Transcript La Recta Real
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Tema 3. La Derivada.
Aplicaciones y representación gráfica de funciones
1.
Índice
2.
La derivada y la recta tangente
3.
Definición de derivada
4.
Derivadas laterales
5.
Derivabilidad y continuidad
6.
Ritmos de cambio
7.
Reglas básicas de derivación
8.
Derivadas de orden superior
9.
La regla de la cadena
10. Extremos de una función
11. Números críticos
12. Estrategia para localizar extremos
13. Teorema de Rolle
14. Teorema del Valor Medio
15. Regla de Bernouilli-Hôpital
16. Funciones crecientes y decrecientes
17. Criterio de crecimiento y decrecimiento
18. El criterio de la primera derivada
19. Aplicación del criterio de la 1ª derivada
20. Concavidad y convexidad
21. Criterio de concavidad
22. Aplicación del criterio de concavidad
23. Puntos de inflexión
24. El criterio de la 2ª derivada
25. Aplicación del criterio de la 2ª derivada
26. Problemas de aplicación de máximos
y mínimos
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27. Análisis de gráficas
1
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La Derivada y el problema de la recta
tangente
y
(c+Dx , f(c+Dx))
f(c+Dx)-f(c)
(c ,f(c))
f (c Dx) f (c)
(c Dx) c
Dx
f (c Dx) f (c)
x
Dx
Recta secante que pasa por
Cambio en y
Cambio en x
Pendiente de la recta
secante
(c, f(c)) y (c+Dx , f(c+Dx))
Si f está definida en un intervalo abierto que
Recta secante
contiene a c y además existe el límite
lim
Dx 0
Recta tangente
Dy
Dx
lim
Dx 0
f (c Dx) f (c)
Dx
m
entonces, la recta que pasa por (c,f(c)) con pendiente
m se llama recta tangente a la gráfica de f en
el punto (c,f(c))
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Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 2
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Definición de derivada
La derivada de f en x viene dada por
f ´( x) lim
f ( x Dx) f ( x)
Dx 0
supuesto que exista ese límite
Dx
Una función es derivable en x si su derivada en x existe, y derivable en
un intervalo abierto (a,b) si es derivable en todos y cada uno de los
puntos de ese intervalo
f ´( x),
dy
dx
, y´,
d
dx
[ f ( x)], Dx y
Notaciones de la derivada
dy
Dy
f ( x Dx) f ( x)
Derivada de y
lim
lim
f ´( x)
con respecto de x dx Dx0 Dx Dx0
Dx
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Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 3
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Derivadas laterales
Fórmula alternativa
para la derivada
f ´(c) lim
x c
f ( x ) f (c )
(x,f(x))
xc
(c, f(c))
deben existir
lim
x c
f ( x ) f (c )
xc
Derivada por
la izquierda
lim
x c
x-c
f ( x ) f (c )
xc
c
f(x)-f(c)
x
Derivada por
la derecha
Una función es derivable en un intervalo cerrado [a,b] si es derivable en
(a,b) y además existen la derivada por la derecha en a y la derivada por la
izquierda en b
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Derivabilidad y continuidad
Derivable continua
Si f es derivable en x=c, entonces
es continua en x=c
Continua Derivable
Es posible que una función sea
continua en x=c sin ser derivable
f ( x) x
f ( x) x
f ( x) x 2
1
3
2
-3
-2
-1
1
1
-1
2
3
lim
No es continua en x=0 x 0
No es derivable en x=0
lim
x 0
Continua en x=0
2
-2
x 0
x
x 0
Continua en x=2 pero
no es derivable en x=2
lim
x2
0
x
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lim
x2
x2 0
x2
x2 0
x2
lim
x 0
1
1
x
1
3
0
x
lim
x 0
1
2
x
3
La recta tangente en x=0 es
vertical. Por tanto, f no es
derivable en x=2
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 5
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Ritmos de cambio
La derivada sirve para calcular el ritmo de cambio de una variable con respecto a otra
Ritmos de crecimiento de poblaciones
Ritmos de producción
Flujo de un líquido
Velocidad y aceleración
S(t) función de posición: Da la posición
(respecto del origen) de un objeto como
función del tiempo t
Cambio en distancia
Ds
Dt: lapso de tiempo
Cambio en tiempo
Dt
Ds: cambio de posición
Velocidad media
Obtenemos la velocidad instantánea cuando t=1, aproximando por las velocidades medias
sobre pequeños intervalos de tiempo [1 , 1+Dt] , tomando límite cuando Dt0
v(t) lim
Δt 0
s (t Δt ) s (t )
Δt
s´(t)
Función Velocidad
La función velocidad es la derivada de la función posición.
