Transcript Forma estándar función de 2º grado

FORMA ESTÁNDAR
DE LA FUNCIÓN DE
SEGUNDO GRADO
Prof. José Mardones Cuevas
E-Mail: [email protected]
Sea
y  ax  bx  c
2
la función de segundo grado escrita en su forma general.
Para obtener la forma estándar de esta función podemos
seguir el siguiente procedimiento:
Pasamos el tercer término del trinomio al otro lado de la igualdad,
para completar el trinomio cuadrado perfecto con los dos primeros
términos.
y  c  ax  bx
2
Cálculo
b
Factorizamos por el coeficiente a
y  c  a(x 
2
b
del tercer té rmino
x
2
a  b  1  b  ( b )2  b
2
2x
a 2 2a
2a
4a
x)
a
Calculamos el tercer término del trinomio cuadrado perfecto del
segundo factor, y lo agregamos y quitamos para no perder el
equilibrio de la igualdad.
y  c  a(x 
2
b
a
x
b
2
4a
2

b
2
4a
2
)
Desarrollamos el paréntesis multiplicando el coeficiente a por el
trinomio cuadrado perfecto y luego por el término restante.
y  c  a(x 
2
b
x
a
y  c  a(x 
2
b
a
b
2
4a
x
b
2

b
2
4a
2
4a
2
)a
2
)
b
2
4a
2
Escribimos el trinomio como cuadrado de binomio.
b
y  c  a(x 
) 
2
2a
b
2
4a
Despejamos y.
b
y  a(x 
) 
2
2a
b
2
c
4a
Reducimos …
y  a(x 
b
2a
 b  4 ac
2
) 
2
4a
Finalmente, en esta expresión …
y  a(x 
b
 b  4 ac
2
) 
2
2a
si hacemos
h
4a
 b  4 ac
2
b

k 
2a
4a
Obtenemos…
y  a( x  h)  k
2
Forma estándar de la ecuación de segundo grado
Observación:
De las siguientes expresiones se tiene:
h
b
/  1
2a
 b  4 ac
2
k 
4a
h
b
2a
b  4 ac
2
k 
4a
¿De qué sirve escribir la función de segundo
grado en su forma estándar?
y  a( x  h)  k
2
Forma estándar de la ecuación de segundo grado
Con ella podemos contestar las siguientes preguntas.
Dada la siguiente función de segundo grado determina:
a) Concavidad
b) Desplazamiento horizontal
c) Desplazamiento vertical
d) Punto de corte eje de ordenadas (eje y)
e) Punto de corte eje de abscisas (eje x)
f) Coordenadas del vértice
g) Punto de máximo o de mínimo
h) Ecuación del eje de simetría
Ejemplo 1.
Para la siguiente función de segundo grado, considera las
preguntas anteriores y responde.
y  2x  5x  3
2
Solución:
Identificamos coeficientes
a2
b5
c3
Calculamos h
h
b
2a

5
22

5
4
Ejemplo 1.
Para la siguiente función de segundo grado, considera las
preguntas anteriores y responde.
y

2
x

5
x

3
___________________________________________________
2
Solución:
Ya tenemos
a2
b5
c3
h
5
4
Ahora calculamos k
b  4 ac
2
k 
4a

25  4  2  3
42

25  24
8

1
8
Ejemplo 1.
Para la siguiente función de segundo grado, considera las
preguntas anteriores y responde.
y  2x  5x  3
2
__________________________________________________
Solución:
Con esta información …
a2
b5
c3
h
5
4
k 
1
8
Escribimos la función en su forma estándar.
y  a(x  h)  k
2
y  2( x 
5
4
) 
2
1
8
Observa que el valor de h
produjo un cambio de signo.
Ahora contestamos las preguntas:
La parábola tiene:
a) La concavidad hacia arriba, porque a>0
b) Desplazamiento horizontal a izquierda, porque h<0
c) Desplazamiento vertical hacia abajo, porque k<0
d) Corte en eje de ordenada en el punto (0,c)=(0,3)
e) Corte en el eje de abscisas.
Aquí debemos igualar la función a cero y resolver la ecuación.
y  a(x  h)  k  0
2
2( x 
5
) 
2
4
2( x 
5
5
) 
2
5
1
) 
2
/ despejamos
Para reflexionar:
/
1
¿Qué pasaría si los coeficientes
a y h tienen igual signo?
2
/
16

