y 1 - Investigadores
Download
Report
Transcript y 1 - Investigadores
Curso de:
Matemáticas de Apoyo
Geometría Analítica
Instructor:
Dra. María Esther Treviño Martínez
1
Coordenadas Rectangulares
2
Distancia entre dos puntos
d ( x 2 x 1 ) y 2 y 1
2
2
3
Punto medio
P1M
x x 1 P1P
r
PN
x2 x
PP2
x
x 1 rx 2
1 r
;
y
y 1 ry 2
1 r
y
y1 y 2
r 1
x
x1 x 2
2
;
2
4
Pendiente de una recta
y 2 y1
m tg
x 2 x1
Si 2 rectas son paralelas sus pendientes son iguales
Si 2 rectas son perpendiculares la pendiente de una será el
recíproco de la otra con el signo contrario
5
Línea Recta
Representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación sea
de primer grado en dos variables.
Formas de la ecuación de una recta
a) PUNTO-PENDIENTE
Recta que pasa por el punto P1(x1, y1) y cuya pendiente sea m
y y 1 m( x x 1 )
b) PENDIENTE-ORDENADA EN EL ORIGEN
Recta de pendiente m que corta al eje en y en el punto P1(0, b) y cuya
y mx b
6
Línea Recta
Formas de la ecuación de una recta
c) CARTESIANA
Recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
y y1 y1 y 2
x x1 x1 x 2
d) REDUCIDA O ABSCISA Y ORDENADA EN EL ORIGEN
Recta que corta a los ejes x y y en los puntos (a, 0) y (0, b)
x y
1
a b
7
Línea Recta
Formas de la ecuación de una recta
e) GENERAL
Ecuación lineal o de primer grado
Ax By C 0
A
m
B
C
b
B
8
Línea Recta
Formas de la ecuación de una recta
f) NORMAL
Recta que queda determinada si se conoce la longitud de la perpendicular a
ella trazada desde el origen (0, 0) y el ángulo que forma dicha perpendicular
con el eje x. La distancia p positiva a cualquier valor del ángulo w .
x 1 p cosw
m
;
y 1 p senw
1
cosw
cot gw
tgw
senw
y y 1 cot gw x x 1
y p senw
cosw
( x p cosw )
senw
x cosw y senw p 0
9
Línea Recta
Reducción de la forma general a la normal
x cosw y senw p 0
Ax By C 0
cosw
A
senw
B
cosw kA
;
p
C
k
senw kB
;
p kC
cos2 w sen2 w k (2 A 2 B 2 ) 1
k
1
cosw
A2 B 2
A
A2 B 2
;
senw
B
A2 B 2
;
p
C
A2 B 2
A
B
C
x
y
0
A2 B 2
A2 B 2
A2 B 2
10
Distancia de un punto a una recta
Ecuación para L:
x cosw y senw p 0
Ecuación para L1:
x cosw y senw p d 0
x 1 cosw y 1 senw p d 0
d x 1 cosw y 1 senw p
11
Secciones Cónicas
El lugar geométrico de los puntos cuya relación de
distancias a un punto y una recta fijos es constante se define
como cónica o sección cónica.
El punto fijo se llama foco.
La recta fija se llama directriz.
La relación constante se llama excentricidad.
12
Secciones Cónicas
Los tres ejemplos de intersección de un plano con un cono:
parábola (A), elipse y círculo (B) e hipérbola (C).
13
Secciones Cónicas
14
Secciones Cónicas
Excentricidad: en matemáticas, geometría, astronomía y otras ciencias
exactas, es un parámetro que determina el grado de desviación de una
sección cónica con respecto a una circunferencia.
Valores de la excentricidad en secciones cónicas:
Circunferencia
Elipse
e=0
0<e<1
Parábola
e=1
Hipérbola
e>1
15
Circunferencia
Es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado
centro; esta distancia se denomina radio.
La ecuación queda completamente
determinada si se conoce el centro
y el radio
Ecuación una circunferencia
con centro en el origen y radio r
x y r
2
2
2
Ecuación una circunferencia
de centro (h,k) y radio r
x - h y k
2
2
r2
16
Circunferencia
Ecuación general de una circunferencia
x y Dx Ey F 0
2
Reordenando
Completando cuadrados
2
x 2 Dx y 2 Ey F 0
D2
E2
D2 E 2
2
x Dx
y Ey
F
4
4
4
4
2
2
Se tiene la ecuación
Con centro en el punto
y radio igual a
2
D
E
D 2 E 2 4F
x y
2
2
4
D E
,
2
2
r
1
2
D 2 E 2 4F
17
Circunferencia
La circunferencia es real si:
D 2 E 2 4F 0
La circunferencia es imaginaria si:
D 2 E 2 4F 0
La circunferencia representa un punto si:
D 2 E 2 4F 0
18
Circunferencia
diámetro
Diámetro: es el segmento de mayor distancia posible entre dos puntos
que pertenezcan a la circunferencia; la longitud del diámetro es el doble
de la longitud del radio.
Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia; la
cuerda de longitud máxima es el diámetro.
Secante: es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
Tangente: es recta que toca a la circunferencia en un sólo punto.
19
Parábola
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de
una recta (eje o directriz) y un punto fijo (foco).