La posición de un objeto en caída libre es:
s(t)
1
2
gt
2
v0t s0 Función posición
S0 altura inicial , v0 velocidad inicial, g-9,8 m/s2 aceleración gravedad
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Reglas básicas de derivación
1. Regla de la constante
2. Regla de las potencias
3. Regla del múltiplo constante
4. Reglas de suma y diferencia
5. Derivadas de las funciones seno y coseno
6. Regla del producto
7. Regla del cociente
8. Derivadas de funciones trigonométricas
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Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 7
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Derivadas de orden superior
s(t)
Función posición
s´(t) v(t)
Función ve locidad
s´´(t) v´(t) a (t )
a (t) es la segunda
derivada de s (t)
Función aceleració n
Podemos definir derivadas de cualquier orden entero positivo
Primera derivada
y´,
f ´( x),
dy
d
,
dx
dx
2
Segunda derivada
y´´, f ´´(x),
d y
dx
2
d
,
y´´´, f ´´´(x),
d y
dx
3
y
( 4)
,
f
( 4)
( x),
...............
n - ésima derivada
y
(n)
,
f
(n)
( x),
d y
4
dx
n
d y
dx
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n
,
,
Dx y
3
dx
4
Cuarta derivada
f ( x),
2
d
,
Dx y
2
dx
3
Tercera derivada
f ( x),
f ( x),
3
d
4
Dx y
3
f ( x),
4
Dx y
f ( x),
n
Dx y
dx
n
d
dx
2
4
n
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 8
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La Regla de la cadena y sus aplicaciones
Regla de la
cadena
Si y = f(u) es una función derivabe de u, y si
además u=g(x) es una función derivable de x,
entonces y=f(g(x)) es una función derivable, con
dy
dy du
dx du dx
Aplicaciones
1. Regla general para potencias
2. Derivación de funciones con radicales
3. Derivación de cocientes con numeradores constantes
4. Aplicación de la regla de la cadena a funciones
trigonométricas
5. Aplicaciones reiteradas de la regla de la cadena
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Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
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Extremos de una función
2
5
3
1
-
-
f ( x) x 1
máximo
(2,5)
-2 -1
1 2 3
f continua en [-1,2]
Sea f definida en un intervalo I que contiene a c
1. f(c) es el mínimo de f en I,
si f(c) f(x) para todo x en I.
2. f(c) es el máximo de f en I,
si f(c) f(x) para todo x en I.
El máximo y mínimo de una funcion en un intervalo
son los valores extremos
1. Si existe un intervalo abierto que contiene
a c y en el que f(c) es máximo, entonces
f(c) se llama un máximo relativo de f.
2. Si existe un intervalo abierto que contiene
a c y en el que f(c) es mínimo, entonces
f(c) se llama un mínimo relativo de f.
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Máximo
relativo
(0,0)
f ( x) x 3 x
3
2
Mínimo relativo
(2,-4)
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 10
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Números críticos
Sea f definida en c. Si f´(c)=0 o si f´ no está definida en c,
se dice que c es un número crítico de f.
f´(c)=0 Tangente
f´(c) no está definido
c
horizontal
c
c es un número crítico de f
LOS EXTREMOS RELATIVOS SOLO OCURREN EN LOS NÚMEROS
CRÍTICOS:
Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en x=c, c es un
número crítico de f
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Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
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Estrategia para localizar extremos
relativos en un intervalo cerrado
Para hallar los extremos relativos
de una función continua f en un
intervalo cerrado [a,b] :
1.
2.
3.
4.
Hallar los números críticos de f en [a,b]
Evaluar f en cada número crítico de (a,b)
Evaluar f en a y en b
El más grande de esos valores es el
máximo. El más pequeño es el mínimo.
Hallar los extremos de
f ( x) 2 x 3 x
2
3
en el intervalo [-1,3]
1
3
2
x
1
f ´( x) 2 1 2
1
3
x 3
x
f´(0) no está definido
x=0 punto crítico
f´(x)=0 x=1 punto crítico
f(a)
punto crítico
punto crítico
f(-1)=-5
f(0)=0
f(1)=-1
mínimo
máximo
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f(b)
f(3)-0,24
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
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Teorema de Rolle
Sea f continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el
intervalo abierto (a,b). Si
f(a) = f(b)
Existe al menos un número c en tal que f´(c)=0
Máximo
relativo
Máximo
relativo
f es continua en [a,b]
f es continua
y derivable en (a,b)
a
c
b
a
El teorema de Rolle asegura que
existe al menos un punto entre
a y b en el que la gráfica de f
tiene tangente horizontal
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en [a,b]
c
b
Si se suprime la hipótesis de
dervabilidad f tiene un número
crítico en (a,b), pero quizá no
tenga en el tangente horizontal
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
13
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Teorema del Valor Medio
Sea f continua en el intervalo cerrado [a,b]
Pendiente de la recta tangente = f´(c)
Recta tangente
Recta
secante
(b, f(b))
(a, f(a))
a c
b
y derivable en el intervalo abierto (a,b),
existe un número c en (a,b) tal que
f (b) f (a )
f ´( c )
ba
Importante teorema del Cálculo;
útil para demostrar otros teoremas
Geométricamente garantiza la
existencia de una recta tangente
paralela a la secante que une los puntos
(a, f(a)) y (b, f(b)).
