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Cálculo diferencial e integral de una variable
Funciones
Reales de
Varias
Variables
1
Cálculo diferencial e integral de una variable
Contenidos
•
•
•
•
•
•
•
Habilidades
Función de dos variables.
Gráfica de una función real de dos variables.
Curvas de nivel.
Límite.
Continuidad.
Derivadas Parciales.
ir
ir
ir
ir
ir
ir
ir
2
Cálculo diferencial e integral de una variable
Habilidades
• Define el concepto de función real de dos y tres
variables.
• Determina el dominio de una función real y lo
representa gráficamente.
• Traza la gráfica de una función real de dos variables
reales.
• Relaciona la regla de correspondencia de una
función con su gráfica.
• Determina las curvas (superficies) de nivel de una
función real de dos (tres) variables.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Habilidades
• Calcula el límite de una función.
• Determina la no existencia del límite de una función
real de dos variables reales.
• Establece la continuidad de una función real en un
punto.
• Define el concepto de derivada parcial.
• Calcula derivadas parciales.
• Interpreta geométricamente el concepto de
derivada parcial.
• Calcula derivadas parciales de segundo orden.
• Verifica que una función dada es solución de una
ecuación en derivadas parciales.
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inicio
Cálculo diferencial e integral de una variable
Funciones de Varias Variables.
Definición: Una función f de dos variables es una regla
que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) de un
conjunto D, un número real único denotado por f(x,y).
El conjunto D es el Dominio de f y su imagen es el conjunto de
valores que toma f, es decir  f ( x, y) /( x, y)  D
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplos.
1. Halle los dominios de las siguientes funciones y grafíquelos.
a) f (x,y)  y 2  x


b) f  x,y   ln x2  y 2  4
Ln(1  x  y )
c) f (x,y ) 
yx
2. Evalué la función del inciso (a) en f(0,0) ,f(1,1) y f(2,-1), en caso
sea posible. Justifique su respuesta.
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inicio
Cálculo diferencial e integral de una variable
Gráfica de una función de dos variables.
Definición: Si f es una función de dos variables con dominio
D, entonces la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y, z)
de R3 tales que z = f(x,y) y (x,y) está en D.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo
2. Grafique las siguientes funciones y determine el dominio y la
imagen.
a) f (x,y)  4  y2  x2

b) z  9  x2  y2

8
inicio
Cálculo diferencial e integral de una variable
Curvas de nivel.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Definición: Las curvas de nivel de una función f de dos
variables, son las curvas con ecuaciones f(x,y)=k, donde k es
una constante (que pertenece a la imagen de f).
O
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplos
3. Trace la gráfica y las curvas de nivel de:
a) f (x,y)  x2  y2
b) f (x,y )  x2  y 2
4. Una lamina de metal plana está situada en un plano XY y la temperatura
T (en grados centígrados) en el punto (x, y) es inversamente proporcional
a la distancia del punto (x, y) al origen.
a) Describa las isotermas
b) Suponiendo que la temperatura en el punto P(4 ; 3) es 40 grados
centígrados, encuentre una ecuación de la isoterma correspondiente a
la temperatura de 20 grados centígrados.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplos
5. Describa y trace las superficies de nivel de la función:
2
2
f (x,y , z)  2x  y  z
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inicio
Cálculo diferencial e integral de una variable
Límites
-1
-0,5
-0,2
0
0,2
0,5
1
-1,0
0,455
0,759
0,829
0,841
0,829
0,876
0,455
TABLA1 Valores de f(x,y)
-0,5
-0,2
0
0,2
0,759 0,829 0,842 0,829
0,959 0,986 0,990 0,986
0,989 0,999 1,000 0,999
0,990 1,000
1,000
0,986 0,999 1,000 0,999
0,959 0,986 0,990 0,986
0,759 0,829 0,841 0,829
2 
x2  y 2
g( x , y )  2
x  y2
0,5
0,759
0,959
0,986
0,990
0,986
0,959
0,759
1
0,455
0,759
0,829
0,841
0,829
0,759
0,455
1 f ( x , y ) 
-1
-0,5
-0,2
0
0,2
0,5
1
-1,0
0,000
-0,600
-0,923
-1,000
-0,923
-0,600
0,000

sen x 2  y 2

x2  y 2
TABLA 2 Valores de f (x ,y )
-0,5
-0,2
0
0,2
0,600 0,923 1,000 0,923
0,000 0,724 1,000 0,724
-0,724 0,000 1,000 0,000
-1,000 -1,000
-1,000
-0,724 0,000 1,000 0,000
0,000 0,724 1,000 0,724
0,600 0,923 1,000 0,923
0,5
0,600
0,000
-0,724
-1,000
-0,724
0,000
0,600
1
0,000
-0,600
-0,923
-1,000
-0,923
-0,600
0,000
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Límites
Definición: Sea f una función de dos variables cuyo dominio
D incluye puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces
decimos que el límite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (a,b)
es L y escribimos
lim
 x ,y  a,b
f x,y  L
  0,    0 tal que f  x,y   L  
 x,y   D y 0 
siempre que
 x  a   y  b   
2
2
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Interpretación geométrica de los límites
Z
L
L
L
X
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Determina la no existencia del límite de una función real.
Definición: Si f  x , y   L1 cuando  x,y    a,b por
una trayectoria C1 y f  x , y   L2cuando  x,y    a,b por
otra trayectoria C2,, donde L1  L2, entonces
lim
 x ,y  a,b
f  x,y  no existe.
y
b
a
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplos
x2  y 2
x2  y2
no existe
lim
xy
x2  y 4
no existe
lim
xy
x2  y2
5. Muestre que lim
 x ,y    0 ,0
6. Muestre que
 x ,y    0 ,0 
7. Muestre que
 x ,y    0 ,0 
no existe
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inicio
Cálculo diferencial e integral de una variable
Continuidad
Definición: Una función f de dos variables, se denomina
continua en (a,b) si
lim f x, y   a, b 
 x , y  a ,b 
Decimos que f es continua en D si f es continua en todo punto
(a,b) de D
Nota:
Las funciones polinomicas y racionales son continuas en su dominio
 x 2  xy  y 2 
 x ,y  1,2
lim
lim
 x ,y  1,0
x2  y 2
x2  y 2
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inicio
Cálculo diferencial e integral de una variable
Derivadas parciales.
Sea z=f(x,y), definida en el dominio D del plano XY y sea
(x0 ,y0) un punto de D. La función f(x, y0) depende
solamente de x y está definida alrededor de x0.
Si la derivada existe, el valor
de la derivada es llamado
derivada parcial de f(x,y),con
respecto a x en el punto
(x0,y0) y se denota por
f
x0 , y0  ó z
x
x  x0 , y0 
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Definición de derivada parcial con respecto a x.
f  x0  x , y0   f  x0 , y 0 
f
 x0 , y0   lim
x 0
x
x
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Definición de derivada parcial con respecto a y.
Del mismo modo, la derivada de f con respecto a
y en (a,b) , denotada por fy(x0 ,y0), se obtiene
dejando x fija (x=x0).
fy  x0 , y0 
f  x0 , y0  y   f  x0 , y0 
f

 x0 , y0   lim
y 0
y
y
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplos
1. Si f(x,y)=4-x2-2y2, encuentre fx(1,1), fy (1,1), e
interprete estos números como pendientes.
2. Obtenga las primeras derivadas parciales de f
a) f (x,y )  (x3  y 2 )2
b) f (x,y )  xey 2  ysenx
c) f (x,y , z)  xe3x z  xz 2  ln(yz)
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Derivadas parciales respecto a x y a y.
23
Fin