Álgebra Linear e Geometria Analítica 11ª aula Rectas no plano, no espaço e em n Planos no espaço e em n Em geometria euclidiana: Em geometria euclidiana: 2 pontos definem uma.
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Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
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Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 3
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 4
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 5
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 6
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 7
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 8
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 9
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 10
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 11
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 12
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 13
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 14
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 15
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 16
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 17
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 18
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 19
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 20
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 21
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 22
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 23
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 24
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 25
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 26
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 27
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 28
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 29
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 30
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 31
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 32
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 33
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 34
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 35
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 36
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 37
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 38
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 39
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 40
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 41
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 42
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 43
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 44
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 45
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 46
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 47
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 48
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 49
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 50
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 51
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 52
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 53
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 54
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 55
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 56
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 57
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 58
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 59
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 60
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 61
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 62
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 63
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 64
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 65
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 66
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 67
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 68
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 69
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 70
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 71
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 72
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 73
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 74
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 75
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 76
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 77
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 78
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 79
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 80
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 81
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 82
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 83
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 84
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 85
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 86
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 87
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 88
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 89
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 90
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 91
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 92
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 93
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 94
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 95
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 96
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 97
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 98
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 99
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 2
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 3
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 4
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 5
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 6
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 7
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 8
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 9
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 10
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 11
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 12
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 13
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 14
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 15
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 16
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 17
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 18
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 19
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 20
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 21
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 22
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 23
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 24
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 25
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 26
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 27
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 28
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 29
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 30
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 31
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 32
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 33
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 34
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 35
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 36
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 37
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 38
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 39
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 40
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 41
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 42
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 43
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 44
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 45
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 46
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 47
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 48
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 49
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 50
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 51
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 52
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 53
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 54
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 55
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 56
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 57
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 58
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 59
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 60
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 61
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 62
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 63
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 64
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 65
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 66
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 67
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 68
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 69
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 70
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 71
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 72
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 73
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 74
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 75
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 76
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 77
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 78
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 79
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 80
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 81
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 82
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 83
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 84
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 85
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 86
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 87
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 88
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 89
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 90
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 91
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 92
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 93
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 94
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 95
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 96
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 97
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 98
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?
Slide 99
Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n
Planos no espaço e em
n
Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou 1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) + (7, 4)
x 3 7
y 2 4
equação
vectorial
equações
paramétricas
x 3 7
y 2 4
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
x 3 7
y 2 4
x3
7
x3
y 2 4
7
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
4 x 7 y 26
Equação Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
4 x 7 y 26
4 ( 3 ) 7 2 26
47 74 0
( 4 ,7 ) ( 7 , 4 ) 0
Equação geral da recta no plano:
ax by c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
x a1 u 1
y a2 u2
y a2
u2
u1
x a1
x a1
u
1
x a1
y a2
u2
u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) + (u1, u2)
y a2
u2
u1
x a1
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
u2
y
x a 2
a 1
u1
u1
u2
m
u2
u1
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
tg
u2
u1
u2
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
Declive da recta:
• A
m
tg
u2
u1
u2
u1
chama-se declive da recta
u2
h a 2
a 1
u1
y=mx+h
m
h
declive
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
tg
u2
u1
chama-se declive da recta
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A + u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B + v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
y
1
2
x
9
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A + u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B + v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
Recta L:
m
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
v1
u2
h a 2
a 1
u1
v2
h ' b 2
b1
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
Recta L:
m
u2
h a 2
a 1
u1
u2
u1
Recta L’:
m'
v2
h ' b 2
b1
v1
v2
v1
u v 0 u 1 v1 u 2 v 2 0
u1
u2
v2
v1
m
1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta
r:
ax by c 0
recta
s:
a' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
ax by c 0
a ' x b' y c' 0
1º caso:
2º caso:
3º caso:
sistema possível e determinado: as rectas
são concorrentes
sistema impossível: as rectas são paralelas
sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3 x 4 y 12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x 3y h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17
4 x 3 y 17
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
3 x 4 y 12
4 x 3 y 17
104
x 25 4 . 16
3
y
0 . 12
25
d ( A, B )
5 4 . 16 2 1 0 . 12 2
d ( A , B ) 1 .4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax 1 by 1 c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
x p1 u 1
y p2 u2
z p u
3
3
x p1
u1
x p1
u2
y p2
u1
x p1
z p3
u3
u1
Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M P u v : ,
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x 1
y 2 2
z 3 4
x 1
y 2 2
z 3 4
1
0
0
2 y 2 2 x 2
3
z 3 x 1
1
x 1
1
2
1
x 1
0 y 2
4 z 3
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
x 1
2 y 2x
3 z x 4
1
1
0
0
1
0
0
x 1
y
1 x
2
3 z x 4
1
x 1
1
y
1
x
2
0
y
z x 4 3 3x
2
z 4x 3
y
40
2
4x 3
y
z 4
2
8 x 3 y 2 z 8
8x 3y 2z 8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det" 1
1
2
n det
0
1
e1 det
4
e2
2
0
1
1
e3
1
4
1
e 2 det
4
1
1
n 8 e1 3 e 2 2 e 3 8 , 3, 2
2
e3
0
n X P 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
n X P 0
8 , 3 , 2 x 1, y 2 , z 3 0
8x 3y 2z 8 6 6 0
8x 3y 2z 8
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q , M )
P Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M P u v : ,
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q , M )
P Q n
n
ax 0 by 0 cz 0 d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?