Departament de Ciències Àrea de Matemàtiques Autor: Pedro Vallespir Perelló Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret Col·legi BEAT RAMON LLULL Col.legi BEAT RAMON LLULL GEOMETRIA ANALÍTICA Vector, pla i.
Download ReportTranscript Departament de Ciències Àrea de Matemàtiques Autor: Pedro Vallespir Perelló Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret Col·legi BEAT RAMON LLULL Col.legi BEAT RAMON LLULL GEOMETRIA ANALÍTICA Vector, pla i.
Slide 1
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 2
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 3
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 4
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 5
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 6
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 7
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 8
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 9
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 10
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 11
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 12
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 13
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 14
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 2
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 3
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 4
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 5
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 6
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 7
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 8
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 9
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 10
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 11
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 12
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 13
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25
Slide 14
Departament de Ciències
Àrea de Matemàtiques
Autor: Pedro Vallespir Perelló
2008
Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret
Col·legi BEAT RAMON LLULL
Col.legi BEAT RAMON LLULL
GEOMETRIA
ANALÍTICA
Vector, pla i segment. Altura, ortocentre;
bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre
i mitjana, baricentre.
Vocabulari
Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat
Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals
Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà
Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat
Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
•
D
Vector: fletxa AB que té una
direcció, un sentit, un punt
d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a
B(x2,y2). El seu mòdul és la
distància de A a B.
El vector vermell té un mòdul que
val
2
2
3 1
· Producte d’un número per
un vector.
És un altre vector de les
mateixes característiques
amb el mòdul multiplicat.
C
Activitats per a fer:
1. Cerca les components de AD;
de DA; de CD i de BC.
2. Cerca el mòdul dels vectors CA i
de BD.
3. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC).
4. Calcula el seu mòdul.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Per a sumar i restar vectors ho podem fer
com amb ho hem fet a física amb les forces
(llei paral·lelogram).
F2
Fr
F1+F2 = Fr
F1
F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari)
a F2 i sumar-lo a F1.
F1
F1-F2 = F1 + (-F2)
,
- F2
Combinació lineal de dos vectors: és una operació
que consisteix en multiplicar
els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants.
u
v
a
a. u + b. v
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
u 3, 2
Activitats per a fer:
1. Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions
lineals
u ( 3, 2 )
següents: 2u + 3v;
-u+2v;
2/3.u -1/2.v
2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de
3 unitats i la bisectriu
del segon quadrant amb un módul de 4 unitats.
u ( 3, 2 )
Fes-ho gràficament i analíticament.
3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT
Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic!
ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS?
a) Si són d’una mateixa recta, sí.
Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts
es pot verificar.
b) Si aprenem una fórmula nova, també.
Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque
A, B i C estiguin en línia implica que han de complir:
x2-x1
y2-y1
-------- = --------x3-x2
y3-y2
Que és el “mateix” que en el seu dia
empràrem per fer pendents.
y2-y1
y3-y2
-------- = --------x2-x1
x3-x2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Troba el punt mitjà del segment que determinen
a) P(2,-1) i Q(5,4).
b) P(1,0) i Q(1/3,1/2)
2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents:
a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8)
b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2)
3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per:
a) (4, 0) i (0, 3)
b) (1/2, -1) i (2, -2)
Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per
c) (3,4) i (0,2)
d) (-5,1) i (-2,-1)
i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.
Col.legi BEAT RAMON LLULL
EQUACIONS DE RECTES
A)
y = mx + n
B) Punt-pendent y – yo = m (x –xo)
C) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena
vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el
pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de
l’apartat B.
D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0
E) Forma explícita (la de l’apartat A)
F) Equació paramètrica
G) Equació vectorial
H) Equació contínua
I) Equació normal
x.cos α +y.sinα –d = 0
J) Equació canònica x
y
--- + ---- = 1
a
b
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació
verifiquen els punts d’aquesta recta?
2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més
d’aquesta recta.
3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0)
i té vector director u= (1,0).
4. Escriu en forma general les rectes que passen per:
a) P(2,1) i Q(0,3)
b) P(1,2) i té vector director (5,5)
c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2
d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0
5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS
* Paral.leles: si tenen el mateix pendent.
* Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1.
Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0,
se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que:
el pendent val –A/B.
Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B
i
en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A
(o sigui hem d’invertir i canviar de signe)
(ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles
2. Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5
3. Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0
4. Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre)
les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0?
5. Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4),
R (5,3) i S(3,1). Analitza com són.
6. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per
(1,3) i (-2,-1).
7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin
paral·leles.
8. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3)
9. Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a
(x-3)/5 = (y+2)/8
10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3?
11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i
(-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?
Col.legi BEAT RAMON LLULL
RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS
x=6
x=-3
y=3
y=-2
x=2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS
Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància
que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el
mòdul d’un vector:
2
2
x2
x1 y 2 y 1
Com que una circumferència és una figura que té tots els seus
punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància)
del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu
RADI, r, podem escriure:
x 2 x1 2 y 2 y1 2
r
I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat
s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:
x a
2
y b r
2
2
Col.legi BEAT RAMON LLULL
Activitats per a fer:
1. Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a
l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0
2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5)
(1,1) i (4,4)
3. Troba la distància entre les parelles de rectes següents:
2x+5y-1=0
x+2y+5=0
4x+10y+2=0
2x+y+5=0
4. Escriu l’equació de les circumferències que tenen:
Centre (-2,3) i radi 2
Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4)
5. Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre
a (2,5).
6. Digués el centre i el radi de les circumferències:
x2+y2-2x-3=0
(x-1)2+y2=4
(x-2)2+(y-4)2=25