Transcript Tema 8. LA CIRCUNFERENCIA y C(-2,5) . 7531 . -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 -2 .P (2,2) 1 2 3 4 5 6 7 8 x -3 -4 -5 y Centro (-2,5) Radio=5 P (x,y) (y-k) . r  C  (x-h) x P1(-6,8) Centro.

Tema 8.
LA CIRCUNFERENCIA
y
C(-2,5)
.
8
7
6
5
4
3
2
1
.
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1
-2
.P (2,2)
2
1 2 3 4 5 6 7 8
x
-3
-4
-5
y
Centro (-2,5)
Radio=5
P (x,y)
(y-k)
.
r

C

(x-h)
x
P1(-6,8)
Centro (h,k)
Radio=r
LA CIRCUNFERENCIA
Definición: Circunferencia es el lugar geométrico de un punto
que se mueve en un plano de tal manera que se conserva
siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese
plano.
El punto fijo se llama centro y la distancia constante se llama
radio.
y
 P (x,y)
r

C (h,k)
x
Teorema: La circunferencia cuyo centro es el punto (h , k) y cuyo radio es la
constante r, tiene por ecuación: (x-h)2 + (y-k)2 = r2
Aplicando el Teorema de Pitágoras queda:
r2 = (x-h)2 + (y-k)2
(Ecuación ordinaria)
y
(y-k)
 P (x,y)
r
C (h,k)
(x-h)
x

Corolario: La circunferencia de centro en el origen y radio r tiene por
ecuación: x 2 + y2 = r2 (forma canónica)
Sustituyendo las coordenadas del centro en la ecuación ordinaria:
r2 = (x-0)2 + (y-0)2  x2 + y2 = r2
(Ecuación canónica)
y
r
C(0,0)
x
Forma general de la ecuación de la circunferencia:
Ecuación ordinaria
(x-h)2 + (y-k)2 = r2
Desarrollando la ecuación ordinaria
x2 +y2- 2hx - 2ky + h2 + k2 - r2 =0
donde D = -2h
E = -2 k
F = h2 + k2 – r2
Queda: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Transformación de la ecuación general a la ecuación
ordinaria de la circunferencia.
x2 + y2+ Dx + Ey + F = 0
Ecuación General de la circunferencia
(x2 + Dx) + (y2 + Ey) = -F
Agrupación de términos semejantes
2
2
2
2
D 
D
E
E


y 
 F
x 
 
 
2
4
2
4




D 

x 

2 

 D E
C   , 
 2 2
2
E

  y 

2 

r
1
2

D
2
4

E
2
F
Completación
de cuadrados
4
D  E  4F
2
2
2
Si discriminante (r)  0  Circunferencia real
Si discriminante (r) = 0  Circunferencia es un punto
Si discriminante (r)  0  Circunferencia imaginaria
Ejemplo, Hallar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que
pasa por los puntos (-6,8), (2,2) y cuyo centro está sobre la recta
2x + y - 1 = 0
Solución:
y
P1(-6,8)
.
8
7
6
5
4
3
2
1
Si el centro (h,k) está sobre 2x + y - 1 =
0 entonces, (h, k) satisface la ecuación
de la recta:
.
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1
-2
.P (2,2)
2h + k - 1 = 0
2
1 2 3 4 5 6 7 8
(1)
x
-3
-4
-5
Como la circunferencia pasa por los puntos P(-6,8) y P’(2,2), entonces estos
puntos satisfacen la ecuación de la circunferencia: (x - h)2 + (y - k)2 = r2
Para P1(-6,8)
(-6-h)2 + (8-k)2 = r2
(2)
Para P2(2,2)
(2 - h)2 + (2-k)2 = r2
(3)
Igualando 2 y 3 queda
(-6-h)2 + (8-k)2 = (2-h)2 + (2-k)2
Ejemplo, Hallar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que
pasa por los puntos (-6,8), (2,2) y cuyo centro está sobre la recta
2x + y - 1 = 0
y
P1(-6,8)
.
8
7
6
5
4
3
2
1
.
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1
-2
.P (2,2)
2
1 2 3 4 5 6 7 8
x
-3
-4
-5
Resolviendo se consiguen los valores de h, k, y r
36 –12h + h2 + 64 – 16k + k2 = 4 – 16h + h2 + 4 – 4k + k2
36 –12h + h2 + 64 – 16k + k2 = 4 – 16h + h2 + 4 – 4k + k2
(0 = 92 + 16h -12k)/4
(4)
0 = 23 – 4h + 3 k
(4)
Ejemplo, Hallar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que
pasa por los puntos (-6,8), (2,2) y cuyo centro está sobre la recta
2x + y - 1 = 0
y
P1(-6,8)
.
C(-2,5)
.
8
7
6
5
4
3
2
1
.
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1
-2
.P (2,2)
2
1 2 3 4 5 6 7 8
x
-3
-4
-5
Resolviendo el sistema de ecuaciones entre
(1)
2h + k - 1 = 0
y
(2)
23 – 4h + 3 k = 0
queda: h = -2 y k = 5 Luego C = (-2,5)
Ejemplo, Hallar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que
pasa por los puntos (-6,8), (2,2) y cuyo centro está sobre la recta
2x + y - 1 = 0
y
P1(-6,8)
.
C(-2,5)
.
8
7
6
5
4
3
2
1
.
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1
-2
Nota: Puede observarse que la
circunferencia pasa por los puntos
dados: (-6,8), (2,2)
.P (2,2)
2
1 2 3 4 5 6 7 8
x
-3
-4
-5
Sustituyendo los valores de h y k en 3 (ó en 2), se obtiene r:
( 2   2  )  ( 2  5 )  r  r 
2
2
25  r  5
La ecuación de la circunferencia buscada es:
x  2 
2
  y  5   5 
2
2