Transcript Guía Modular de Estudio

Guías Modulares de Estudio
MATEMATICAS III
Parte A
Semana 1:
Unidad 1: Sistema de Ejes Coordenados,
Segmentos Rectas y Polígonos
MATEMATICAS III
Objetivo:
• Calcular perímetros, áreas y ángulos interiores de figuras
planas a partir de las coordenadas de sus vértices para la
resolución de problemas teórico-prácticos.
Sistema de Ejes Coordenados,
Segmentos Rectas y Polígonos
Parejas Ordenadas
• Una pareja ordenada esta constituida por dos términos escritos en un
orden especifico.
La pareja ordenada (a,b) tiene a como primer elemento, y b como
segundo elemento
• El primer elemento de la pareja ordenada (5,3) es el número 5 y su
segundo elemento es el número 3
Igualdad de Parejas Ordenadas
1. Sus primeros elementos son iguales, y
2. Los segundos elementos son iguales
(a,b) = (c,d)
a=cyb=d
Sistema de Ejes Coordenados,
Segmentos Rectas y Polígonos
Ejes Coordenados
Cada pareja ordenada de números se puede representar gráficamente
como un punto del plano.
Así para dibujar la gráfica de (-5,3) se trazan dos rectas numéricas, una
horizontal -eje x- y otra vertical -eje y-, con el mismo origen de sus
escalas.
Sobre estos ejes localizamos los elementos de la pareja (-5,3): -5 en el
eje x, 3 en el eje y.
La gráfica de (-5,3) es el punto de intersección de las rectas trazadas por
-5 y 3, paralelas a los ejes.
Sistema de Ejes Coordenados,
Segmentos Rectas y Polígonos
Lugares Geométricos, Soluciones y Gráficas
• Los puntos que cumplen una condición forman un lugar geométrico,
una recta, por ejemplo, es el lugar geométrico de los puntos que
conservan siempre una misma dirección
• Si los puntos se ubican en un plano coordenado, cualquier
condición sobre los mismos concluye como una relación entre su
abscisa y su ordenada.
Por lo general, las relaciones entre las coordenadas (x,y) de los
puntos se expresan mediante ecuaciones.
• Toda pareja ordenada de números que es solución de la ecuación
pertenece a la gráfica de esta
• Todo punto sobre la gráfica satisface la ecuación.
Sistema de Ejes Coordenados,
Segmentos Rectas y Polígonos
Gráficas e Intersecciones con los Ejes
• La gráfica de una ecuación esta constituida exclusivamente por los
puntos que satisfacen la ecuación.
• La gráfica de y = 2x + 6 atraviesa al
eje x en A(3,0)
eje y en B(0,-6)
• Ambos puntos pertenecen a la gráfica ya que satisfacen y = 2x – 6:
A(3,0): 0 = 2(3) - 6
B(0,-6): -6 = 2(0) – 6
• El punto A esta sobre el eje x porque su ordenada es cero. El punto
B está sobre el eje y porque su abscisa es cero
Sistema de Ejes Coordenados,
Segmentos Rectas y Polígonos
Simetrías de una Gráfica
• Algunas gráficas tienen una característica geométrica que facilita
enormemente su dibujo: su trazo se refleja respecto a una línea o
un punto. De esta forma, se dibuja solo una parte de la gráfica y la
otra se obtiene por reflexión.
Semana 2:
Unidad 1: Sistema de Ejes Coordenados,
Segmentos Rectas y Polígonos
Sistema de Ejes Coordenados,
Segmentos Rectas y Polígonos
Distancia Entre Dos Puntos
• Cuando dos puntos están situados en un eje numérico es muy
simple calcular la distancia entre ellos.
• En un sistema coordenado unidimensional, la distancia dirigida
entre los puntos P1 (x1) y P2 (x2) se obtiene restando a la
coordenada del punto final la coordenada del punto inicial.
P1P2 = x2 – x1
P2P1 = x1 – x2
El valor absoluto de la distancia dirigida entre los puntos es la
distancia entre ellos.
