Transcript INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA MIGUEL ANGEL DIAZ Hasta el momento, de una función f(x), podemos conocer: • Dominio • Cortes de la gráfica con el.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
MIGUEL ANGEL DIAZ
Hasta el momento, de una función f(x), podemos conocer:
• Dominio
• Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y
•Continuidad
•Asíntotas y ramas parabólicas
Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer:
•
Intervalos de crecimiento / decrecimiento
•
Máximos y mínimos relativos
Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS
La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos
mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas
tangentes:
m=0
m>0
m<0
En los puntos de
máximo o mínimo, la
recta tangente es
horizontal ( es decir,
la pendiente es 0)
m<0
m=0
En los tramos de
crecimiento la recta
tangente tiene
pendiente positiva, en
los de decrecimiento la
tiene negativa.
Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a
La derivada de la función f en a se denota con el símbolo f’(a), que
se lee “f prima de a”
y=3
y=1,2x+1,5
f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente
en el punto de abscisa 4,5 tiene
pendiente -3/2.
f’(-2)= 0
f’(2)=1,2
y=-1,3x+13
y=-3/2x-24
y=-4
f’(4)=0
f’(6)=-1,3
(3,2)
(1,-1)
Para calcular la
pendiente m es muy fácil:
y1 - y 0
2 - (- 1) 3
m=
=
=
x1 - x0
3- 1
2
De esta manera f’(3)=3/2
y1 - y 0
m=
x1 - x0
O LO QUE ES LO MISMO:
f ( x1 ) - f ( x0 )
m=
x1 - x0
Nos proponemos ahora calcular la pendiente la recta t tangente en un
punto de abscisa x=a. Pero sólo tenemos el punto de tangencia A de la
recta t, y para hallar su pendiente necesitamos dos puntos. ¿Qué
hacer?
Recta t
A(a,f(a))
Estamos sobre el eje X en a, abscisa del punto A de tangencia, y nos
desplazamos hacia la derecha o izquierda una distancia h. Tenemos así el
punto x=a+h sobre el eje X y su correspondiente punto de la gráfica P((a+h),
f(a+h))
P(a+h,f(a+h))
A(a,f(a))
Recta t
a
a+h
Calculamos la pendiente de la recta secante AP con las coordenadas de los dos
puntos A y P.
P(a+h,f(a+h))
f(a+h)-f(a)
A(a,f(a))
Recta t
h
a
a+h
m=
f (a + h) - f (a) f (a + h) - f (a)
=
a+ h- a
h
Hacemos que h sea cada vez más pequeño. Si h es muy pequeño, a+h está
muy cerca de a. De esta forma:
P
A
h
a
0
a+h
P está muy próximo a A
La secante AP “casi” se confunde con la tangente t
La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t
Ahora bien, el valor de h no puede
ser 0, aunque sí todo lo pequeño
que se quiera. Y aquí interviene el
concepto de límite.
P
A
h
a
0
a+h
P está muy próximo a A
La secante AP “casi” se confunde con la tangente t
La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t
lim(pendientes de las secantes)= pendiente de la tangente
h® 0
f ( x + h) - f ( x )
lim
= f '(a)
h® 0
h
P
A
a
a+h
Así pues la derivada es un número que se obtiene mediante un límite
Calcula la derivada de f(x)=x2/4 para a=2
Tenemos que calcular el siguiente límite:
f (2 + h) - f (2)
f '(2) = lim
h® 0
h
ìï
ïï
ïí f (2 + h ) =
ïï
ïïî f (2) = 1
2
(2 + h)
4
4 + 4h + h 2
=
= 1 + h + 0,25h 2
4
f (2 + h) - f (2)
h + 0,25h2
f '(2) = lim
= lim
= lim(1+ 0,25h) = 1
h® 0
h® 0
h® 0
h
h
f(x)=x2/4
f '(2) = 1
* La pendiente de la recta tangente
a la función en el punto x=2 es 1,
por lo que la recta tangente a mi
función en x=2 es:
* Además como la
derivada es +, esto
indica que cerca de
x=2 la función es
creciente.
y = f (a) + f '(a)( x - a)
y = 1+ 1( x - 2)
y = x- 1
(x0,y0)
y=y0+m(x-x0)