Transcript Problemas resueltos

Problemas Resueltos de
Derivadas Sucesivas y
Concavidad
Problemas
1
Dada f(x) = xex demostrar por el método de inducción
que f(n)(x) = (x + n)ex.
2
Hallar los puntos de inflexión, y los intervalos de concavidad
2
y convexidad de f(x) = e x .
Hacer un boceto de la gráfica de f(x).
3
Supongamos que f’’(x) > 0 para todo x. Demostrar
que la gráfica de la función f permanece por encima de
cualquiera de sus tangentes.
4
Suponiendo que f’’(x) < 0 para todo x demostrar que
cualquier recta corta a la gráfica de f(x) como mucho
dos veces.
5
Dado el polinomio P(x) = x4 + 4cx3 + 6x2 + x +1
demostrar que si |c| < 1, cualquier recta corta a la
gráfica de P(x) como mucho en dos puntos.
Problemas resueltos de Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad
Derivadas e inducción
Ejercicio 1
Solución
1
2
Dada f(x) = xex. Demostrar por el método de
inducción:
f(n)(x) = (x + n)ex.
f(0)(x) = f(x) = xex = (x + 0)ex. Por lo tanto la fórmula se cumple
para n=0.
Suponiendo que se cumple para un valor n:
f(n) (x) = (x + n)ex.
3
Debemos demostrar que: f(n+1)(x) = (x+(n+1))ex.
Por lo tanto:
Utilizando la suposición (2).
f(n+1) (x) = D(f(n) (x)) = D((x + n)ex)
= (x + n)ex + ex = (x + (n + 1))ex
Problemas resueltos de Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad
Concavidad y Convexidad
Ejercicio 2
Solución
Hallar los puntos de inflexión y los intervalos de
2
concavidad y convexidad de la función f(x) = e x
Hacer un boceto aproximado de la gráfica de f(x).
Derivando, obtenemos: f   x   2 x e x
2
y
f   x   2 e x  4 x 2 e x .
2
2
Los puntos de inflexión son aquellos que para los que f’’(x) = 0:
f   x   0  2 e x  4 x 2 e x  0  4 x 2  2  x  
2
2
1
2
.
La dirección de concavidad cambia en los puntos de
inflexión. Para determinar la concavidad (hacia arriba o hacia
abajo)en los intervalos 
1   1 1   1


,

,

,
,
,


 
 

2 
2 2  2


debemos estudiar el signo de la segunda derivada
Problemas resueltos de Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad.
Concavidad hacia arriba y hacia abajo(2)
Ejercicio 2
Solución
Hallar los puntos de inflexión y los intervalos de
2
concavidad y convexidad de f(x) = e x .
Hacer un boceto aproximado de la gráfica de f(x).


Derivando, obtenemos: f   x   4x 2  2 e x .
2
2

e x es siempre positivo. Mientras que 4x2 – 2 es una
parábola. Estudiamos el signo de f’’

f   x   4x 2  2 e x
2
+++
–––
+++
4x2 – 2 +++
2
e x +++
–––
+++
+++
+++

1
1
2
2
Conclusión: La gráfica de f(x) es cóncava hacia
 1 1 
abajo en:
,

.
 2 2
En caso contrario , f(x) es cóncava hacia arriba.