En un sistema coordenado bidimensional la distancia entre los puntos
P1(x1,y1) y P2(x2,y2) se obtiene con la formula:
P1P2 = √(x1 – x2)² + (y1 – y2)²
Sistema de Ejes Coordenados,
Segmentos Rectas y Polígonos
División de un Segmento en una Razón Dada
Un punto sobre un segmento divide a este en 2 partes
A
P
B
A
M
B
•
•
Una parte puede ser
Pueden ambas partes
mayor que la otra
ser iguales
• Las longitudes se comparan mediante un cociente que expresa
matemáticamente la idea intuitiva de “cuantas veces cabe un
segmento en el otro”.
Sistema de Ejes Coordenados,
Segmentos Rectas y Polígonos
Pendiente de una Recta
y
x
α
y
α es el ángulo de inclinación
de la recta
y
tan α =
x
El cociente
es la
x
pendiente de la recta
Sistema de Ejes Coordenados,
Segmentos Rectas y Polígonos
Rectas Paralelas
• Dos rectas paralelas tienen el mismo ángulo de inclinación.
• Esto implica que sus tangentes son iguales, es decir, las pendientes
coinciden
tan 30° = tan 30°
30°
30°
m1 = m2
• Condición del paralelismo: dos rectas L1 y L2 son paralelas si, y sólo
si, sus pendientes son iguales
Sistema de Ejes Coordenados,
Segmentos Rectas y Polígonos
Rectas Perpendiculares
• Dos rectas perpendiculares tienen ángulos de inclinación que
difieren en 90°.
• Esto implica que sus tangentes son recíprocas y difieren en signo,
es decir, el producto de sus pendientes es -1
-1
tan 45° =
90°
tan 135°
45°
45°
m1 m2 = -1
Condición de perpendicularidad: Dos rectas L1 y L2 son
perpendiculares si, y solo si, el producto de sus pendientes es -1
m1 m2 = -1
Sistema de Ejes Coordenados,
Segmentos Rectas y Polígonos
Área de un Polígono
• Es posible determinar el área de un polígono situado en un plano
cartesiano aplicando un procedimiento sencillo.
• Este se basa en la fórmula para hallar el área de un triángulo
Área de un Triángulo
• El área del triángulo con
igual al valor absoluto de:
x1
1
x2
2
x3
vértices P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3 (x3,y3), es
y1 1
y2 1
y3 1
Examen (Semanas 1 y 2)
• ¿Qué es una pareja ordenada?
• ¿La pareja ordenada (a,b), tiene 2 elementos como se llaman y
cuales son?
• ¿En un sistema coordenado unidimensional, como se obtiene
la distancia dirigida entre los puntos P1 (x1) y P2 (x2)?
• Estas tienen el mismo ángulo de inclinación
• Estas tienen ángulo de inclinación que difieren de 90°
Semana 3:
Unidad 2: Línea Recta
MATEMATICAS III
Objetivo:
• Determinar el modelo matemático y la representación grafica
de una recta ,a partir de la aplicación de la ecuación general,
para la resolución de problemas teórico-prácticos
Línea Recta
Forma Punto – Pendiente de la Ecuación de la Recta
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una propiedad:
y
y
3
2
1
0
-3
x
Descripción: Puntos que están a dos
unidades de distancia arriba del eje x.
