5kˆ
Al no resultar el vector cero, los vectores forman un ángulo distinto de cero entre sí
Ejemplo 3 de rectas en 3D
Si las dos rectas se cortaran, habría un punto con las mismas coordenadas
<x,y,z> o, habría valores de t y s cumpliendo
 2  3t  3  (1  t ) / 2  3  1 / 2  t / 2 La coordenada z no coincide
1  t  2s
 2  3t  3  s
4  t  3  4s
3t  t / 2  7 / 2  2  11/ 2
5t / 2  11/ 2
4  11/ 5 
t  11/5
3 4
1  11/ 5  2s
16 / 10  s
s  8/5
RA  CreateSpace( rectA  0  5)
RA  RB
RB  CreateSpace( rectB 0  5)
RA  RB
RA  RB
20  11
 9/5
5
8
 15  32
 3  32 / 5 
 17 / 5
5
5
Conclusiones