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Aplicaciones de la Derivada
•Valores Máximos y mínimos de las funciones
•Concavidad
•Puntos de Inflexión
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Temperatura
Presión
Intensidad de corriente
Presión arterial
Cantidad de solución
Numero de bacterias
Etc.
tiempo
Definición
Si una función f está definida en un intervalo I,
entonces,
• i) f es creciente en I si f(x1) < f(x2), siempre
que x1 y x2 estén en I y x1 < x2
• ii) f es decreciente en I si f(x1) > f(x2),
siempre que x1 y x2 estén en I y x1 > x2
• iii) f es constante en I si f(x1) = f(x2) para todo
x1 y x2 en I.
Definición
Si una función está definida en un intervalo I y c
es un número en I, entonces
i) f(c) es el valor máximo de f en I si f(x) <= f(c)
para todo x en I
ii) f(c) es el valor mínimo de f en I si f(x) >= f(c)
para todo x en I.
Teorema
Si una función f es continua en un intervalo
cerrado [a, b], entonces f alcanza sus valores
máximo y mínimo por lo menos una vez en el
intervalo.
Para calcula máximos y/o mínimos de una función f(x):
1) Se deriva la función y= f(x) y se iguala a cero la derivada
2) Se resuelve la ecuación resultante del paso anterior. Las raíces
encontradas
Se llaman valores críticos y son los que por tener tangente con pendiente cero
(tangentes horizontales), pueden ser máximos o mínimos
3) Para investigar cada valor crítico si es máximo o mínimo:
a) Se toma un valor un poco menor a ese valor crítico y se sustituye en la
derivada.
Luego se toma un valor un poco mayor y se sustituye en la derivada.
b) Si el valor de la derivada cambia de positivo a negativo, el valor crítico en
análisis es un máximo; si cambia de negativo a positivo, es un mínimo.
En el caso extremo de que no cambie de signo, se trata de un punto de
inflexión.
Reglas para resolver problemas de aplicaciones de
los máximos y mínimos.
1. Lea el problema cuidadosamente varias veces y
fíjese en los datos y en las incógnitas que deben
encontrarse.
2. Si es posible haga un diagrama, esquema o
dibujo que incluya los datos pertinentes, incluya
variables para denotar las incógnitas. Palabras
como qué, encuentre, cuánto, donde, cuando
deben guiarles para reconocer las incógnitas
Reglas para resolver problemas de aplicaciones de
los máximos y mínimos.
3. Escriba una lista de hechos conocidos y
relaciones entre las variables. Una relación
entre variables generalmente se escribe como
una ecuación.
4. Determine la variable cuyo máximo o mínimo
se busca y exprésela como una función de una
de las otras variables.
Reglas para resolver problemas de aplicaciones de
los máximos y mínimos.
5. Encuentre los números críticos de la función que
obtuvo en el paso 4 y determine cuáles son
máximos o mínimos.
6. Verifique si algún valor extremo de la función
que obtuvo en 4 se alcanza en alguno de los
extremos de su dominio
7. No se deprima si no puede resolver algún
problema. Se requiere de mucho esfuerzo y
práctica para adquirir destreza.. ¡sigan tratando!
http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/figuras/o2caja.htm
http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/derivadas.htm