En términos de ritmo de cambio asegura que debe
haber algún punto en (a,b) en el que el ritmo instantáneo
de cambio es igual al ritmo medio de cambio en [a,b]
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Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
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Regla de Bernouilli- Hôpital
Sean f y g continuas y derivables en un entorno reducido del punto c.
Si g no se anula en ningún punto del entorno y las funciones f´y g´no se
anulan simultáneamente en ningún punto,
en caso de existir
también existe
f ´( x )
lim
g´( x )
xc
lim
xc
lim
x c
f ( x)
g ( x)
f ( x)
g ( x)
y ambos coinciden:
f ´( x )
lim
x c
g´( x )
La regla de Hôpital también es válida cuando:
f , g / lim
x
f ( x ) lim g ( x ) 0
x
f , g / lim f ( x ) lim g ( x )
x c
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x c
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
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Funciones crecientes y decrecientes
Una función f es creciente en un intervalo si
para cualquier par de número x1, x2 del
intervalo
x1 x2 f(x1) f(x2)
Una función f es decreciente en un intervalo si
para cualquier par de número x1, x2 del
intervalo
constante
f´(x) 0
x1 x2 f(x1) f(x2)
f´(x) =0 f´(x) 0
La derivada está realacionada con la
pendiente de la función
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Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
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Criterio de crecimiento y decrecimiento
Sea f continua en [a,b] y derivable en (a,b)
[Con a,b, reales, o - ]
1. f´(x) 0, x (a,b) f es creciente en [a,b]
2. f´(x) 0, x (a,b) f es decreciente en [a,b]
3. f´(x) = 0, x (a,b) f es constante en [a,b]
Hallar los intervalos abiertos en los que
f es creciente o decreciente
Nótese que f es continua en
toda la recta real. Para
hallar sus números críticos,
igualamos a cero su derivada
Intervalo
Valor prueba
Signo de f´(x)
Conclusión
f ( x) x
3
x
2
f ´( x ) 3 x 3 x 0
2
Hacer f´=0
3( x )( x 1) 0
Factorizar
x 0, 1
Números críticos
2
- x 0
x=-1
0 x 1
x=1/2
f´(-1)=60 f´(1/2)=-3/4 0
creciente
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3
decreciente
1 x
x=2
f´(2)=60
creciente
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
17
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El criterio de la primera derivada
Sea c un número crítico de una función f definida en un intervalo abierto (a,b)
que contiene a c. Si f es derivable en ese intervalo, excepto quizá en c,
entonces f(c) puede clasificarse así:
1. Si f´(x) cambia en c de negativa a positiva, f(c) es un mínimo relativo de f
2. Si f´(x) cambia en c de positiva a negativa, f(c) es un máximo relativo de f
(-)
(+)
f´(x) 0
a
f´(x) 0
c
mínimo
relativo
(+)
f´(x) 0
b
a
f´(x) 0
c
(+)
f´(x) 0
f´(x) 0
c
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b
(-)
f´(x) 0
a
máximo
relativo
b
(-)
(+)
a
(-)
c
f´(x) 0
b
Ni máximo ni mínimo
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
18
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Aplicación del criterio de la primera derivada
Ejemplo
Hallar los extremos relativos de
f ( x) 2 x 3 x
2
3
Derivando, simplificando y factorizando
f ´( x )
x = 1
x = 0
2 x 1 x 1 x 1
2
3
x
Números críticos, f´(x)=0
0 no está en el dominio de f
Intervalo
Valor prueba
Signo de f´(x)
Conclusión
- x -1
x=-2
f´(-2) 0
decreciente
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(-1,2)
Mínimo
relativo
(1,2)
Mínimo
relativo
-1 x 0
0 x 1
1 x
x=-1/2
x=1/2
x=2
f´(-1/2) 0
creciente
f´(1/2) 0
f´(2)0
decreciente
creciente
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
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Concavidad y Convexidad
Sea f derivable en un intervalo abierto I. La gráfica de f es
cóncava en I si f´es creciente en I y
convexa en I si f´es decreciente en I.
cóncava
f´ creciente
La gráfica de f queda
por encima de su recta
tangente
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
convexa
f´ decreciente
La gráfica de f queda
por debajo de su recta
tangente
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
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Criterio de concavidad
Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I.
1. Si f´´(x) 0 para todo x en I, la gráfica de f es cóncava en I
2. Si f´´(x) 0 para todo x en I, la gráfica de f es convexa en I
Para aplicar este criterio:
Localizar los x en los que f´´(x)=0
Localizar los x en los que f´´(x) no está definida
Ensayar el signo de f´´ en cada uno de los intervalos de prueba
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Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
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Aplicación del criterio de concavidad
Hallar los intervalos abiertos para los que la gráfica es cóncava o convexa
f ( x) 6 x 3
2
1
f es contínua en toda la recta real.