4
x
1
8
4
x
0
8
4
(x 
1
1
4
5
4

1
4
x1  
5
x2  
5


4
4
1

4

1
4
4
 1
4

6
4

3
2
Los puntos de corte en eje de
abscisas son (-3/2,0) y (-1,0)
Seguimos contestando las preguntas:
La parábola tiene:
a) La concavidad hacia arriba, porque a>0
b) Desplazamiento horizontal a izquierda, porque h<0
c) Desplazamiento vertical hacia abajo, porque k<0
d) Corte en eje de ordenada en el punto (0,c)=(0,3)
e) Punto de corte en eje de abscisas: (-3/2,0) y (-1,0).
f) Coordenadas del vértice en V(h,k)=(-5/4,-1/8).
g) Punto de mínimo, porque a>0, y su valor es k=-1/8
h) Como eje de simetría x=h=-5/4  4x+5=0
Ejemplo 2.
Para la siguiente función de segundo grado, considera las
preguntas anteriores y responde.
y  9 x  3 x  6
2
Solución:
Identificamos coeficientes
a  9
b  3
c6
Calculamos h
h
b
2a

3
2  9

3
 18

1
6
Ejemplo 2.
Para la siguiente función de segundo grado, considera las
preguntas anteriores y responde.
y___________________________________________________
 9 x  3 x  6
2
Solución:
Ya tenemos
a  9
b  3
c6
h
1
6
Ahora calculamos k
b  4 ac
2
k 
4a

9  4  9  6
4  9

9  216
 36

225
36

25
4
Ejemplo 2.
Para la siguiente función de segundo grado, considera las
preguntas anteriores y responde.
y  9 x  3 x  6
2
__________________________________________________
Solución:
Con esta información …
a  9
b  3
c6
h
1
6
k 
25
4
Escribimos la función en su forma estándar.
y  a(x  h)  k
2
y  9( x 
1
6
) 
2
25
4
Observa que el valor de h
produjo un cambio de signo.
Ahora contestamos las preguntas:
La parábola tiene:
a) La concavidad hacia abajo, porque a<0
b) Desplazamiento horizontal a izquierda, porque h<0
c) Desplazamiento vertical hacia arriba, porque k>0
d) Corte en eje de ordenada en el punto (0,c)=(0,6)
e) Corte en el eje de abscisas.
Aquí debemos igualar la función a cero y resolver la ecuación.
y  a(x  h)  k  0
2
 9( x 
 9( x 
1
) 
2
25
6
4
1
) 
2
6
(x 
1
1
) 
2
25
/ despejamos
/ 
1
9
/
36

6
x
25
4
6
x
0
5
6
1
6

5
6
x1  
1
x2  
1


6
6

5

4
6
6
5

6

2
3
6
6
 1
Los puntos de corte en eje de
abscisas son (2/3,0) y (-1,0)
Seguimos contestando las preguntas:
La parábola tiene:
a) La concavidad hacia abajo, porque a<0
b) Desplazamiento horizontal a izquierda, porque h<0
c) Desplazamiento vertical hacia arriba, porque k>0
d) Corte en eje de ordenada en el punto (0,c)=(0,6)
e) Punto de corte en eje de abscisas: (2/3,0) y (-1,0).
f) Coordenadas del vértice en V(h,k)=(-1/6,25/4).
g) Punto de máximo, porque a<0, y su valor es k=25/4
h) Como eje de simetría x=h=-1/6  6x+1=0
Para practicar un poco:
Con las siguientes funciones, contesta las 8 preguntas formuladas
para los ejemplos 1 y 2.
1 . y  3 x  13 x  10
2
2. y  4 x  8 x  3
2
3. y  6 x  7 x  2
2
4 . y  6 x  x  12
2
5 . y   8 x  10 x  3
2
6 . y  9 x  36 x  37
2
También
sería
bueno
que
practicaras
utilizando
el
procedimiento mostrado aquí para
obtener la forma estándar de la
función de segundo grado. Ten
presente que las fórmulas se
olvidan más rápidamente, pero los
procedimientos tienden a perdurar
en el tiempo.
Para practicar un poco:
y  4x  8x  3
Aplicando procedimiento
para obtener forma
estándar de la función.
y  3  4x  8x
2
2
y  3  4( x  2 x )
2
y  3  4 ( x  2 x  1  1)
2
 2x
2x

2
 1  1  1  1
2
y  3  4 ( x  2 x  1)  4  1
2
y  3  4 ( x  1)  4
2
Cuando sientas que te
puedes saltar algunos
pasos sin equivocarte,
hazlo. Ganarás tiempo.
y  4 ( x  1)  4  3
2
y  4 ( x  1)  1
2