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UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


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UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 3

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 4

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 5

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 6

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 7

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 8

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 9

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 10

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 11

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 12

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 13

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


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UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 15

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


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UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 17

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 18

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


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UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


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UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 21

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 22

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 23

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


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UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 25

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 26

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 27

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


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UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 29

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 30

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 31

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 32

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 33

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 34

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


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UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 36

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 37

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 38

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 39

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


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UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 41

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 42

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 43

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 44

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 45

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 46

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 47

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 48

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x


Slide 49

UNIDAD 4
LA DERIVADA
“El concepto de límite de una función, El cambio: motor
fundamental del universo, Derivación de funciones”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:
 Describir con sus palabras el
concepto de derivada.
 Interpretar geométricamente la
derivada.
 Definir la derivada de una función
en un punto.
 Interpretar la derivada como una
razón de cambio.

Estos son los temas que estudiaremos:
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?

4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.

4.1 El concepto de límite

El concepto de “límite” describe el
comportamiento de una función cuando

su argumento se “acerca” a algún punto
o se vuelve extremadamente grande

Sea

una función y

un número real.

La expresión

significa que
se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo
suficientemente
cercano a .

4.2 El cambio, motor
fundamental del Universo.
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo.
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo

•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?

4.1 El cambio, motor
fundamental del Universo.

Las funciones “describen”
la evolución de las
variables dinámicas de los
sistemas

4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

x f(x)
y  f  x   3 x  x  20
2

0
1
-1
2
-2
3
-3

20
24
22
34
30
50
44

¿Cómo cambian la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

¿Cómo cambia la función?.
y  f  x   3 x  x  20
2

•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)

•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8
(decrece)

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f  f

 x  f  x 

¿Cómo cambia la función entre x y x’?
y  f  x   3 x  x  20
2

f 

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 

x  x

x

x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

tan  

f  x  f  x 
x  x

f  x  f  x 



x  x

¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

La recta azul es
la secante a la
curva

4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de
cambio de dicha función cuando cambia x, es
decir, cuánto cambian los valores de y, cuando
x cambia una cierta cantidad.

La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
pendiente de la recta que más
(ajusta) a la curva.

¿y cuál es esta recta?

curva a la
se asemeja

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

Q

y = f(x)

P

a

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

x

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)

Q
P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y
y = f(x)
Q

P

a

x

Pendiente de la recta secante:

x

m PQ 

f x



 f a 

x - a

El problema de la recta tangente

y

y = f(x)
P

a

x

Pendiente de la recta tangente: m P  lim

x a

f x



f a 

x - a

Cómo determinamos la derivada de una
función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos
de derivadas, con la intención de que ustedes
vayan deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.

f ( x)  3x

f ( x)  6  x

df

df

3
x

3

3

df
dx

 x

 2 x

dx

dx
f ( x) 

2

2

f ( x) 

df
dx



2
5

2x 1
5

Reglas para encontrar la derivada de una
función.
Sea la función:

f( x ) cxn
La derivada de esta función es:

df



 

n 1

dx

df
dx

 cnx

n 1

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x ) cx1
La derivada de esta función es:

df



 

df

 cx

11

dx

dx
df

dx

c

0

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
dx

0

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

5x

3

La derivada de esta función es:

df



 

dx
df
dx

 15 x 2

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)

 3x

4

La derivada de esta función es:

df



 

4 1

dx
df
dx

  12 x

3

Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1

f(x)



2
3

x

5

La derivada de esta función es:

df

1

 



5

dx
df
dx



2
15



x

4
5

1

Derivada de una suma y diferencia de
funciones

Sea la función:
f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df
dx



dg
dx



dh
dx

Ejemplos
Sean las funciones:

f ( x)  5 x  7 x  6
2

df

 10 x  7

dx

f ( x )  4 x  3 x  10 x  5 x  16
6

df
dx

5

2

 24 x  15 x  20 x  5
5

4

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1

f ( x)  8 x 
2

1

df

4



dx

df
dx



12
x

5

4



4


5
(4) x


3



x

f ( x)  3 x

x

4
3

4

 1  2
 (  8 )  x
dx
2

df

3

x

5

 10
5
x

x

Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de esta
función.

f ( x )  g ( x )h ( x )

df
dx



dg
dx

h( x)  g ( x)

dh
dx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones

f ( x )  (8 x  5 x )(13 x  4 )
2

2

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando
funciones

la

regla

df
tenemos que

df
dx

dx



dg

para

derivar

h( x )  g

dx

productos

de

dh
dx

 (16 x  5 )( 13 x  4 )  ( 8 x  5 x )( 26 x )
2

2

 208 x  64 x  65 x  20  208 x  130 x
3

2

 416 x  195 x  64 x  20
3

2

3

2

Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:

f ( x )  ( 4  x )( 3  x )
2

df

 (  1)( 3  x )  ( 4  x )( 2 x )
2

dx
 3  x  8 x  2 x
2

 3x  8 x  3
2

2

Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
3

f ( x )  ( 3 x  x )(  x
2

df

 (6 x  3 x

4

1

 2x )
2

1

 2 x )  (3 x  x

5

 6x

)(  x

2

2

3

)( x

2

 4 x)