Hallamos f´y f´´
12
f ´( x )
3
2
x 3
36x 1
f ´´( x )
0
x 3
f´´ 0
Cóncava
2
2
3
Intervalo
Valor prueba
Signo de f´´(x)
Conclusión
f´´ 0
f´´ 0
Cóncava
Convexa
x = 1
- x -1
x=0
x=-2
f´´(-2) 0
cóncava
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
-1 x 1
1 x
x=2
f´´(0) 0
f´´(2)0
convexa
cóncava
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
22
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Puntos de Inflexión
Si (c,f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f, entonces
o bien f´´(c)=0 o f´´(x) no está definida en x = c
Hallar los ptos. de inflexión y discutir la concavidad de f ( x ) x 4 x
4
3
Hallamos f´y f´´
f ´( x ) 4 x 12 x
f está definida y es continua en
3
2
Cóncava
todos los reales
Cóncava
f ´´( x ) 12 x x 2 0
x = 0, x = 2
Convexa
Posibles ptos. de inflexión
Intervalo
Valor prueba
Signo de f´´(x)
Conclusión
0x 2
- x 0
x=1
x=-1
f´´(-1) 0
cóncava
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
f´´(1) 0
convexa
2 x
x=3
f´´(3) 0
cóncava
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
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El criterio de la segunda derivada
Sea f una función tal que f´(c)=0 y cuya segunda derivada existe en un
intervalo abierto que contiene a c.
1. f´´(c) 0, entonces f(c) es un mínimo relativo
2. f´´(c) 0, entonces f(c) es un máximo relativo
Si f´´(c) = 0, este criterio no decide y ha de recurrirse al criterio de
la primera derivada
cóncava
c
f´(c) = 0,
f(c) es mínimo
f´´(c) 0
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
convexa
c
f´(c) = 0,
f(c) es máximo
f´´(c) 0
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
24
Slide 25
Aplicación del criterio de la segunda derivada
Hallar los extremos relativos de
f ( x ) 3 x 5 x
5
(1,2)
Máximo relativo
3
Calculamos la derivada
f ´( x ) 15 x 1 x
2
2
0
Los números críticos de f :
x = -1, 1, 0
(-1,-2)
Mínimo relativo
f ´´( x ) 30( 2 x x )
3
Punto
Conclusión
Signo de f´´
(-1,-2)
f´´(-1) = 30 0 Mínimo relativo
( 1, 2 )
f´´(1) = -30 0 Máximo relativo
( 0, 0 )
f´´(0 ) = 0
El criterio no decide
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Criterio de la
1ª derivada
Como f crece a la izda
y dcha de x=0, no es
máximo ni mínimo
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
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Slide 26
Problemas de aplicación de máximos y mínimos
Estrategia
Un ganadero desea trasladar al matadero su producción de cerdos.
El transportista cobra 1,20 € por cabeza si traslada en cada camión 20
cerdos exactamente, mientras que si traslada más de 20 le descuentan 5
céntimos por cada uno que pase de 20. Hallar el número de cerdos que el
transportista propondrá trasladar al ganadero para obtener el máximo
beneficio
1. Asignar signos a todas las magnitudes
2. Escribir una ecuación primaria para la
magnitud que debe ser optimizada
3. Reducir la ecuación primaria a una ecuación
con solo una variable independiente. Esto puede
exigir ecuaciones secundarias que relacionen las
variables independientes de la ecuación primaria
4. Determinar el dominio de la ecuación primaria.
Esto es, hallar valores para los que la ecuación
primaria tiene sentido
5. Determinar el máximo o mínimo mediante las
técnicas de Cálculo estudiadas
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
x número de cabezas de más
a partir de 20
B(x)=(20+x)(120-5x)
Beneficio que deseamos maximizar
B´(x)= (120-5x)+(20+x)(-5)=
-10x+20= 0 x=2
B´´(x)= -10 0 , x=2 máximo
Se transportarán 22 cerdos
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
26
Slide 27
Análisis de Gráficas
Conceptos estudiados útiles al analizar gráficas de funciones
Dominio y recorrido
Intersección con los ejes
Simetrías
Continuidad
Asíntotas
Derivabilidad
Extremos relativos
Concavidad y convexidad
Puntos de inflexión
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
27
Slide 28
Bibliografía
Cálculo y Geometría Analítica
Larson, Hostetler, Eduards. Volumen 1, 1999 (6ª edición),
Ed. McGraw-Hill
Ejercicios y problemas
Problemas de Matemáticas
para ingeniería técnica agrícola y veterinaria
Alejandre, Allueva,González. Tomo 1, 2000
Ed. Copy Center Zaragoza (C/. Doctor Cerrada nº 2)
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
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Tema 3. La Derivada.
Aplicaciones y representación gráfica de funciones
1.
Índice
2.
La derivada y la recta tangente
3.
Definición de derivada
4.