1
2
1
2
Problemas resueltos de Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad.
Caracterización de la concavidad
Ejercicio 3
Solución
Supongamos que f’’(x) > 0 para todo x. Demostrar
que la gráfica de f(x) permanece por encima de
cualquiera de sus rectas tangentes.
Si f’’(x) > 0, significa que f’ es
estrictamente creciente.
La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en un punto (c,f(c))
es:
y – f(c) = f’(c)(x – c)  y = f’(c)x – f’(c)c + f(c).
f(x)
f’(c)x – f’(c)c + f(c)
Para demostrar que la gráfica de f
permanece por encima de sus rectas
tangentes, debemos demostrar que:
f(x) ≥ f’(c)x – f’(c)c + f(c) para todo x.
c x
Problemas resueltos de Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad.
Caracterización de la Concavidad (2)
Ejercicio 3
Solución
Supongamos que f’’(x) > 0 para todo x. Demostrar
que la gráfica de f(x) permanece por encima de
cualquiera de sus rectas tangentes.
Según lo que hemos visto la gráfica de f(x) permanece
por encima de sus rectas tangentes si:
f(x) ≥ f’(c)x – f’(c)c + f(c)
 f(x) – f(c) ≥ f’(c) (x – c).
Supongamos que x > c. Según el Teorema del Valor Medio, existe
un número d, c < d < x tal que f(x) – f(c) = f’(d) (x – c).
Si la derivada es estrictamente creciente, f’(d) > f’( c).
Por lo tanto f(x) – f(c) = f’(d) (x – c) ≥ f’(c) (x – c).
Esto prueba que la gráfica de f(x) permanece por encima de sus
rectas tangentes para los puntos cercanos al punto de tangencia.
Lo mismo ocurre para x  c.
Problemas resueltos de Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad.
Aplicaciones Geométricas
Ejercicio 4
Nota
Supongamos que f’’(x) < 0 para todo x. Demostrar
que cualquier recta corta a la gráfica de f(x) como
mucho en dos puntos.
Por hipótesis, la gráfica de
f(x) es cóncava hacia abajo.
Si la dirección de concavidad
cambia, deben de haber más
puntos de intersección.
De la geometría de las gráficas,
que son cóncavas hacia abajo,
parece obvio que cualquier recta
corta a dicha gráfica en como
mucho dos puntos.
Problemas resueltos de Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad.
Aplicaciones Geométricas (2)
Ejercicio 4
Solución
Supongamos que f’’(x) < 0 para todo x. Demostrar
que cualquier recta corta a la gráfica de f(x) como
mucho en dos puntos.
Es obvio que cualquier recta vertical corta a la
gráfica como mucho en un punto.
La ecuación de una recta no
vertical es del tipo:
y = ax + b.
y = ax + b
Las soluciones de la ecuación f(x) = ax + b
proporcionan los puntos de intersección
entre la recta y la gráfica de f. Tenemos
por tanto: g(x) = f(x) – ax – b.
Observar que f(x) = ax + b  g(x) = 0.
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Aplicaiones Geométricas (3)
Supongamos que f’’(x) < 0 para todo x. Demostrar
que cualquier recta corta a la gráfica de f(x) como
mucho en dos puntos.
Posteriormente hay que observar que, para la función
Solución
g(x) = f(x) – ax – b,
g’’(x) = f’’(x).
Por hipótesis f’’(x)<0 para todo x.
Ejercicio 4
Por lo tanto g’’(x) < 0 para todo x.
Si la función g toma el valor 0 en tres o más
puntos, g’ tomará el valor 0 en dos o más
puntos debido al Teorema de Rolle.
Debido al Teorema de Rolle si, g’ toma el valor 0 en
dos o mas puntos, g’’ debe tomar el valor 0.
Esto es imposible si g’’(x) = f’’(x) < 0 para todo x. Por lo tanto
cualquier recta y = ax + b corta a la gráfica de f(x) como mucho
en dos puntos.
Problemas resueltos de Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad.
Aplicaciones Geométricas(4)
Ejercicio 5
Dado el polinomio P(x) = x4 + 4cx3 + 6x2 + x +1
demostrar que si |c| < 1, cualquier recta corta a la
gráfica de P(x) como mucho en dos puntos.
Solución
Si la recta y = ax + b corta a la gráfica del polinomio P, en por lo menos
tres puntos distintos, el polinomio Q(x) = P(x) – ax – b tiene por lo
menos tres soluciones.
Si Q(x) tiene por lo menos tres soluciones, entonces, por el Teorema
de Rolle, Q’(x) tiene por lo menos dos soluciones.
Si Q’(x) tiene por lo menos dos soluciones, entonces, por el Teorema
de Rolle, Q”(x) tiene por lo menos una solución.
Derivando: Q(x) = x4+4cx3+6x2+(1-a)x+1-b,
Q’(x) = 4x3 + 12cx2 +12x+ 1- a Y Q”(x) = 12x2 + 24cx+12.
Q”(x) = 12((x – c)2 + 1 – c2). Si |c| < 1, Q”(x) > 0 para todo x.
Por lo tanto el polinomio Q no puede tener más de dos raíces.
Problemas resueltos de Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad
Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa