Transcript Las derivadas y las gráficas de las funcionesx
Slide 1
Las derivadas y las
gráficas de las funciones
Cómo afectan f’ y f” a la
forma de la gráfica
Slide 2
Criterio de la primera derivada para
crecimiento y decrecimiento
Sea f derivable en un intervalo abierto I.
• Si f’ > 0 en I, f es creciente en I (y viceversa).
• Si f’ < 0 en I, f es decreciente en I (y viceversa).
Slide 3
Criterio de la primera derivada para
extremos relativos
Sea c un punto crítico de f y f derivable en las
cercanías de c.
• Si f’ cambia de negativo a positivo en c, f tiene
un mínimo relativo en c.
• Si f’ cambia de positivo a negativo en c, f tiene
un máximo relativo en c.
• (Si f’ no cambia de signo en c, no tiene un
extremo relativo allí.)
Slide 4
Criterio de la segunda derivada para
concavidad
Sea f dos veces derivable en un intervalo abierto
I.
• Si f” > 0 en I, f es cóncava hacia arriba en I.
• Si f” < 0 en I, f es cóncava hacia abajo en I.
Slide 5
Criterio de la segunda derivada para
extremos relativos
Sea c un punto en el dominio de f, y f” continua
en las cercanías de c.
• Si f’(c) = 0 y f”(c) > 0, f tiene un mínimo
relativo en c.
• Si f’(c) = 0 y f”(c) < 0, f tiene un máximo
relativo en c.
• (Si f’(c) = 0 y f”(c) = 0, este criterio no permite
concluir nada.)
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Ejemplo 1
f (x) x 4 x
4
Gráfica auxiliar de f”
3
2
f ( x ) 12 x 24 x
3
2
2
f ( x ) 4 x 12 x 4 x ( x 3 )
f ( x ) 0 x 0 x 3
f ( x ) 0 x 3 f creciente
en x 3
f ( x ) 0 x 3 f decrecient e en x 3
2
f ( x ) 12 x 24 x 12 x ( x 2 )
f ( x ) 0 x 0 x 2 (candidato
s a puntos de inflexión)
f ( x ) 0 x ( ; 0 ) ( 2 ; ) f cónc. hacia arriba en ( ; 0 ) ( 2 ; )
f ( x ) 0 x ( 0 ; 2 ) f cónc. hacia abajo en ( 0 ; 2 )
f ( 3 ) 0
f ( 0 ) 0
m
en
x
3
;
este criterio
R
f ( 3 ) 0
f ( 0 ) 0
pero f no cambia
no decide en x 0 ;
de signo en 0, por lo que f no tiene extremo
relativo
allí.
Slide 7
Ejemplo 1 (cont.)
Resumiendo
:
f ( x) x 4 x
4
f creciente
f(x) =x4 - 4 x3
3
en x 3
f decrecient e en x 3
f cónc. hacia arriba en ( ; 0 ) ( 2 ; )
(2;-16)
f cónc. hacia abajo en ( 0 ; 2 )
x 0 x 2 ptos. inflexión
(cambia
concavidad
)
(3;-27)
f tiene
m R en x 3 y es f ( 3 ) 27
f no tiene extremo
relativo
en x 0 .
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Trazando gráficas de funciones
•
•
•
•
•
•
•
•
Determinar el dominio e imagen, de ser posible.
Determinar cruces con los ejes.
Determinar asíntotas horizontales y verticales.
Hallar derivadas primeras y segundas.
Determinar crecimiento y decrecimiento.
Determinar concavidad.
Determinar puntos críticos y MR , mR.
Determinar puntos de inflexión.
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Ejemplo 2
f ( x ) xe
Dom
Im
f
f
x
R
¿?
f ( x ) 0 x 0 cruza a los ejes en el origen
No hay asíntotas
lím
x
verticale s.
f ( x )
L' Hôpital
lím f ( x ) lím xe
x
x
( y 0 es asíntota
x
lím
x
x
e
horizontal
x
)
lím
x
1
e
x
0
Slide 10
Ejemplo 2 (cont.)
f ( x ) xe
x
x
x
x
f ( x ) e xe e (1 x ) f crece en ( ;1)
(donde
f 0 ) y decrece en (1; ) (donde
f ( x ) e
x
e
x
xe
x
e
x
f 0)
( x 2)
f cónc. hacia abajo en ( ; 2 ) (donde f 0 )
f cónc. hacia arriba en ( 2 ; ) (donde f 0 )
f ( x ) 0 x 1 (único pto. crítico)
1
f (1) e 0
M
R
en x 1; f (1) e
x 2 pto. inflexión
(cambia
1
concavidad
)
(1;e-1)
(2;2e-2)
f (x) = xe-x
Las derivadas y las
gráficas de las funciones
Cómo afectan f’ y f” a la
forma de la gráfica
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Criterio de la primera derivada para
crecimiento y decrecimiento
Sea f derivable en un intervalo abierto I.