Derivadas laterales
5.
Derivabilidad y continuidad
6.
Ritmos de cambio
7.
Reglas básicas de derivación
8.
Derivadas de orden superior
9.
La regla de la cadena
10. Extremos de una función
11. Números críticos
12. Estrategia para localizar extremos
13. Teorema de Rolle
14. Teorema del Valor Medio
15. Regla de Bernouilli-Hôpital
16. Funciones crecientes y decrecientes
17. Criterio de crecimiento y decrecimiento
18. El criterio de la primera derivada
19. Aplicación del criterio de la 1ª derivada
20. Concavidad y convexidad
21. Criterio de concavidad
22. Aplicación del criterio de concavidad
23. Puntos de inflexión
24. El criterio de la 2ª derivada
25. Aplicación del criterio de la 2ª derivada
26. Problemas de aplicación de máximos
y mínimos
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
27. Análisis de gráficas
1
Slide 2
La Derivada y el problema de la recta
tangente
y
(c+Dx , f(c+Dx))
f(c+Dx)-f(c)
(c ,f(c))
f (c Dx) f (c)
(c Dx) c
Dx
f (c Dx) f (c)
x
Dx
Recta secante que pasa por
Cambio en y
Cambio en x
Pendiente de la recta
secante
(c, f(c)) y (c+Dx , f(c+Dx))
Si f está definida en un intervalo abierto que
Recta secante
contiene a c y además existe el límite
lim
Dx 0
Recta tangente
Dy
Dx
lim
Dx 0
f (c Dx) f (c)
Dx
m
entonces, la recta que pasa por (c,f(c)) con pendiente
m se llama recta tangente a la gráfica de f en
el punto (c,f(c))
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Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 2
Slide 3
Definición de derivada
La derivada de f en x viene dada por
f ´( x) lim
f ( x Dx) f ( x)
Dx 0
supuesto que exista ese límite
Dx
Una función es derivable en x si su derivada en x existe, y derivable en
un intervalo abierto (a,b) si es derivable en todos y cada uno de los
puntos de ese intervalo
f ´( x),
dy
dx
, y´,
d
dx
[ f ( x)], Dx y
Notaciones de la derivada
dy
Dy
f ( x Dx) f ( x)
Derivada de y
lim
lim
f ´( x)
con respecto de x dx Dx0 Dx Dx0
Dx
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Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 3
Slide 4
Derivadas laterales
Fórmula alternativa
para la derivada
f ´(c) lim
x c
f ( x ) f (c )
(x,f(x))
xc
(c, f(c))
deben existir
lim
x c
f ( x ) f (c )
xc
Derivada por
la izquierda
lim
x c
x-c
f ( x ) f (c )
xc
c
f(x)-f(c)
x
Derivada por
la derecha
Una función es derivable en un intervalo cerrado [a,b] si es derivable en
(a,b) y además existen la derivada por la derecha en a y la derivada por la
izquierda en b
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Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 4
Slide 5
Derivabilidad y continuidad
Derivable continua
Si f es derivable en x=c, entonces
es continua en x=c
Continua Derivable
Es posible que una función sea
continua en x=c sin ser derivable
f ( x) x
f ( x) x
f ( x) x 2
1
3
2
-3
-2
-1
1
1
-1
2
3
lim
No es continua en x=0 x 0
No es derivable en x=0
lim
x 0
Continua en x=0
2
-2
x 0
x
x 0
Continua en x=2 pero
no es derivable en x=2
lim
x2
0
x
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
lim
x2
x2 0
x2
x2 0
x2
lim
x 0
1
1
x
1
3
0
x
lim
x 0
1
2
x
3
La recta tangente en x=0 es
vertical. Por tanto, f no es
derivable en x=2
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 5
Slide 6
Ritmos de cambio
La derivada sirve para calcular el ritmo de cambio de una variable con respecto a otra
Ritmos de crecimiento de poblaciones
Ritmos de producción
Flujo de un líquido
Velocidad y aceleración
S(t) función de posición: Da la posición
(respecto del origen) de un objeto como
función del tiempo t
Cambio en distancia
Ds
Dt: lapso de tiempo
Cambio en tiempo
Dt
Ds: cambio de posición
Velocidad media
Obtenemos la velocidad instantánea cuando t=1, aproximando por las velocidades medias
sobre pequeños intervalos de tiempo [1 , 1+Dt] , tomando límite cuando Dt0
v(t) lim
Δt 0
s (t Δt ) s (t )
Δt
s´(t)
Función Velocidad
La función velocidad es la derivada de la función posición.
