Transcript y 1 - Investigadores

Curso de:
Matemáticas de Apoyo
Geometría Analítica
Instructor:
Dra. María Esther Treviño Martínez
1
Coordenadas Rectangulares
2
Distancia entre dos puntos
d  ( x 2  x 1 )  y 2  y 1 
2
2
3
Punto medio
P1M
x  x 1 P1P


r
PN
x2  x
PP2
x 
x 1  rx 2
1 r
;
y 
y 1  ry 2
1 r
y 
y1  y 2
r 1
x 
x1  x 2
2
;
2
4
Pendiente de una recta
y 2  y1
m  tg  
x 2  x1
 Si 2 rectas son paralelas sus pendientes son iguales
 Si 2 rectas son perpendiculares la pendiente de una será el
recíproco de la otra con el signo contrario
5
Línea Recta
Representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación sea
de primer grado en dos variables.
Formas de la ecuación de una recta
a) PUNTO-PENDIENTE
Recta que pasa por el punto P1(x1, y1) y cuya pendiente sea m
y  y 1  m( x  x 1 )
b) PENDIENTE-ORDENADA EN EL ORIGEN
Recta de pendiente m que corta al eje en y en el punto P1(0, b) y cuya
y  mx  b
6
Línea Recta
Formas de la ecuación de una recta
c) CARTESIANA
Recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
y  y1 y1  y 2

x  x1 x1  x 2
d) REDUCIDA O ABSCISA Y ORDENADA EN EL ORIGEN
Recta que corta a los ejes x y y en los puntos (a, 0) y (0, b)
x y

1
a b
7
Línea Recta
Formas de la ecuación de una recta
e) GENERAL
Ecuación lineal o de primer grado
Ax  By  C  0
A
m 
B
C
b 
B
8
Línea Recta
Formas de la ecuación de una recta
f) NORMAL
Recta que queda determinada si se conoce la longitud de la perpendicular a
ella trazada desde el origen (0, 0) y el ángulo que forma dicha perpendicular
con el eje x. La distancia p positiva a cualquier valor del ángulo w .
x 1  p cosw
m 
;
y 1  p senw
1
cosw
  cot gw  
tgw
senw
y  y 1   cot gw x  x 1 
y  p senw  
cosw
( x  p cosw )
senw
x cosw  y senw  p  0
9
Línea Recta
Reducción de la forma general a la normal
x cosw  y senw  p  0
Ax  By  C  0
cosw
A

senw
B
cosw  kA
;

p
C
k
senw  kB
;
 p  kC
cos2 w  sen2 w  k (2 A 2  B 2 )  1
k 
1

cosw 
A2  B 2
A
 A2  B 2
;
senw 
B
 A2  B 2
;
p 
C
 A2  B 2
A
B
C
x

y

0
 A2  B 2
 A2  B 2
 A2  B 2
10
Distancia de un punto a una recta
Ecuación para L:
x cosw  y senw  p  0
Ecuación para L1:
x cosw  y senw  p  d   0
x 1 cosw  y 1 senw  p  d   0
d  x 1 cosw  y 1 senw  p
11
Secciones Cónicas
 El lugar geométrico de los puntos cuya relación de
distancias a un punto y una recta fijos es constante se define
como cónica o sección cónica.
 El punto fijo se llama foco.
 La recta fija se llama directriz.
 La relación constante se llama excentricidad.
12
Secciones Cónicas
Los tres ejemplos de intersección de un plano con un cono:
parábola (A), elipse y círculo (B) e hipérbola (C).
13
Secciones Cónicas
14
Secciones Cónicas
Excentricidad: en matemáticas, geometría, astronomía y otras ciencias
exactas, es un parámetro que determina el grado de desviación de una
sección cónica con respecto a una circunferencia.
Valores de la excentricidad en secciones cónicas:
Circunferencia
Elipse
e=0
0<e<1
Parábola
e=1
Hipérbola
e>1
15
Circunferencia
Es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado
centro; esta distancia se denomina radio.
La ecuación queda completamente
determinada si se conoce el centro
y el radio
Ecuación una circunferencia
con centro en el origen y radio r
x  y r
2
2
2
Ecuación una circunferencia
de centro (h,k) y radio r
x - h   y  k 
2
2
 r2
16
Circunferencia
Ecuación general de una circunferencia
x  y  Dx  Ey  F  0
2
Reordenando
Completando cuadrados
2
x 2  Dx  y 2  Ey  F  0
D2
E2
D2 E 2
2
x  Dx 
 y  Ey 


F
4
4
4
4
2
2
Se tiene la ecuación
Con centro en el punto
y radio igual a
2
D
E
D 2  E 2  4F