• Si f’ > 0 en I, f es creciente en I (y viceversa).
• Si f’ < 0 en I, f es decreciente en I (y viceversa).
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Criterio de la primera derivada para
extremos relativos
Sea c un punto crítico de f y f derivable en las
cercanías de c.
• Si f’ cambia de negativo a positivo en c, f tiene
un mínimo relativo en c.
• Si f’ cambia de positivo a negativo en c, f tiene
un máximo relativo en c.
• (Si f’ no cambia de signo en c, no tiene un
extremo relativo allí.)
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Criterio de la segunda derivada para
concavidad
Sea f dos veces derivable en un intervalo abierto
I.
• Si f” > 0 en I, f es cóncava hacia arriba en I.
• Si f” < 0 en I, f es cóncava hacia abajo en I.
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Criterio de la segunda derivada para
extremos relativos
Sea c un punto en el dominio de f, y f” continua
en las cercanías de c.
• Si f’(c) = 0 y f”(c) > 0, f tiene un mínimo
relativo en c.
• Si f’(c) = 0 y f”(c) < 0, f tiene un máximo
relativo en c.
• (Si f’(c) = 0 y f”(c) = 0, este criterio no permite
concluir nada.)
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Ejemplo 1
f (x) x 4 x
4
Gráfica auxiliar de f”
3
2
f ( x ) 12 x 24 x
3
2
2
f ( x ) 4 x 12 x 4 x ( x 3 )
f ( x ) 0 x 0 x 3
f ( x ) 0 x 3 f creciente
en x 3
f ( x ) 0 x 3 f decrecient e en x 3
2
f ( x ) 12 x 24 x 12 x ( x 2 )
f ( x ) 0 x 0 x 2 (candidato
s a puntos de inflexión)
f ( x ) 0 x ( ; 0 ) ( 2 ; ) f cónc. hacia arriba en ( ; 0 ) ( 2 ; )
f ( x ) 0 x ( 0 ; 2 ) f cónc. hacia abajo en ( 0 ; 2 )
f ( 3 ) 0
f ( 0 ) 0
m
en
x
3
;
este criterio
R
f ( 3 ) 0
f ( 0 ) 0
pero f no cambia
no decide en x 0 ;
de signo en 0, por lo que f no tiene extremo
relativo
allí.
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Ejemplo 1 (cont.)
Resumiendo
:
f ( x) x 4 x
4
f creciente
f(x) =x4 - 4 x3
3
en x 3
f decrecient e en x 3
f cónc. hacia arriba en ( ; 0 ) ( 2 ; )
(2;-16)
f cónc. hacia abajo en ( 0 ; 2 )
x 0 x 2 ptos. inflexión
(cambia
concavidad
)
(3;-27)
f tiene
m R en x 3 y es f ( 3 ) 27
f no tiene extremo
relativo
en x 0 .
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Trazando gráficas de funciones
•
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Determinar el dominio e imagen, de ser posible.
Determinar cruces con los ejes.
Determinar asíntotas horizontales y verticales.
Hallar derivadas primeras y segundas.
Determinar crecimiento y decrecimiento.
Determinar concavidad.
Determinar puntos críticos y MR , mR.
Determinar puntos de inflexión.
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Ejemplo 2
f ( x ) xe
Dom
Im
f
f
x
R
¿?
f ( x ) 0 x 0 cruza a los ejes en el origen
No hay asíntotas
lím
x
verticale s.
f ( x )
L' Hôpital
lím f ( x ) lím xe
x
x
( y 0 es asíntota
x
lím
x
x
e
horizontal
x
)
lím
x
1
e
x
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Ejemplo 2 (cont.)
f ( x ) xe
x
x
x
x
f ( x ) e xe e (1 x ) f crece en ( ;1)
(donde
f 0 ) y decrece en (1; ) (donde
f ( x ) e
x
e
x
xe
x
e
x
f 0)
( x 2)
f cónc. hacia abajo en ( ; 2 ) (donde f 0 )
f cónc. hacia arriba en ( 2 ; ) (donde f 0 )
f ( x ) 0 x 1 (único pto. crítico)
1
f (1) e 0
M
R
en x 1; f (1) e
x 2 pto. inflexión
(cambia
1
concavidad
)
(1;e-1)
(2;2e-2)
f (x) = xe-x