Transcript Tema: Variación de funciones. Derivadas Euler - Matemáticas I Tasa de variación media de una función Para una función f(x) se define la tasa.

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Variación de funciones. Derivadas
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Euler - Matemáticas I
Tasa de variación media de una función
Para una función f(x) se define la tasa de variación media de f en un intervalo [a, b],
contenido en el dominio f(x), mediante el cociente:
f(b) – f(a)
Tm f[a, b] =
b–a
La tasa de variación media es una medida de la variación que experimenta una
función, en un intervalo, por unidad de variable independiente
Y
Y
f(b)
f(b) – f(a) > 0
f(a)
f(a)
Tm f[a, b] > 0
f(b) – f(a) < 0
f(b)
X
X
a
b
a
b
Tm f[a, b] < 0
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Euler - Matemáticas I
Tasa de variación en un punto. Concepto de derivada
Al calcular la tasa de variación media en intervalos de longitud cada más pequeña,
con un extremo en un punto p, intentamos obtener una medida de lo rápido que
varía la función en p. De esta forma obtenemos la derivada en p.
Y
f(p + h)
f(p + h) – f(p)
f(p+h) – f(p)
h
ho
f '(p) = lim
f(p)
X
p p+h
Derivada de f en el punto
de abcisa p: el límite ha
existir y ser finito
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Euler - Matemáticas I
La recta tangente como límite de rectas secantes
t1
X
Q1
Q2
•
Q3
...
Qn
...
C
•
•
t2
t3
tn
t
•
P•
Y
La recta tangente a una curva C en un punto P es la recta que pasa por P y es la
posición límite de las rectas secantes que pasan por P y Q cuando Q es cualquier
punto de C que tiende a P a los largo de la curva
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Interpretación geométrica de la tasa de variación media:
pendiente de la recta secante
Y
Q
La pendiente de la recta secante a la curva,
por P y Q es:
f(p + h)
f(p + h) - f(p)
P
m = tg  =

f(p)
h
p
X
p+h
f(p+ h)-f(p)
h
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Euler - Matemáticas I
Interpretación geométrica de la derivada: pendiente de la
recta tangente
Al hacer que h  0, ocurrirá que
• p + h tiende (se acerca) a p
• Q recorre la curva acercándose a P
Y
Q
f(p + h)
• La recta secante a la curva se convierte
en la recta tangente
f(p + h) - f(p)
P
• La inclinación de la recta secante tiende
a la inclinación de la recta tangente

h
f(p)
X
p
p+h
• La tasa de variación media tiende a la
tasa de variación instantánea
Si la función f tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de la función f en este punto es la derivada de f en p
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Euler - Matemáticas I
Ecuación de la recta tangente a una curva en un punto
Y
• La ecuación de la recta que pasa por
un punto P(xo, yo) y tiene de pendiente
m es: y – yo = m (x – xo)