x    y   
2
2
4


 D E
  , 
2
 2
r
1
2
D 2  E 2  4F
17
Circunferencia
La circunferencia es real si:
D 2  E 2  4F  0
La circunferencia es imaginaria si:
D 2  E 2  4F  0
La circunferencia representa un punto si:
D 2  E 2  4F  0
18
Circunferencia
diámetro
Diámetro: es el segmento de mayor distancia posible entre dos puntos
que pertenezcan a la circunferencia; la longitud del diámetro es el doble
de la longitud del radio.
Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia; la
cuerda de longitud máxima es el diámetro.
Secante: es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
Tangente: es recta que toca a la circunferencia en un sólo punto.
19
Parábola
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de
una recta (eje o directriz) y un punto fijo (foco).
PF  PM
x  a2   y  0 2
 x a
20
Parábola
PF  PM
x  a2   y  0 2
Elevando al cuadrado
Simplificando
Si el foco está a la izquierda
de la directriz
Si el foco pertenece al eje y
 x a
x 2  2ax  a 2  y 2  x 2  2ax  a 2
y 2  4ax
y 2  4ax
x 2  4ax
21
Parábola
Si el vértice de la parábola tiene coordenadas (h,k), de eje paralelo
al eje de las x y foco a la derecha del vértice a una distancia a
x  a    y  0 
2
2
 x a
x  h  a 2   y  k 2
 xha
y  2ky  k  4ax  4ah
2
2
 y  k 2  4ax  h 
 y  k 2  4ax  h 
x  h 2  4a y  k 
x  h 2  4a y  k 
22
Parábola
x  ay2  by  c
y  ax2  bx  c
Excentricidad
Latus rectum
e 1
4a
23
Elipse
Una elipse es un lugar geométrico de los puntos (x, y) de un plano, que tienen
la propiedad de que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos
(F1 y F2 ), es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor AB de la
elipse.
24
Elipse
Eje mayor = 2a
Eje menor = 2b
Distancia focal = 2c
F' P  PF  2a
a 2  b2  c 2
25
Elipse
F' P  PF  2a
a 2  b2  c 2
Elevando al cuadrado y
reduciendo términos
Elevando al cuadrado y
simplificando
Dividiendo por
 x  c 2   y  0 2

 x  c 2   y  0 2
 2a -
cx  a 2  - a
a
2

 x  c 2   y  0 2
 x  c 2   y  0 2
 x  c 2   y  0 2


 c2 x2  a2 y2  a2 a2  c2
a2 a2  c2
 2a


x2
y2
 2
1
a2
a  c2
Haciendo que
a 2  c2  b2
x2
y2
 2 1
a2
b
b 2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2
26
Elipse
Ecuación de la elipse con centro en el origen y focos en el eje de las x
x2 y 2
 2 1
2
a
b
Ecuación de la elipse con centro en el origen y focos en el eje de las y
2
2
x
y
 2 1
2
b
a
27
Elipse
Excentricidad
c
e 
a
Latus rectum
2b 2
a
a 2  b2
a
Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje x
a
x 0
e
;
a
x 0
e
Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje y
y
a
0
e
;
y
a
0
e
28
Elipse
Si el centro de la elipse tiene coordenadas (h,k) y eje transversal
paralelo al eje x
x  h2   y  k 2  1
a2
b2
Si el centro de la elipse tiene coordenadas (h,k) y eje transversal
paralelo al eje y
x  h2   y  k 2  1
b2
a2
Ecuación general de una elipse siempre que A y B del mismo signo
Ax  By  Dx  Ey  F  0
2
2
29
Hipérbola
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos (x , y) de un plano,
tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos
fijos, llamados focos (F1 y F2 ), es constante e igual a la distancia entre
los vértices, la cual es una constante positiva.
F1P  PF2  2a
30
Hipérbola
C: punto central de la hipérbola donde se
cruzan las asíntotas.
Eje transversal: línea que une los puntos
focales (F1 y F2).
a : distancia del vértice al centro sobre el
eje transversal.
Eje conjugado: línea perpendicular al eje
transversal de distancia 2b.
b: punto de corte del eje conjugado con la
circunferencia de centro a y radio c.
Directrices, D1 y D2 : líneas paralelas al eje
conjugado.
a b c
2
2
2
Latus rectum: cuerda que pasa por el
foco en forma paralela a la directriz.
31
Hipérbola
Por definición
x
F1P  PF2  2a
 c 2 ( y  0 )2 
x  c 2 ( y
 0 )2  2a
32
Hipérbola
F1P  PF2  2a
a 2  b2  c 2
x  c 2 ( y
 0 )2 
x  c 2 ( y
x  c 2 ( y
 0 )2  2a 
Elevando al cuadrado y
reduciendo términos
cx  a 2  a ( x  c )2  y 2
Elevando al cuadrado y
simplificando
c
Haciendo que
2
 0 )2  2a
x  c 2 ( y
 0 )2
 a 2 x 2  a 2 y 2  a (2 c 2  a 2 )
c2 a2  b2
b 2 x 2  ay 2  a 2b 2
Dividiendo por
a 2b 2
x2 y2

1
a2 b2
33
Hipérbola
Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos en el eje de las x
x
y
 2 1
2
a
b
2
2
Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos en el eje de las y
y2 x2
 2 1
2
a
b
Ecuación general de una hipérbola con centro en el origen y
focos sobre los ejes de coordenadas
Ax  By  1
2
2
34
Hipérbola
e 
Excentricidad
c
a
2b 2
Latus rectum
a
Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje x
y cuando están sobre el eje y
a
x 
e
;
a
y 
e
Ecuaciones de las asíntotas para cuando el eje transversal es el eje x
y cuando el eje transversal es el eje y
y 
b
x
a
;
y 
a
x
b
35
Hipérbola
Si el centro de la hipérbola tiene coordenadas (h,k) y eje transversal
paralelo al eje x
x  h 2  y  k 2  1
a2
b2
Si el centro de la hipérbola tiene coordenadas (h,k) y eje transversal
paralelo al eje y
y  k 2  x  h 2
a
b
2
2
1
Ecuación general de una hipérbola con centro en las coordenadas (h,k) y
ejes paralelos a los de las coordenadas x y y, siendo A y B del mismo signo
Ax  By  Dx  Ey  F  0
2
2
36
Hipérbola
Ecuaciones de las asíntotas para cuando el eje transversal es el eje x
y cuando el eje transversal es el eje y
y 
b
x
a
;
y 
a
x
b
Ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola con centro
en las coordenadas (h,k) para cuando el eje transversal es el eje x
y cuando el eje transversal es el eje y
b
y  k   x  h 
a
;
a
y  k   x  h 
b
37