Transcript Tangencias

EJERCICIOS DE
TANGENCIAS
Construcciones Elementales
Ejercicio Nº 1.- Trazar la circunferencia que sea tangente a una recta dada r y
a otra circunferencia en un punto A.
r
O
A
1.- El centro de la circunferencia tangente tiene que encontrarse en la recta que
determina el centro O y el punto A.
r
O
A
2.- Por el punto de tangencia A trazamos la recta tangente a la circunferencia dada, que corta
a la recta en el punto P. Los puntos de tangencia de las soluciones posibles T y T1, tienen
que cumplir que PA=PT=PT1.
r
P
O
A
3.- Con centro en el punto P y radio PA trazamos una arco de circunferencia que corta a la
recta en los puntos T y T1 que son los puntos de tangencia.
T1
r
P
T
O
A
4.- Por los punto de tangencia T y T1 trazamos las perpendiculares a la recta r que cortan a
la recta OA en los puntos O y O1 que son los centros de las circunferencias buscadas
tangentes a la recta y al circunferencia en el punto A.
T1
r
P
T
O
A
O1
O2
5.- Con centro en O y O1 trazamos las circunferencias buscadas tangentes a la recta y a la
circunferencia en el punto A.
T1
r
P
T
O
A
O1
O2
Ejercicio Nº 2.- Trazar las circunferencias que sea tangente a otra
circunferencia dada y pase por dos puntos A y B.
O
B
A
1.- El centro de las circunferencias tangentes tiene que encontrarse en la mediatriz de AB.
O
B
A
2.- La recta AB será el eje radical e de las circunferencias soluciones. Pues las
circunferencias solución se cortan en A y B.
e
O
B
A
3.- Hallamos el eje radical de la circunferencia dada y de las que pasan por los puntos A y B,
trazando una circunferencia auxiliar que pase por A y B y corte a la circunferencia dada
determinando el eje radical e1.
CR
e
O
B
A
e1
4.- Donde se cortan los ejes radicales e y e1 resulta el CR de las circunferencias. Por este
trazamos las tangentes a la circunferencia dada hallando los puntos de tangencia T y T1.
T1
CR
e
O
A
B
T
e1
5.- Unimos T y T1 con el centro de la circunferencia O y donde corten a la mediatriz de AB serán los centros
O1 y O2 de las circunferencias buscadas. Con centro en O1 y O2 trazamos las dos circunferencias
buscadas.
T1
O1
O
B
CR
e
A
O2
T
e1
Ejercicio Nº 3.- Trazar la circunferencia que sea tangente a una recta dada r y
a otra circunferencia en un punto A.
r
A
B
1.- Unimos el punto A con el B y determinamos el punto P que resulta el punto que
tiene la misma potencia respecto a las circunferencias buscadas.
r
P
A
B
2.- Como sabemos PA*PB=PT²=PT1².Por lo que PT resulta la media proporcional de PA y
PB. Por lo que hallamos la media proporcional de PA y PB, como vemos en la figura anexa.
r
P
A
B
T
A
P
B
3.- Con centro en el punto P y radio PT=PT1 trazamos una arco de circunferencia que corta a
la recta en los puntos T y T1 que son los puntos de tangencia.
T1
r
P
T
A
B
T
A
P
B
4.- Por los punto de tangencia T y T1 trazamos las perpendiculares a la recta r.
T1
r
P
T
A
B
T
A
P
B
5.- Trazamos la mediatriz del segmento AB.
T1
r
P
T
A
B
T
A
P
6.- Los puntos de intersección de las perpendiculares y la mediatriz puntos O y O1 que son
los centros de las circunferencias buscadas tangentes a la recta y que pasan por A y B.
T1
r
P
T
A
O1
O2
B
T
A
P
B
7.- Con centro en O y O1 trazamos las circunferencias buscadas tangentes a la
recta y que pasan por los puntos A y B.
T1
r
P
T
A
O1
O2
B
T
A
P
B
Ejercicio Nº 4.- Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas r y s
que se cortan en un punto V y que pasen por un punto P.
r
P
V
s
1.- Hallamos la bisectriz del ángulo que forman las rectas r y s.
r
P
V
s
2.- Trazamos una circunferencia cualquiera que sea tangente a las rectas r y s,
esta será homotética de las soluciones.
r
P
O
V
s
3.- Unimos el punto P dado con el vértice V.
r
P
O
V
s
4.- La recta anterior PV corta a la circunferencia en los puntos A y B, unimos estos con el
centro de la circunferencia O.
r
P
B
A
O
V
s
5.- Por el punto P trazamos paralelas a las rectas AO y BO que corta a la bisectriz del ángulo
en los puntos O1 y O2 que resultan los centros de las circunferencias solución.
r
P
B
O2
A
O
O1
V
s
6.- Hallamos los puntos de tangencia de las circunferencias solución con las rectas r y s; T,
T1, T2 y T3. Trazando desde O1 y O2 perpendiculares a las rectas r y s.
T
r
P
T1
B
O2
A
O1
O
V
T3
s
T4
7.- Con centro en O1 y O2 trazamos las circunferencias buscadas.
T
r
P
T1
B
O2
A
O1
O
V
T3
s
T4
Ejercicio Nº 5.- Dadas dos rectas r y s paralelas y dos puntos A y B sobre
ellas, enlazarlas con un arco que siendo tangente en A pase por B.
B
r
A
s
1.- Por el punto A trazamos una perpendicular a la recta s, pues el centro de la circunferencia
tangente en A tiene que estar sobre la perpendicular a la recta s en el punto de tangencia.
B
r
A
s
2.- Unimos el punto A con el B y hallamos la mediatriz que corta a la perpendicular a la recta
s por A en el punto O, que resulta el centro de la circunferencia buscada.
B
r
O
A
s
3.- Con centro en el punto O y radio OA=OB trazamos una arco de circunferencia que es
tangente en A y pasa por B.
B
r
O
A
s
Ejercicio Nº 6.- Dada una circunferencia c y una recta r enlazarlas por
la derecha con un arco de circunferencia que sea tangente en A y por
la izquierda con otro arco de radio 25 y que pase por B.
c
O
B
r
A
1º Caso
1.- Por A trazamos una perpendicular a la recta r.
c
O
B
r
A
2.- Sobre la perpendicular llevamos la distancia R y hallamos el punto A'.
c
R
O
r
A
R
B
A'
3.- Hallamos la mediatriz de OA' que corta a la perpendicular por A en el punto O1 centro del
arco buscado.
c
R
O
O1
r
A
R
B
A'
4.- Hallamos el punto de tangencia T y con centro en O1 trazamos el arco de circunferencia
buscada.
c
R
O
T
O1
r
A
R
B
A'
2º Caso
1.- Con centro en B trazamos un arco de circunferencia de radio 25.
c
R
O
T
O1
B
A
R
r
5
R2
A'
2.- Con centro en O trazamos otro arco de circunferencia de radio R +25. Que corta al arco
anterior en los puntos O2 y O3 que son los centros de los arcos buscados.
c
R
R +25
O
O2
T
O1
B
r
A
R
O3
5
R2
A'
4.- Hallamos los puntos de tangencia T2 y T3.
c
R
R +25
O
T3
O2
T
O1
T2
B
r
A
R
O3
5
R2
A'
5.- Con centro en O1 y O2 trazamos los arcos de circunferencia buscados.
c
R
R +25
O
T3
O2
T
O1
T2
B
r
A
R
O3
5
R2
A'
Ejercicio Nº 7.- Dibuja la pieza dada a escala 2:3, indicando los centros y los puntos de
tangencia de los diferentes arcos de enlace utilizados. Calcula y representa la escala
gráfica correspondiente.
R9
0
66
R10
8
4
R8
8
R2
04
1
Ø
R12
R3
56
0
2
R2
R22
8
R1
2
R1
60
2
Ø7
78
Determinación de la escala:
Tomamos una medida cualquiera por ejemplo la cota de 60,
vemos que mide 24mm.
E= 24/60=2/5
La Fig. esta dibujada a escala 2:5
R9
0
66
8
R10
4
R8
8
04
1
Ø
56
R12
R3
R2
0
2
R22
R2
8
R1
2
R1
2
60
Ø7
78
Determinamos la escala grafica de 2/3.
Trazamos una recta cualquiera y sobre la misma tomamos 2/3*100=66,6 mm que es el valor
de 100mm a dicha escala, se divide en 10 partes iguales y cada una de estas representa
10mm=1cm. Hallamos la contraescala y se divide la división 10mm en 10 partes iguales y
cada división representa1mm.
R9
0
66
8
R10
04
Ø1
56
R12
R3
8
R2
4
R8
0
R1
2
2
R1
R2
8
R22
2
Ø7
78
60
2/3*10=6,66mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1.- Dibujamos los ejes horizontal y los verticales a la escala correspondiente (de ahora en
adelante aplicaremos la escala a todas las medidas).
2.- Trazamos las circunferencias en los ejes.
8.6
.0
R8
52.0
40.0
R3
4.
6
R2
5.2
4.0
R2
R1
16.0
6.6
3.- Trazamos las paralelas como vemos al eje horizontal.
52.0
40.0
14.2
R3
2.8
4.- Enlazamos la recta con la circunferencia de radio 28, trazamos una paralela a 14.8mm y
una circunferencia de radio 18,6+14,8=32,8mm que determinan los centros tal como vemos,
unimos los centros con el centro de la circunferencia y obtenemos los puntos de tangencia y
trazamos perpendiculares a la recta y se obtienen los otros puntos. Trazamos los arcos de
enlace.
52.0
40.0
5.- Enlazamos la recta con la circunferencia de radio 38 y diámetro 102, trazamos una
paralela a 8mm y una circunferencia de radio 34,6,6+8=42,6mm que determinan los centros
tal como vemos, unimos los centros con los centros de las circunferencias y obtenemos los
puntos de tangencia y trazamos perpendiculares a la recta y se obtienen los otros puntos.
Trazamos los arcos de enlace.
8
8
2.6
R4
R4
4.
0
6.- Trazamos una circunferencia de radio 60 mm con centro en el punto de corte de los ejes a la
derecha, donde este arco corta al eje horizontal trazamos otro arco de radio 37,2 mm y donde
este corta al arco de circunferencia de radio 60, trazamos otro arco de radio 44mm.
R3
7.2
.0
0
R6
R12
.0
7.- Trazamos los ejes y con centro en la intersección trazamos dos arcos de circunferencia de
radios 6,6 y 12 mm.
R6
.6
8.- Trazamos con centro en O los arcos de circunferencia que enlacen los arcos anteriores.
O
9.- Unir las dos circunferencias del eje horizontal, determinamos la mediatriz del segmento que
determinan los centros, trazamos una circunferencia de centro en el punto medio del segmento y que
pase por los centros a continuación trazamos otra circunferencia de radio 34,6-25,2=9,4mm y centro
en el centro de la mayor que corta a la anterior unimos estos puntos con el centro y nos determina los
puntos de tangencia, por el otro centro trazamos una paralela a esta recta y obtenemos el otro punto
de tangencia. Trazamos la recta y tenemos el enlace.
.4
R9
O
R4
6.8
10.- Unir la circunferencias de la izquierda con el arco superior de la leva, determinamos la mediatriz
del segmento que determinan los centros, que es la misma que en el caso anterior y la circunferencia
igual a continuación trazamos otra circunferencia de radio 72-25,2=46,8mm y centro en el centro de
la mayor que corta a la anterior unimos estos puntos con el centro y nos determina los puntos de
tangencia, por el otro centro trazamos una paralela a esta recta y obtenemos el otro punto de
tangencia. Trazamos la recta y tenemos el enlace.
O
11.- Unimos ahora la circunferencia mayor con la circunferencia de la leva para ello con centro en O
trazamos un arco de circunferencia de radio 34,6+16=50,6mm y con centro en el punto superior
otro de 12 +16=28mm el punto de corte de ambos arcos es el centro del arco tangente
determinamos los punto de tangencia uniendo los centros. Trazamos el arco y tenemos el enlace.
R5
0.6
R28.0
O
12.- Así tiene que quedar el ejercicio.
Ejercicio Nº 8.- Reproduce la cuchara a escala 3:5, indicando los centros y los
puntos de tangencia. Calcula y dibuja la escala grafica correspondiente.
.
202
42
6
R2
R90
R3
4
R1
6
0
R2
1º.- Construimos la escala 3:5 en el triangulo universal de escalas tomamos la división
vertical numero 6 y construimos la contraescala aplicando el teorema de Thales.
1
2
3
4
5
6
Escala; 3/5=6/10
1
2 3
4
5
6 7
8
9
10
1
7
8
9
1
2º.- Trazamos los ejes aplicando a partir de ahora la escala correspondiente.
A
B
C
3º.- Trazamos las circunferencias de radios R16=R9.6, R34=R20.4 y R20=R12.
A
B
C
4º.- Determinamos el punto 1, punto medio de AB. Con centro en 1 trazamos un arco de
circunferencia de radio 1-A que corta a la de radio 16. Los puntos de corta son los puntos de
tangencias de las rectas que salen del punto B y son tangentes a esta.
A
1
B
C
5º.- Unimos B con los puntos de tangencia punto de intersección de las circunferencias y tenemos
las rectas tangentes.
A
1
B
C
6º.- Trazamos dos paralelas a las rectas anteriores a una distancia de 15.6 mm.
A
1
B
C
7º.-Trazamos una circunferencia de centro en B y radio 34+26 =60 que a escala 3:5 es de 36 mm.
que corta a las paralelas en los centros de los arcos de circunferencia tangentes a las rectas y a la
circunferencia.
A
1
B
C
8º.- Unimos los centros anteriores con el punto B y obtenemos los puntos de tangencia con la
circunferencia, a continuación trazamos perpendiculares a las rectas y obtenemos los otros
puntos de tangencia con las rectas.
A
1
B
C
9º.-Con centro en los puntos anteriores trazamos los arcos tangentes a la recta y a la
circunferencia.
A
1
B
C
10º.- Con centro en B trazamos un arco de circunferencia de radio 90-34= 56 mm, que es la
diferencia de R-r.
A
1
B
C
11º.- Con centro en C trazamos un arco de circunferencia de radio 90-20= 70 mm, que es la
diferencia de R-r1. Que se cortan con el anterior y obtenemos los centros de los arcos de las
circunferencias tangentes.
A
1
B
C
12º.- Unimos los puntos 4 y 5 con los centros B y C y obtenemos los punto de tangencia.
4
2
A
1
B
3
5
C
13º.- Con centro en el punto 4 y radio 4-9=4-8 trazamos un arco de circunferencia y con centro en el
punto 5 y radio 5-6=5-7 trazamos un arco de circunferencia, que son tangentes a las circunferencias
anteriores
4
2
6
7
A
1
B
C
9
3
8
5
14º.- Se borran los trozos de arcos y líneas que sobran y obtenemos la figura buscada.
4
2
6
7
A
1
B
C
9
3
8
5
Ejercicio Nº 9.- Dibuja la pieza dada a escala 2:3, indicando los centros y los puntos
de tangencia de los diferentes arcos de enlace utilizados. Calcula y representa la
escala gráfica correspondiente. No es necesario acotar pero si poner el rayado.
Utiliza el punto A como referencia.