f(p)
f '(p) = tg 
•
X
p
• La ecuación de la recta la gráfica de la
función f por el punto de abcisa p es
y – f(p) = f ' (p) (x – p)
siempre que f tenga derivada en p
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Euler - Matemáticas I
Tangente vertical en un punto
Y
f(x) =
3
• Pendientes de las rectas tangentes que pasan
por P(0, 0) y Q(h, f(h))
x
X
f(0 + h) – f(0)
mPQ =
=
h
h1/3 – 0
h
=
1
h2/3
• Al hacer que x tienda a 0, la pendiente tiende
a infinito: la derivada no existe, ya que por
definición ha de ser finita
La función f(x) =
3
x no es derivable en 0. En el resto de puntos de su
dominio sí es derivable
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Euler - Matemáticas I
Función derivada
• Derivada de f(x) =
x2
en el punto 3:
f(3 +h)-f(3)
(3 + h)2-32
h(h + 6)
f´(3) = lim
= lim
= lim
=6
h
h
h
h0
h0
h0
Y
X
f(x) = x2
• Derivada de f(x) = x2 en el punto 2:
f(2 +h)-f(2)
(2 + h)2-22
h(h + 4)
f´(2) = lim
= lim
= lim
=4
h
h
h
h0
h0
h0
• Para obtener la derivada en el punto x
f(x+ h)-f(x)
(x+ h)2-x2
h (h +2x)
f´(x) = lim
= lim
= lim
= 2x
h
h
h
h0
h0
h0
f ´(x) = 2x
Y
X
• Se llama función derivada de una función f(x), o simplemente derivada de f, a
una nueva función f ' (x) que asocia a cada punto x la derivada de f(x) en el
punto x, siempre que ésta exista.
• La f ' (x) sólo existe en los puntos en los que f es derivable: esos puntos están en
Dom(f)
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Euler - Matemáticas I
Derivada de las operaciones con funciones (I)
• Derivada de una constante por una función
Si c  R y f es una función derivable en x  R la función cf es derivable
en x y su derivada es el producto de c por la derivada de f en el punto x, es
decir(cf)'f = cf´(x)
• Derivada de la suma y diferencia de funciones
Si f y g son dos funciones derivables en x  R, las funciones (f + g) y (f
– g) son derivables en x y sus derivadas son la suma y la diferencia de las
derivadas de cada una de ellas:
( f + g)' (x) = f ' (x) + g ' (x) y ( f – g)' (x) = f ' (x) – g ' (x)
• Derivada de f(x) = xn, n = 0, 1, 2, 3, ...
Esta función es derivable en toda la recta real y su derivada es el
producto del exponente n por la base elevada al exponente menos 1:
f ' (x) = n xn-1
• Derivada del producto de funciones
Si f y g son dos funciones derivables en x  R, la función f . g es
derivable en x y su derivada es:
(fg)'(x) = f ' (x) g(x) + f(x) g ' (x)
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Derivada de las operaciones con funciones (II)
• Derivada de la composición de funciones: regla de la cadena.
Si f tiene derivada en x y g tiene derivada en f(x), la función
compuesta f o g tiene derivada en x y su derivada es
(g o f )'(x) = g'(f(x)) f '(x)
• Derivada de la función logarítmica
La función f(f) = ln x tiene derivada en x (0, ) y su derivada es:
f '(x) = 1/x
• Derivada de la función exponencial
La función f(x) = ex tiene derivada en x R y su derivada es. ç
f '(x) = ex
• Derivada de la función potencial
La función f(x) = xa tiene derivada en todo x (0, ) y su derivada
es
f ' (x) = axa-1
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Derivada de las funciones trigonométricas
• Derivada de la función seno
La función f(x) = sen x tiene derivada en todo x  R y su
derivada es
f ' (x) = cos x
• Derivada de la función coseno
La función f(x) = cos x tiene derivada en todo x  R y su
derivada es
f ' (x) = – sen x
• Derivada de la función tangente
La función f(x) = tan x es derivable en los puntos en los que cos
x  0, es decir para x  p/2+kp.En dichos puntos se tiene
f ' (x) = 1/cos2x
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Crecimiento y derivadas
Y

(
a
f '(x) = tg  > 0 x (a, b)
x
)
X
b
Función creciente en (a, b)
Si f(x) es una función derivable en el intervalo (a, b) y su derivada es positiva
en todos los puntos del conjunto (a, b), la función f(x) es creciente en (a, b)
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Decrecimiento y derivadas
Y

(
a
f '(x) = tg  < 0 x (a, b)
x
)
X
b
Función decreciente en (a, b)
Si f(x) es una función derivable en el intervalo (a, b) y su derivada es negativa
en todos los puntos del conjunto (a, b), la función f(x) es decreciente en (a, b)
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Estudio de los intervalos de crecimiento y decrecimiento
2x
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de y =
y'=
2(1 - x)(1 + x)
1 + x2
2(1 - x)(1 + x)
;
1 + x2
= 0  x = 1
1 + x2
Y
3
Siempre positivo
2
-1
y’ < 0
1
1
X
- 4
- 2
2
y’ < 0
4
- 1
y’ > 0
- 2
- 3
Decreciente: (, -1)  (1, )
Creciente: (-1, 1)
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Euler - Matemáticas I
Extremos relativos y derivada segunda
Y
máximo
relativo de
coordenadas (b, f(b))
f " (b) < 0
f ' (b) = 0
f' <0
a
f'<0
f'>0
X
b
f ' (a) = 0
f " (a) > 0
mínimo
relativo de
coordenadas (a,
f(a))
Sea f(x) una función tal que f ' (p) = 0
• Si f"(p) > 0, la función f alcanza en p un mínimo relativo en x = p
• Si f"(p) < 0, la función f alcanza un máximo relativo en x = p
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Problemas de optimización (I)
• B
A
•
7 km.
3 km.
Costa
10 km.
Llegar desde A hasta B, tocando en la costa y recorriendo la menor distancia posible
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Problemas de optimización (II)
A
•
•B
7 km.
3 km.
X
C
10 - X
10 km.
A'
•
Tema:
mínima distancia entre A' y B = mínima distancia entre A y B =
= ACB
7
3
=
x
10 -x
x=3
¿Se podría resolver este problema utilizando las derivadas?