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11°A
Francisco Hernández
Guillermo de la Hoz
Jesús Echávez
Carlos de la Peña
Jaime Bravo
¿Qué significa
“derivar”?
La derivada es uno de los conceptos más importante
en matemáticas. La derivada es el resultado de un
límite y representa la pendiente de la recta tangente
a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos
por partes.
La definición de derivada
es la siguiente:
Aún no
entiendo
La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula
como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un
cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable
independiente se toma cada vez más pequeño.
La derivada de la función
en el punto marcado
equivale a la pendiente de
la recta tangente (la
gráfica de la función está
dibujada en negro; la
tangente a la curva está
dibujada en rojo).
El concepto se derivada
se aplica en los casos
donde es necesario
medir la rapidez con
que se produce el
cambio de una
situación. Por ello es
una herramienta de
cálculo fundamental en
los estudios de Física,
Química y Biología.
Y este
concepto,
¿qué?
La función derivada de una
función f(x) es una función
que asocia a cada número real
su derivada, si existe. Se
expresa por f'(x).
Si aprendiste
límites, lo
sabrás
Ejemplo: Determinar la función derivada de x2 − x + 1.
EJEMPLO:
Sea la función cuadrática
f(x)= x2 definida para todo x
perteneciente a los reales. Se
trata de calcular la derivada
de esta función para todo
punto x ∈ R — puesto que es
continua en todos los puntos
de su dominio —, mediante el
límite de su cociente de
diferencias de Newton. Así:
Las reglas de derivación son los métodos que se emplean para el cálculo de la derivada de una función.
Dependiendo del tipo de función se utiliza un método u otro.
DERIVADA DE UNA
POTENCIA REAL
DERIVADA DE UNA SUMA
DERIVADA DE UN
PRODUCTO
Una función potencial con
exponente real se
representa por
Se puede demostrar a
partir de la definición de
derivada, es decir:
La derivada de un producto
está definida como:
y su derivada es
f’(x)=anxn-1.
(f+g)’(x)= f’(x)+g’(x)
f(x)=axn
h(x)=(f .g)(x)
Y su derivada es:
h’(x)=f’.g + f.g’
Las reglas de derivación son los métodos que se emplean para el cálculo de la derivada de una función.
Dependiendo del tipo de función se utiliza un método u otro.
DERIVADA DE UN
COCIENTE
La derivada de un cociente
se determina por la
siguiente relación:
REGLA DE LA CADENA
La regla de la cadena es
una fórmula para calcular la
derivada de la composición
de dos o más funciones.
La derivada de una
función es un concepto
local, es decir, se calcula
como el límite de la
rapidez de cambio media
de la función en un
cierto intervalo, cuando
el intervalo considerado
para la variable
independiente se toma
cada vez más pequeño.
La definición de derivada
es la siguiente:
Esta expresión es el
cociente de diferencias de
Newton. La derivada de f
en x es el límite del valor
del cociente diferencial,
conforme las líneas secantes
se aproximan a la línea
tangente.
Las reglas de derivación
son los métodos que se
emplean para el cálculo
de la derivada de una
función. Dependiendo del
tipo de función se utiliza
un método u otro.
• Regla de la constante
• Regla de la potencia
real
• Regla de la suma
• Regla del producto
• Regla del cociente
• Regla de la cadena
La derivada de una función en un punto se obtiene como el límite del cociente incremental: el
incremento del valor de la función con respecto al incremento de la variable, cuando este tiende a cero.
La derivada de
una función en
un punto es un
número real.
Clic aquí para
saber qué es
esto.
Por tanto, la derivada
de una función en un
punto x0 viene dada
por la pendiente de la
recta tangente a la
curva en el punto de
abscisa x0 , es decir
P(x0, f(x0)). Si una
función tiene derivada
en un punto se dice
que es derivable.
Ahora sabremos el porqué de la derivada en un punto,
mediante su interpretación geométrica.
Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje x. Si se toma un punto x0 + h muy próximo a x0 (h es un número
infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante que une los puntos [x0,f(x0)] y
[(x0+h),f(x0+h)] tiende a confundirse con la tangente a la curva en el punto [x0,f(x0)].
Si β es el ángulo que forma la secante con el eje de abscisas, y
α el ángulo que determina la tangente con ese mismo eje, en el
triángulo rectángulo de vértices [x0,f(x0)], [(x0+h),f(x0+h)] y
[(x0+h),f(x0)], se verifica:
tan 𝛽 =
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0 )
ℎ
Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a
confundirse con un segmento de la tangente, tan β tiende a
tan α, es decir, a la pendiente de la tangente a la curva en el
punto [x0,f(x0)]. Esto se expresa matemáticamente así:
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0 )
lim tan 𝛽 = lim
= tan 𝛼
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
La derivada de la función f(x) en el
punto x = a es el valor del límite, si
existe, de un cociente incremental
cuando el incremento de la variable
tiende a cero.