Ecuación: y =2
Identificación: recta horizontal situada
dos unidades arriba del eje x
0
3
x
-3
Descripción: Puntos que están
a 3 unidades de distancia del origen
Ecuación: x² + y² = 9
Identificación: Circunferencia con
centro en el origen y radio igual a 3
Línea Recta
• La propiedad geométrica que caracteriza a una recta es que sus puntos
no cambian de dirección. Esto significa que la pendiente entre dos,
cualesquiera de ellos, es siempre la misma. Así:
• Recta como lugar geométrico: Una recta es el lugar geométrico de
los puntos que tienen entre sí la misma pendiente
• Ecuación de la recta en la forma punto – pendiente: La recta con
pendiente m, que pasa por el punto P1(x1, y1) tiene por ecuación:
y – y1 = m(x – x1)
Línea Recta
Forma Pendiente – Ordenada al Origen de la Ecuación de la Recta
La ordenada al origen
La ordenada de origen
de esta recta es 0
de esta recta es 4
y
y
4
4
3
3
m =2
-1
2
2
1
1
0
y = 2x
x
-2
-1 0
y = 2x + 4
1
x
Línea Recta
• La ordenada del punto (o,b) donde la recta interseca al eje y, se
llama ordenada al origen. Así, en el primer caso b = 0, y en el
segundo b = 4.
• Conociendo el punto (o,b) de la recta y su pendiente m, podemos
obtener su ecuación, e incluso, escribirla de manera muy simple y
sugestiva, por la información que proporciona.
y – y1 = m(x - x1)
Forma punto – pendiente
y – b = m(x – 0)
Sustituyendo 0 por x1, b por y1
y = mx + b
Simplificando y transponiendo b.
• Ecuación de la recta en la forma pendiente – ordenada al origen: La
recta con pendiente m, y ordenada al origen b, tiene por ecuación
y=mx+b
Línea Recta
Forma simétrica de la ecuación de al recta
•
•
Dos puntos es todo lo que necesitamos para determinar una receta.
Cuando estos puntos son las intersecciones de la recta con los ejes
coordenados su ecuación adopta una forma sencilla y útil.
y
8
7
6
5
4
3
2
1
Ecuación Simétrica: x + y = 1
5 8
5 es la abscisa al origen d la recta y 8 es
la ordenada al origen, es decir, son la
abscisa y la ordenada de los puntos (5,0)
y (0,8) donde la recta corta a los ejes
coordenados.
x
-3 -2 -1
0 1 2 3 4 5
-1
Línea Recta
Forma General de al Ecuación de al Recta
• Todas las ecuaciones de la recta, una vez simplificadas, adoptan la forma:
Ax + By = C
Así:
y – 2 = -4 (x – 3) Ecuación de la recta que pasa por (3,2) con m = -4
y – 2 = -4x +12
Efectuando el producto
4x + y = 14
Transponiendo y simplificando términos
4x + y = 14 es la forma general de la ecuación de la recta y – 2 = -4(x – 3).
• La forma Ax + By = C expresa que la suma de los términos que contienen
a las variables x, y, es constante.
• Forma general de la ecuación de la recta: esta puede escribirse,
simplificándola en la forma general:
Ax + By C
Semana 4:
Unidad 2: Línea Recta
Línea Recta
La Ecuación General de Primer Grado en dos Variables
• Toda ecuación de la forma Ax + By + C = 0, donde A y B no son
simultáneamente cero, representa una línea recta.
Identificación de al recta en la ecuación de primer grado
Ecuación
Recta
Ax + By + C = 0
Con m = - A , b = - C
B
B
Ax + By = 0
Pasa por el origen
Ax + C = 0
Vertical
By + C = 0
Horizontal
• En cada caso los coeficientes escritos son distintos de cero y los
que no están son cero.
Línea Recta
Forma Normal de la Ecuación de la Recta: se obtiene al dividir la
forma general Ax + By = C entre + √A ² + B², con igual signo que C.
4x + 3y = 10
Forma general
√4² + 3² = 5
Sustituyendo 4 por A, 3 por B
en √A² + B²
Forma normal: 4x + 3y = 2
5
Dividiendo entre 5.
Examen (Semanas 3 y 4)
•
•
•
•
¿Qué es un lugar geométrico?
¿Cuál es la ecuación de la recta en la forma punto – pendiente?
¿Qué se necesita para determinar una recta?
¿Cuál es la forma general de la ecuación de la recta
y – 2 = -4(x – 3)?
• ¿Cómo se obtiene la forma normal de la ecuación de la recta?