Transcript f `(xi) ≈ ( f(xi+1)

Dos tipos de errores caracterizan a los
métodos numéricos
1.- Errores de redondeo
2.- Errores de truncamiento
Ambos errores pueden avaluarse mediante la siguiente definición de
error verdadero Ev y error relativo Er:
Ev = Valor verdadero – Valor aproximado
Er = 100 Ev / Valor verdadero
En un proceso de iterativo el error aproximado Ea se define asi:
Ea = 100 ( Valor aproximado actual - Valor aproximado anterior ) / Valor aproximado actual
Error de truncamiento y
la serie de Taylor
La serie de Taylor proporciona una forma de predecir el valor de una función en
un punto cuando se conoce el valor de la función y sus derivadas en otro punto.
Sea xi, f(xi) el punto conocido. Entonces, el valor de la función en el punto xi+1
es:
f(xi+1) = f(xi) + f ’(xi) h + f ’’(xi) h2 / 2! + f ’’’(xi)h3 / 3! +…+ f n(xi) hn / n! + Rn
En donde:
h = xi+1 – xi
Rn = f n+1(ξ) hn+1 / (n+1)! ; xi < ξ < xi+1
(Término residual)
Por ejemplo, si la serie de Taylor se trunca a partir del término de la segunda
derivada se obtiene una aproximación a la derivada, así:
f(xi+1) ≈ f(xi) + f ’(xi)h
y
f ’(xi) ≈ ( f(xi+1) - f(xi) ) / h
Obsérvese que se han despreciado términos de orden h1 y superiores:
f ’(xi) = ( f(xi+1) - f(xi) ) / h + O(h)
O(h) = f ’’(xi) h1 / 2! + f ‘’’(xi) h2 / 3! +…+ f n(xi) hn-1 / n! + Rn / h
Diferencias finitas
Existen varias formas de aproximar la derivada de una
función usando una serie de Taylor truncada.
Por ejemplo, si f(xi) representa al valor de la función f en el
punto xi, entonces el valor de la función en el punto xi+1, se
puede expresar mediante una expansión de la serie de
Taylor alrededor del punto xi, como sigue
df
d2 f ( x i ) h2 d3 f ( x i ) h3
f ( x i1 )  f ( x i ) 
h

 ...
2
3
dx
dx
2
dx
6
• Si ahora se despeja de esta ecuación el término de la primera derivada,
se obtiene
df f ( x i1 )  f ( x i )

 O(h)
dx
h
•
en donde el símbolo O(h) es la forma como usualmente se representa
a los términos de orden h1 o mayores, es decir, para el caso anterior
d2 f ( xi ) h d3 f ( xi ) h2
O(h)  

 ...
2
3
dx 2
dx
6
• Por consiguiente, si se desprecian estos términos, la derivada puede
aproximarse así
•
df f ( x i1 )  f ( x i )

dx
h
y representa la aproximación de orden uno (O(h)) de la derivada en un
esquema de diferencias finitas
• Debido a que esta aproximación se obtuvo avaluando la función f(xi+1) un
punto adelante de xi, se dice que es una diferencia finita adelantada.
• De la misma manera, se puede obtener la aproximación de la derivada
evaluando la función en el punto (xi-1) así
2
2
3
3
df
(
x
)
d
f
(
x
)
h
d
f
(
x
)
h
i
i
i
•
f ( xi1 )  f ( xi ) 
h

 ...
2
3
dx
dx
2
dx
6
• y si ahora se despeja a la derivada y se desprecian los términos O(h), se
obtiene la definición de la diferencia finita atrasada.
df ( x i ) f ( x i )  f ( x i1 )

dx
h
• Los dos esquemas anteriores tiene una aproximación de orden uno. Para
mejorar la aproximación simplemente es necesario conservar más
términos de la serie de Taylor.
También se puede definir la representación centrada de la derivada
alrededor del punto xi. Si se restan las dos ecuaciones de la expansión hacia
adelante y hacia atrás de la serie de Talor :
df ( xi )
d2 f ( xi ) h2 d3 f ( xi ) h3
f ( xi1 )  f ( xi ) 
h

 ...
dx
dx 2 2
dx 3 6
df ( xi )
d2 f ( x i ) h2 d3 f ( xi ) h3
f ( xi1 )  f ( xi ) 
h

 ...
dx
dx 2 2
dx 3 6
df ( xi )
d3 f ( xi ) h3
f ( xi1 )  f ( xi1 )  2
h
 ....
3
dx
dx
3
Despejando:
df ( x i ) f ( x i1 )  f ( x i1 ) d3 f ( x i ) h2


 ....
3
dx
2h
dx
3
df ( x i ) f ( x i1 )  f ( x i1 )

 O(h2 )
dx
2h
df ( x i ) f ( x i1 )  f ( x i1 )

dx
2h
Aproximación de
orden 2  O(h2)
Representaciones de la
derivada en diferencias finitas
f(xi + 1)
Adelantada O(h)
f(xi)
Centrada O(h2 ) = ½ (Adelantada + Atrasada)
Atrasada O(h)
f(xi - 1)
xi - 1
xi
xi + 1
Diferencias finitas
Aproximación
f ’(xi) ≈ ( f(xi + 1) - f(xi) ) / h
Diferencia finita adelantada
O(h)
f ’(xi) ≈ ( f(xi) - f(xi - 1) ) / h
Diferencia finita atrasada
O(h)
f ’(xi) ≈ ( f(xi + 1) - f(xi - 1) ) / 2h
Diferencia finita centrada
O(h2)