La posición de un objeto en caída libre es:
s(t)
1
2
gt
2
v0t s0 Función posición
S0 altura inicial , v0 velocidad inicial, g-9,8 m/s2 aceleración gravedad
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Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 6
Slide 7
Reglas básicas de derivación
1. Regla de la constante
2. Regla de las potencias
3. Regla del múltiplo constante
4. Reglas de suma y diferencia
5. Derivadas de las funciones seno y coseno
6. Regla del producto
7. Regla del cociente
8. Derivadas de funciones trigonométricas
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 7
Slide 8
Derivadas de orden superior
s(t)
Función posición
s´(t) v(t)
Función ve locidad
s´´(t) v´(t) a (t )
a (t) es la segunda
derivada de s (t)
Función aceleració n
Podemos definir derivadas de cualquier orden entero positivo
Primera derivada
y´,
f ´( x),
dy
d
,
dx
dx
2
Segunda derivada
y´´, f ´´(x),
d y
dx
2
d
,
y´´´, f ´´´(x),
d y
dx
3
y
( 4)
,
f
( 4)
( x),
...............
n - ésima derivada
y
(n)
,
f
(n)
( x),
d y
4
dx
n
d y
dx
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
n
,
,
Dx y
3
dx
4
Cuarta derivada
f ( x),
2
d
,
Dx y
2
dx
3
Tercera derivada
f ( x),
f ( x),
3
d
4
Dx y
3
f ( x),
4
Dx y
f ( x),
n
Dx y
dx
n
d
dx
2
4
n
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 8
Slide 9
La Regla de la cadena y sus aplicaciones
Regla de la
cadena
Si y = f(u) es una función derivabe de u, y si
además u=g(x) es una función derivable de x,
entonces y=f(g(x)) es una función derivable, con
dy
dy du
dx du dx
Aplicaciones
1. Regla general para potencias
2. Derivación de funciones con radicales
3. Derivación de cocientes con numeradores constantes
4. Aplicación de la regla de la cadena a funciones
trigonométricas
5. Aplicaciones reiteradas de la regla de la cadena
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
9
Slide 10
Extremos de una función
2
5
3
1
-
-
f ( x) x 1
máximo
(2,5)
-2 -1
1 2 3
f continua en [-1,2]
Sea f definida en un intervalo I que contiene a c
1. f(c) es el mínimo de f en I,
si f(c) f(x) para todo x en I.
2. f(c) es el máximo de f en I,
si f(c) f(x) para todo x en I.
El máximo y mínimo de una funcion en un intervalo
son los valores extremos
1. Si existe un intervalo abierto que contiene
a c y en el que f(c) es máximo, entonces
f(c) se llama un máximo relativo de f.
2. Si existe un intervalo abierto que contiene
a c y en el que f(c) es mínimo, entonces
f(c) se llama un mínimo relativo de f.
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Máximo
relativo
(0,0)
f ( x) x 3 x
3
2
Mínimo relativo
(2,-4)
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 10
Slide 11
Números críticos
Sea f definida en c. Si f´(c)=0 o si f´ no está definida en c,
se dice que c es un número crítico de f.
f´(c)=0 Tangente
f´(c) no está definido
c
horizontal
c
c es un número crítico de f
LOS EXTREMOS RELATIVOS SOLO OCURREN EN LOS NÚMEROS
CRÍTICOS:
Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en x=c, c es un
número crítico de f
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
11
Slide 12
Estrategia para localizar extremos
relativos en un intervalo cerrado
Para hallar los extremos relativos
de una función continua f en un
intervalo cerrado [a,b] :
1.
2.
3.
4.
Hallar los números críticos de f en [a,b]
Evaluar f en cada número crítico de (a,b)
Evaluar f en a y en b
El más grande de esos valores es el
máximo. El más pequeño es el mínimo.
Hallar los extremos de
f ( x) 2 x 3 x
2
3
en el intervalo [-1,3]
1
3
2
x
1
f ´( x) 2 1 2
1
3
x 3
x
f´(0) no está definido
x=0 punto crítico
f´(x)=0 x=1 punto crítico
f(a)
punto crítico
punto crítico
f(-1)=-5
f(0)=0
f(1)=-1
mínimo
máximo
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
f(b)
f(3)-0,24
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
12
Slide 13
Teorema de Rolle
Sea f continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el
intervalo abierto (a,b). Si
f(a) = f(b)
Existe al menos un número c en tal que f´(c)=0
Máximo
relativo
Máximo
relativo
f es continua en [a,b]
f es continua
y derivable en (a,b)
a
c
b
a
El teorema de Rolle asegura que
existe al menos un punto entre
a y b en el que la gráfica de f
tiene tangente horizontal
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
en [a,b]
c
b
Si se suprime la hipótesis de
dervabilidad f tiene un número
crítico en (a,b), pero quizá no
tenga en el tangente horizontal
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
13
Slide 14
Teorema del Valor Medio
Sea f continua en el intervalo cerrado [a,b]
Pendiente de la recta tangente = f´(c)
Recta tangente
Recta
secante
(b, f(b))
(a, f(a))
a c
b
y derivable en el intervalo abierto (a,b),
existe un número c en (a,b) tal que
f (b) f (a )
f ´( c )
ba
Importante teorema del Cálculo;
útil para demostrar otros teoremas
Geométricamente garantiza la
existencia de una recta tangente
paralela a la secante que une los puntos
(a, f(a)) y (b, f(b)).