Calcular la de derivada de f(x)=2x2-6x+5 en x=-5
Calcular la derivada de
en x=2
Calcular la derivada de
en x=2
Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la
izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.
Derivada lateral por la derecha
Derivada lateral por la izquierda
Calcular las derivadas laterales para la función especificada
lim−
𝑥→1
lim+
𝑥→1
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
−𝑥 2 + 5𝑥 − 4 − [− 1 2 + 5 1 − 4]
= lim
𝑥→1+
𝑥−1
−𝑥 2 + 5𝑥 − 4 − (0)
− 𝑥−4 ∗ 𝑥−1
= lim+
= lim
𝑥→1
𝑥→1+
𝑥−1
𝑥−1
= lim −𝑥 + 4 = −1 + 4 = 3
𝑥→1+
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
𝑥 3 − 1 − [ 1 3 − 1]
= lim
𝑥→1−
𝑥−1
𝑥 3 − 1 − (0)
𝑥 − 1 ∗ 𝑥2 + 𝑥 + 1
= lim−
= lim
𝑥→1
𝑥→1−
𝑥−1
𝑥−1
= lim 𝑥 2 + 𝑥 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
𝑥→1−
Como el la derivada lateral por la derecha coincide
con la izquierda, se dice que f(x) es derivable en x=1
y en f’(1)=3
La derivada de una
función en un punto se
obtiene como el límite
del cociente incremental:
el incremento del valor
de la función con
respecto al incremento
de la variable, cuando
este tiende a cero.
La definición de derivada
de una función en un
punto es la siguiente:
Una función es derivable
en un punto si, y sólo
si, es derivable por la
izquierda y por la
derecha en dicho punto
y las derivadas laterales
coinciden.
Decimos que una función es derivable en un intervalo abierto (x1,x2) de su dominio si lo es en cada uno
de sus puntos. En general el conjunto de puntos donde la función es derivable constituye su dominio de
derivabilidad.
Hay que observar que el dominio de derivabilidad de una función puede no coincidir con el dominio de la función. O
dicho de otra forma, el dominio de la función f(x) puede no coincidir con el dominio de la función derivada f ´(x).
EJEMPLO: Consideremos la función valor absoluto de x que queda definida de la siguiente manera:
El dominio de y=f(x) es R (conjunto de números
reales) mientras que el dominio de y´ es R - {0}
puesto que en x=0 la función f(x) presenta un
punto anguloso y la pendiente por la izquierda no
coincide con la pendiente por la derecha. La gráfica
de la función derivada es:
2°
1°
Una función es
derivable en un
intervalo abierto si
es derivable en cada
uno de sus puntos.
Una función es
derivable en un
intervalo cerrado
[a,b] si es derivable
en cada uno de los
puntos del intervalo
abierto y derivable
por la derecha en a
y por la izquierda
en b.
En la gráfica podemos observar que la función es
derivable en el intervalo (n,p) pero no en el
(m,p) ya que en este último intervalo contiene
un punto anguloso
¿Es derivable la función
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 en el intervalo cerrado [0,2]?
Sí lo es, pues al ser polinómica es derivable en cada uno de los
puntos del intervalo cerrado [0,2]. Por otra parte, es derivable
tanto por la derecha de x=2 como por la izquierda de x=0.
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0)
lim
𝑥→0−
𝑥 − 𝑥0
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0)
lim
𝑥→2+
𝑥 − 𝑥0
=0
=4
¿Es derivable la función
en el intervalo abierto (-2,2)?
Como una función es derivable en un intervalo abierto si todos los
puntos dentro de ese intervalo son derivables, revisamos si esta
condición se cumple.
Analicemos si la función es derivable en el punto x=0.
Como los límites laterales no coinciden, se dice que la función no es
derivable en el punto x=0, por lo tanto no se cumple la condición.
Así llegamos a la conclusión de que la función no es derivable en (-2,2).
En general el conjunto
de puntos donde la
función es derivable
constituye su dominio de
derivabilidad. Hay
que observar que el
dominio de derivabilidad
de una función puede no
coincidir con el dominio
de la función.
Una función es
derivable en un intervalo
abierto si es derivable
en cada uno de sus
puntos.
Una función es
derivable en un intervalo
cerrado [a,b] si es
derivable en cada uno de
los puntos del intervalo
abierto y derivable por
la derecha en a y por
la izquierda en b.