PF PM
x a2 y 0 2
x a
20
Parábola
PF PM
x a2 y 0 2
Elevando al cuadrado
Simplificando
Si el foco está a la izquierda
de la directriz
Si el foco pertenece al eje y
x a
x 2 2ax a 2 y 2 x 2 2ax a 2
y 2 4ax
y 2 4ax
x 2 4ax
21
Parábola
Si el vértice de la parábola tiene coordenadas (h,k), de eje paralelo
al eje de las x y foco a la derecha del vértice a una distancia a
x a y 0
2
2
x a
x h a 2 y k 2
xha
y 2ky k 4ax 4ah
2
2
y k 2 4ax h
y k 2 4ax h
x h 2 4a y k
x h 2 4a y k
22
Parábola
x ay2 by c
y ax2 bx c
Excentricidad
Latus rectum
e 1
4a
23
Elipse
Una elipse es un lugar geométrico de los puntos (x, y) de un plano, que tienen
la propiedad de que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos
(F1 y F2 ), es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor AB de la
elipse.
24
Elipse
Eje mayor = 2a
Eje menor = 2b
Distancia focal = 2c
F' P PF 2a
a 2 b2 c 2
25
Elipse
F' P PF 2a
a 2 b2 c 2
Elevando al cuadrado y
reduciendo términos
Elevando al cuadrado y
simplificando
Dividiendo por
x c 2 y 0 2
x c 2 y 0 2
2a -
cx a 2 - a
a
2
x c 2 y 0 2
x c 2 y 0 2
x c 2 y 0 2
c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
a2 a2 c2
2a
x2
y2
2
1
a2
a c2
Haciendo que
a 2 c2 b2
x2
y2
2 1
a2
b
b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2
26
Elipse
Ecuación de la elipse con centro en el origen y focos en el eje de las x
x2 y 2
2 1
2
a
b
Ecuación de la elipse con centro en el origen y focos en el eje de las y
2
2
x
y
2 1
2
b
a
27
Elipse
Excentricidad
c
e
a
Latus rectum
2b 2
a
a 2 b2
a
Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje x
a
x 0
e
;
a
x 0
e
Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje y
y
a
0
e
;
y
a
0
e
28
Elipse
Si el centro de la elipse tiene coordenadas (h,k) y eje transversal
paralelo al eje x
x h2 y k 2 1
a2
b2
Si el centro de la elipse tiene coordenadas (h,k) y eje transversal
paralelo al eje y
x h2 y k 2 1
b2
a2
Ecuación general de una elipse siempre que A y B del mismo signo
Ax By Dx Ey F 0
2
2
29
Hipérbola
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos (x , y) de un plano,
tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos
fijos, llamados focos (F1 y F2 ), es constante e igual a la distancia entre
los vértices, la cual es una constante positiva.
F1P PF2 2a
30
Hipérbola
C: punto central de la hipérbola donde se
cruzan las asíntotas.
Eje transversal: línea que une los puntos
focales (F1 y F2).
a : distancia del vértice al centro sobre el
eje transversal.
Eje conjugado: línea perpendicular al eje
transversal de distancia 2b.
b: punto de corte del eje conjugado con la
circunferencia de centro a y radio c.
Directrices, D1 y D2 : líneas paralelas al eje
conjugado.
a b c
2
2
2
Latus rectum: cuerda que pasa por el
foco en forma paralela a la directriz.
31
Hipérbola
Por definición
x
F1P PF2 2a
c 2 ( y 0 )2
x c 2 ( y
0 )2 2a
32
Hipérbola
F1P PF2 2a
a 2 b2 c 2
x c 2 ( y
0 )2
x c 2 ( y
x c 2 ( y
0 )2 2a
Elevando al cuadrado y
reduciendo términos
cx a 2 a ( x c )2 y 2
Elevando al cuadrado y
simplificando
c
Haciendo que
2
0 )2 2a
x c 2 ( y
0 )2
a 2 x 2 a 2 y 2 a (2 c 2 a 2 )
c2 a2 b2
b 2 x 2 ay 2 a 2b 2
Dividiendo por
a 2b 2
x2 y2
1
a2 b2
33
Hipérbola
Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos en el eje de las x
x
y
2 1
2
a
b
2
2
Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos en el eje de las y
y2 x2
2 1
2
a
b
Ecuación general de una hipérbola con centro en el origen y
focos sobre los ejes de coordenadas
Ax By 1
2
2
34
Hipérbola
e
Excentricidad
c
a
2b 2
Latus rectum
a
Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje x
y cuando están sobre el eje y
a
x
e
;
a
y
e
Ecuaciones de las asíntotas para cuando el eje transversal es el eje x
y cuando el eje transversal es el eje y
y
b
x
a
;
y
a
x
b
35
Hipérbola
Si el centro de la hipérbola tiene coordenadas (h,k) y eje transversal
paralelo al eje x
x h 2 y k 2 1
a2
b2
Si el centro de la hipérbola tiene coordenadas (h,k) y eje transversal
paralelo al eje y
y k 2 x h 2
a
b
2
2
1
Ecuación general de una hipérbola con centro en las coordenadas (h,k) y
ejes paralelos a los de las coordenadas x y y, siendo A y B del mismo signo
Ax By Dx Ey F 0
2
2
36
Hipérbola
Ecuaciones de las asíntotas para cuando el eje transversal es el eje x
y cuando el eje transversal es el eje y
y
b
x
a
;
y
a
x
b
Ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola con centro
en las coordenadas (h,k) para cuando el eje transversal es el eje x
y cuando el eje transversal es el eje y
b
y k x h
a
;
a
y k x h
b
37