En términos de ritmo de cambio asegura que debe
haber algún punto en (a,b) en el que el ritmo instantáneo
de cambio es igual al ritmo medio de cambio en [a,b]
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
14
Slide 15
Regla de Bernouilli- Hôpital
Sean f y g continuas y derivables en un entorno reducido del punto c.
Si g no se anula en ningún punto del entorno y las funciones f´y g´no se
anulan simultáneamente en ningún punto,
en caso de existir
también existe
f ´( x )
lim
g´( x )
xc
lim
xc
lim
x c
f ( x)
g ( x)
f ( x)
g ( x)
y ambos coinciden:
f ´( x )
lim
x c
g´( x )
La regla de Hôpital también es válida cuando:
f , g / lim
x
f ( x ) lim g ( x ) 0
x
f , g / lim f ( x ) lim g ( x )
x c
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
x c
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
15
Slide 16
Funciones crecientes y decrecientes
Una función f es creciente en un intervalo si
para cualquier par de número x1, x2 del
intervalo
x1 x2 f(x1) f(x2)
Una función f es decreciente en un intervalo si
para cualquier par de número x1, x2 del
intervalo
constante
f´(x) 0
x1 x2 f(x1) f(x2)
f´(x) =0 f´(x) 0
La derivada está realacionada con la
pendiente de la función
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
16
Slide 17
Criterio de crecimiento y decrecimiento
Sea f continua en [a,b] y derivable en (a,b)
[Con a,b, reales, o - ]
1. f´(x) 0, x (a,b) f es creciente en [a,b]
2. f´(x) 0, x (a,b) f es decreciente en [a,b]
3. f´(x) = 0, x (a,b) f es constante en [a,b]
Hallar los intervalos abiertos en los que
f es creciente o decreciente
Nótese que f es continua en
toda la recta real. Para
hallar sus números críticos,
igualamos a cero su derivada
Intervalo
Valor prueba
Signo de f´(x)
Conclusión
f ( x) x
3
x
2
f ´( x ) 3 x 3 x 0
2
Hacer f´=0
3( x )( x 1) 0
Factorizar
x 0, 1
Números críticos
2
- x 0
x=-1
0 x 1
x=1/2
f´(-1)=60 f´(1/2)=-3/4 0
creciente
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
3
decreciente
1 x
x=2
f´(2)=60
creciente
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
17
Slide 18
El criterio de la primera derivada
Sea c un número crítico de una función f definida en un intervalo abierto (a,b)
que contiene a c. Si f es derivable en ese intervalo, excepto quizá en c,
entonces f(c) puede clasificarse así:
1. Si f´(x) cambia en c de negativa a positiva, f(c) es un mínimo relativo de f
2. Si f´(x) cambia en c de positiva a negativa, f(c) es un máximo relativo de f
(-)
(+)
f´(x) 0
a
f´(x) 0
c
mínimo
relativo
(+)
f´(x) 0
b
a
f´(x) 0
c
(+)
f´(x) 0
f´(x) 0
c
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
b
(-)
f´(x) 0
a
máximo
relativo
b
(-)
(+)
a
(-)
c
f´(x) 0
b
Ni máximo ni mínimo
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
18
Slide 19
Aplicación del criterio de la primera derivada
Ejemplo
Hallar los extremos relativos de
f ( x) 2 x 3 x
2
3
Derivando, simplificando y factorizando
f ´( x )
x = 1
x = 0
2 x 1 x 1 x 1
2
3
x
Números críticos, f´(x)=0
0 no está en el dominio de f
Intervalo
Valor prueba
Signo de f´(x)
Conclusión
- x -1
x=-2
f´(-2) 0
decreciente
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
(-1,2)
Mínimo
relativo
(1,2)
Mínimo
relativo
-1 x 0
0 x 1
1 x
x=-1/2
x=1/2
x=2
f´(-1/2) 0
creciente
f´(1/2) 0
f´(2)0
decreciente
creciente
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
19
Slide 20
Concavidad y Convexidad
Sea f derivable en un intervalo abierto I. La gráfica de f es
cóncava en I si f´es creciente en I y
convexa en I si f´es decreciente en I.
cóncava
f´ creciente
La gráfica de f queda
por encima de su recta
tangente
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
convexa
f´ decreciente
La gráfica de f queda
por debajo de su recta
tangente
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
20
Slide 21
Criterio de concavidad
Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I.
1. Si f´´(x) 0 para todo x en I, la gráfica de f es cóncava en I
2. Si f´´(x) 0 para todo x en I, la gráfica de f es convexa en I
Para aplicar este criterio:
Localizar los x en los que f´´(x)=0
Localizar los x en los que f´´(x) no está definida
Ensayar el signo de f´´ en cada uno de los intervalos de prueba
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
21
Slide 22
Aplicación del criterio de concavidad
Hallar los intervalos abiertos para los que la gráfica es cóncava o convexa
f ( x) 6 x 3
2
1
f es contínua en toda la recta real.