dx
  6  12 x  3 x
3

 24 x  2 x
3

2

 4x

5

2

3

 3  12 x  x
3

5

 4x

2

Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos factores o
términos. Para este caso debemos seguir la siguiente
regla. Consideremos tres factores, es decir

f ( x)  e( x) g ( x)h( x)
su derivada será:

df
dx



de
dx

g ( x)h( x)  e( x)

dg
dx

h( x)  e( x) g ( x)

dh
dx

Ejemplo:
Derivemos la siguiente expresión:

f ( x )  ( 3  x )( 2  x )( 5  x )

df

 (  1)( 2  x )( 5  x )  ( 3  x )(  1)( 5  x )  ( 3  x )( 2  x )(  1)

dx
 (  2  x )( 5  x )  (  3  x )( 5  x )  ( 3  x )(  2  x )

 ( 5  x )(  2  x  3  x )  (  6  3 x  2 x  x )
2

 ( 5  x )(  5  2 x )  (  6  5 x  x )
2

  25  10 x  5 x  2 x  6  5 x  x
2

  3 x  20 x  31
2

2

Derivada de un cociente:
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta
función.

f(x)

g( x )
h( x )

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 

2

dh
dx

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x) 

4x  5
3x  2

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y
h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar
productos de funciones

dg
df
dx

 dx

h( x)  g

h ( x ) 2

dh
dx

tenemos que

df
dx



( 4 )( 3 x  2 )  ( 4 x  5 )( 3 )

3 x  2  2

Ejemplo:
df



12 x  8  (12 x  15 )

dx


3 x  2  2
7

3 x  2 

2

Es importante recordar que siempre tenemos
que llegar a la mínima expresión, como fue
en este caso.

Ejemplo:
Sea

8 x  6 x  11
2

f ( x) 
df

x 1

(16 x  6 )( x  1)  ( 8 x  6 x  11 )( 1)
2



( x  1)

dx

2

16 x  16 x  6 x  1  8 x  6 x  11
2



2

( x  1)
8 x  16 x  10
2



( x  1)

2

2

Ejemplo:
Sea

x 1
3

f ( x) 

df

3

3

( x  1)
3

dx



2

( x  1)
3

6x

2

( x  1)
3

2

5

2

2

2

3x  3x  3x  3x
5



3

3 x ( x  1)  ( x  1)( 3 x )
2



x 1

2

Derivada de una función elevada a una
potencia:
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que
está elevada a una potencia n, existe una regla para
encontrar la derivada de esta función.

f ( x )  h ( x ) 

n

df
dx

 n h ( x ) 

n 1

 dh 


 dx 

Ejemplo:
Consideremos el siguiente cociente de funciones

f ( x )  (5 x  4 )

2

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando
la regla de la cadena

df
tenemos que

dx

 n h ( x ) 

df

n 1

 dh 


 dx 

 2 ( 5 x  4 )( 5 )

dx
 10 ( 5 x  4 )
 50 x  40

Ejemplo
Sea

f ( x) 

7x  6x  3
2

La función puede escribirse también de la siguiente
forma:
1



f ( x)  7 x  6 x  3
y

df



dx

1
2





7 x

2

2

 6x  3

7x  3

7 x

2

 6x  3



1
2

7x  3
7x  6x  3
2

1



2

 14 x  6 


2

Ejemplo
Sea

3x  6
2

f ( x) 
2
1  3x  6
  3
2
dx
2  ( x  6 x)

df







1
2

(x  6 x)
3

2





 ( 6 x )( x 3  6 x ) 2  ( 3 x 2  6 ) 2 ( x 3  6 x )( 3 x 2  6 ) 


3
2 2
( x  6 x)





1







3
2
3
3
2
2
1  ( x  6 x )  2  ( x  6 x ) 6 x ( x  6 x )  (3 x  6 ) 
 
 

2
3
4
2  3x  6  
( x  6 x)




1
2





3
2
3
4
2
4
2
( x  6 x )  ( x  6 x ) 6 x  36 x  ( 9 x  36 x  36 ) 


2
3
4
3x  6 
( x  6 x)


Ejemplo
3
3
4
2
4
2
1 ( x  6 x )  ( x  6 x )( 6 x  36 x  9 x  36 x  36 ) 



3
4
2 3x2  6 
( x  6 x)




 ( x 3  6 x ) 2 (  3 x 4  36 ) 


3
4
2
(
x

6
x
)
3x  6 


1

1

2


  3 x 4  36 
 3
2 
2
3x  6  ( x  6 x) 

1

1

2



1

3 x  36
4

2 ( x3  6 x)2 3x 2  6

Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes
d
dx

sen x   cos

d
dx

d
dx

 tan x   sec

sec x   sec

d

x

2

dx

d

x

x tan x

dx

d
dx

cos x    sen

x

cot x    csc 2

x

csc x    csc

x cot x