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CÁLCULO
DIFERENCIAL
LÍMITES
CONCEPTO DE FUNCIÓN
CONCEPTO DE LÍMITE
El concepto de límite es la base fundamental con
la que se construye el cálculo infinitesimal
(diferencial e integral). Informalmente hablando
se dice que el límite es el valor (L) al que tiende
una
función
f(x)
cuando
la
variable
independiente tiende a un número determinado
(p) o al infinito.
GENERALIDAD DE LOS LÍMITES
Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes
propiedades generales, que son usadas muchas veces para
simplificar el cálculo de los mismos.
Límite por un escalar.
escalar.
Límite de una suma.
Límite de una resta.
Límite de una multiplicación.
Límite de una división.
donde k es un multiplicador
EJEMPLO 1
Resolver el límite:
Solución:
2.- Resolver el límite
Solución:
La solución no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario
realizar algunas operaciones antes de aplicar el límite, ya que este
límite nos conduce a la indeterminación del tipo cero sobre cero.
Para su solución existen dos métodos:
Por lo que aplicando la factorización:
EJEMPLOS Y EJERCICIOS CON
SUSTITUCIÓN SIMPLE
lim x  x  30 
3
x 3
lim x  x  8 
3
2
x2
x  3x  4
lim

x 1
4x  8
2
x 2  3x
lim

x2 2 x  2
x 3  3x 2  4 x  3
lim

2
x4
x  8x
EJEMPLOS Y EJERCICIOS CON DIFERENCIA DE
CUADRADOS O FACTORIZACIÓN
x2  2x 1
lim

x  1
x 1
x2  4
lim

x  2 x  2
x3  8
lim 2

x2 x  4
x  81
lim 2

x2 x  9
4
CONCEPTOS BÁSICOS
DEFINICIÓN
El cálculo diferencial es un campo de la matemática, y de
el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus
variables cambian. El principal objeto de estudio en el
cálculo diferencial es la derivada. Una noción
estrechamente relacionada es la de diferencial.
DERIVADA
Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas
de f(x) en cada punto x
DIFRENCIABILIDAD
Una función es diferenciable en un punto x si su
derivada existe en ese punto; una función es
diferenciable en un intervalo si lo es en cada
punto x perteneciente al intervalo. Si una
función no es continua en c, entonces no puede
ser diferenciable en c; sin embargo, aunque una
función sea continua en c, puede no ser
diferenciable.
Es
decir,
toda
función
diferenciable en un punto C es continua en C,
pero no toda función continua en C es
diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua
pero no diferenciable en x = 0).
DERIVADAS DE LA DERIVADA
La derivada de una función diferenciable puede a su vez
ser diferenciable, hablándose entonces de segunda
derivada de la función diferenciable como la derivada
de la derivada de ésta. Análogamente, la derivada de la
segunda derivada recibe el nombre de tercera
derivada, y así sucesivamente
df ( x)
d(
)
2
df
(
x
)
df
(
x
)
d
f ( x)
dx 
Segunda Derivada =


dx
dx
dx
dx2
df ( x) df ( x)
df ( x) d n f ( x)

 ...
 n
N-ésima derivada =
dx dx
dx
dx
COCIENTE DIFERENCIAL DE
NEWTON
COCIENTE DIFERENCIAL DE NEWTON
Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente
de las rectas secantes conforme se van aproximando a
la recta tangente.
Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta
tangente de una función porque sólo conocemos un
punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la
función, así que lo que buscaremos será una
aproximación esta recta, utilizando la siguiente función.
Para obtener estas pendientes, tomemos un número
arbitrariamente pequeño que llamaremos h. h
representa una pequeña variación en x, y puede ser
tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta
entre los puntos (x , f(x)) y (x + h , f(x + h)) es
COCIENTE DIFERENCIAL DE NEWTON
Esta expresión es un cociente diferencial
de Newton. La derivada de f en x es el
límite del valor del cociente diferencial
conforme las líneas secantes se acercan
más a la tangente:
EJEMPLO (1) DE UNA DERIVA UTILIZANDO EL
MÉTODO DE NEWTON
Ejemplo 1
Consideremos la siguiente función:
Entonces:
Esta función es constante, para cualquier punto de su dominio vale 5 (por
eso f(x+h)=5). Nótese el último paso, donde h tiende a cero pero no lo toca.
Si pensamos un poco, observaremos que la derivada además de ser la
pendiente de la recta tangente a la curva, es a la vez, la recta secante a la
misma curva
EJEMPLO (2) DE UNA DERIVA UTILIZANDO EL
MÉTODO DE NEWTON
Ejemplo 2
Consideremos la gráfica de
. Esta recta tiene una
pendiente igual a 2 en cada punto. Utilizando el cociente mostrado
arriba (junto a los conceptos de límite, secante, y tangente)
podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5:
Entonces:
EJEMPLO (2) DE UNA DERIVA UTILIZANDO EL
MÉTODO DE NEWTON
Y vemos que se cumple para cualquier número n:
Por tanto, se deduce que el valor de la función derivada de
una recta es igual a la pendiente de la misma
NOTACIÓN DE LAS DERIVADAS
NOTACIÓN PARA LAS DERIVADAS
La notación más simple para diferenciación, en uso actual,
es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de
f(x) en el punto a, se escribe:
»
»
»
»
para la primera derivada,
para la segunda derivada,
para la tercera derivada,
para la enésima derivada (n > 3)
NUEVAS NOTACIONES PARA LA DERIVADA
La otra notación común para la diferenciación se debe a
Leibniz. Para la función cuyo valor en x es la derivada
de f en x, se escribe:
Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos
formas distintas:
Si la resultante de f(x) es otra variable, por ejemplo, si
y=f(x), se puede escribir la derivada como:
Las derivadas de orden superior se expresan así
o
NUEVAS NOTACIONES PARA LA DERIVADA
para la n-ésima derivada de f(x) o y respectivamente.
Históricamente, esto proviene del hecho de que, por
ejemplo, la tercera derivada es:
que se puede escribir sin mucho rigor como:
Eliminando las llaves nos da la notación que está arriba
EJEMPLOS DE DERIVACIÓN
01- ) y = 3x -4 + 3x 4
y’= (3) (-4)x -4-1 + (3)(4) 4-1
y’=
y’= -12x -5 + 12x 3
02- )y = 5x -2
y’= (5) (-2) x -2-1
y’ =
y’= -10x -3
03- ) y =
y’ =
y’ =
y’ =
y’ =
y’ =
y’ =
REGLAS DE DERIVACIÓN
(DAR CLIC PARA ABRIR EL HIPÉRVINCULO)
PD: LE AVISO QUE CHEQUEN SI
EL HIPÉRVINCULO ESTÁ
CORRECTO, SINO
ARRÉGLENLO PARA QUE NO
TENGAN PROBLEMAS
ENCONTRAR LA DERIVADA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES
f ( x)  x
2
f ( x)  2 x  1
f ( x)  x 4  2 x 3  3 x 2
f ( x)  sec x  sin 4 x
f ( x)  2 sin x  1
f ( x)  x 4  2 cos x 3  3x 2
3
f ( x)  3 x 3  2 x 2  x
x
f ( x)  3
 2x2  x
x 1
2 x3
f ( x) 
x
2 sin x 3
f ( x) 
x