Hallamos f´y f´´
12
f ´( x )
3
2
x 3
36x 1
f ´´( x )
0
x 3
f´´ 0
Cóncava
2
2
3
Intervalo
Valor prueba
Signo de f´´(x)
Conclusión
f´´ 0
f´´ 0
Cóncava
Convexa
x = 1
- x -1
x=0
x=-2
f´´(-2) 0
cóncava
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
-1 x 1
1 x
x=2
f´´(0) 0
f´´(2)0
convexa
cóncava
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
22
Slide 23
Puntos de Inflexión
Si (c,f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f, entonces
o bien f´´(c)=0 o f´´(x) no está definida en x = c
Hallar los ptos. de inflexión y discutir la concavidad de f ( x ) x 4 x
4
3
Hallamos f´y f´´
f ´( x ) 4 x 12 x
f está definida y es continua en
3
2
Cóncava
todos los reales
Cóncava
f ´´( x ) 12 x x 2 0
x = 0, x = 2
Convexa
Posibles ptos. de inflexión
Intervalo
Valor prueba
Signo de f´´(x)
Conclusión
0x 2
- x 0
x=1
x=-1
f´´(-1) 0
cóncava
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
f´´(1) 0
convexa
2 x
x=3
f´´(3) 0
cóncava
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
23
Slide 24
El criterio de la segunda derivada
Sea f una función tal que f´(c)=0 y cuya segunda derivada existe en un
intervalo abierto que contiene a c.
1. f´´(c) 0, entonces f(c) es un mínimo relativo
2. f´´(c) 0, entonces f(c) es un máximo relativo
Si f´´(c) = 0, este criterio no decide y ha de recurrirse al criterio de
la primera derivada
cóncava
c
f´(c) = 0,
f(c) es mínimo
f´´(c) 0
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
convexa
c
f´(c) = 0,
f(c) es máximo
f´´(c) 0
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
24
Slide 25
Aplicación del criterio de la segunda derivada
Hallar los extremos relativos de
f ( x ) 3 x 5 x
5
(1,2)
Máximo relativo
3
Calculamos la derivada
f ´( x ) 15 x 1 x
2
2
0
Los números críticos de f :
x = -1, 1, 0
(-1,-2)
Mínimo relativo
f ´´( x ) 30( 2 x x )
3
Punto
Conclusión
Signo de f´´
(-1,-2)
f´´(-1) = 30 0 Mínimo relativo
( 1, 2 )
f´´(1) = -30 0 Máximo relativo
( 0, 0 )
f´´(0 ) = 0
El criterio no decide
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Criterio de la
1ª derivada
Como f crece a la izda
y dcha de x=0, no es
máximo ni mínimo
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
25
Slide 26
Problemas de aplicación de máximos y mínimos
Estrategia
Un ganadero desea trasladar al matadero su producción de cerdos.
El transportista cobra 1,20 € por cabeza si traslada en cada camión 20
cerdos exactamente, mientras que si traslada más de 20 le descuentan 5
céntimos por cada uno que pase de 20. Hallar el número de cerdos que el
transportista propondrá trasladar al ganadero para obtener el máximo
beneficio
1. Asignar signos a todas las magnitudes
2. Escribir una ecuación primaria para la
magnitud que debe ser optimizada
3. Reducir la ecuación primaria a una ecuación
con solo una variable independiente. Esto puede
exigir ecuaciones secundarias que relacionen las
variables independientes de la ecuación primaria
4. Determinar el dominio de la ecuación primaria.
Esto es, hallar valores para los que la ecuación
primaria tiene sentido
5. Determinar el máximo o mínimo mediante las
técnicas de Cálculo estudiadas
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
x número de cabezas de más
a partir de 20
B(x)=(20+x)(120-5x)
Beneficio que deseamos maximizar
B´(x)= (120-5x)+(20+x)(-5)=
-10x+20= 0 x=2
B´´(x)= -10 0 , x=2 máximo
Se transportarán 22 cerdos
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
26
Slide 27
Análisis de Gráficas
Conceptos estudiados útiles al analizar gráficas de funciones
Dominio y recorrido
Intersección con los ejes
Simetrías
Continuidad
Asíntotas
Derivabilidad
Extremos relativos
Concavidad y convexidad
Puntos de inflexión
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
27
Slide 28
Bibliografía
Cálculo y Geometría Analítica
Larson, Hostetler, Eduards. Volumen 1, 1999 (6ª edición),
Ed. McGraw-Hill
Ejercicios y problemas
Problemas de Matemáticas
para ingeniería técnica agrícola y veterinaria
Alejandre, Allueva,González. Tomo 1, 2000
Ed. Copy Center Zaragoza (C/. Doctor Cerrada nº 2)
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones
28