Ø8
0
45
8
Ø3
R9
R2
0
R5
R98
90
R5
Ø2
8
R5
A
R2
0
2 orif. Ø20
A
1º.-Dibujamos la escala grafica y tomamos la escala 2/3.Para lo que construimos un triángulo
rectángulo de 10 cm de catetos y los dividimos como vemos, unimos el vértice superior con las
divisiones horizontales y por las divisiones verticales trazamos paralelas al cateto horizontal
igualamos 2/3=x/10 y obtenemos el valor de x=6,66 por 6,66 trazamos una paralela al cateto
horizontal y seguidamente construimos una contraescala, aplicando el teorema de Thales.
0
1
2
Escala; 2/3=6,66/10
3
4
5
6
6,66
1
7
2
3
4
5
6
7
8
9 10
1
8
9
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
2º.-Dibujamos los ejes vertical y horizontal que pasan por el punto A.
Ø8
0
45
8
Ø3
R9
R2
0
Ø2
R5
R98
90
R5
8
R5
A
R2
0
2 orif. Ø20
A
3º.-Trazamos un eje paralelo al horizontal a una distancia de 60mm y otro paralelo al vertical
a 30mm que determinan los punto B y C.
Ø8
0
45
8
Ø3
R9
R2
0
C
B
Ø2
R5
R98
90
R5
8
R5
A
R2
0
2 orif. Ø20
A
4º.-Con centro en los puntos A y C trazamos dos circunferencias de radio 6,6mm y 13,2mm,
en el B trazamos tres circunferencias de radios 9,3mm, 12,6mm y 26,6mm.
Ø8
0
45
8
Ø3
R9
R2
0
C
B
R5
R98
90
R5
Ø2
8
R5
A
R2
0
2 orif. Ø20
A
5º.-Con centro en A trazamos una circunferencia de radio 52mm y con centro en B otra de
radio 38,7mm que determinan el centro de la circunferencia de radio 98. Unimos este centro
con los A y B y obtenemos los puntos de tangencia. Con centro en este trazamos la
circunferencia tangente a las dos circunferencias de centros A y B.
Ø8
0
45
8
Ø3
R9
R2
0
C
B
8
R5
Ø2
R=
R5
R98
90
7
38.
=
2/3
40:
8
R9
5
/3=
0:2
-2
98
R5
2
A
R2
0
2 orif. Ø20
A
6º.-Trazamos una paralela al eje vertical a una distancia de 3,3mm y con centro en A
trazamos una circunferencia de radio 16,7. Con centro en B se traza una circunferencia de
radio 30mm que determinan los centros de los arcos de radio 5. Los puntos de tangencia se
determinan uniendo los centros y trazando perpendiculares a la recta.
Ø8
0
45
8
Ø3
R9
R2
0
C
B
7
8-
3.3
6.7
/3=1
:2
0+5
52
3=
:2/
20
98
R5
R=2
R9
R=
R5
R98
90
38.
=
2/3
40:
R=40+
5
:2/3=3
0
8
R5
Ø2
A
R2
0
2 orif. Ø20
A
5:2/3=1
6.7
7º.-Con centro en B trazamos una circunferencia de radio 30mm y con centro en C otra de radio
16,7mm que determinan los centros de las circunferencias de radio 5. Unimos los centros con los B y
C y obtenemos los puntos de tangencia. La recta tangente a las circunferencias de centros A y C
como su radio es igual, los puntos de tangencia son perpendiculares a la recta que une los centros,
por lo tanto por A y C trazamos una perpendicular a la recta A-C.
Ø8
R=20+
0
45
30.0
Ø3
R9
R=
8
40
+5
:2/
R2
0
3=
30
C
B
8
5:2/3=
3.3
.7
=16
:2/3
0+5
R=2
52
3=
:2/
0
-2
R5
R=40+
0
8-4
R9
98
R=
R5
R98
90
7
.
=38
:2/3
60.0
R5
30
Ø2
A
R2
0
2 orif. Ø20
A
8º.-El dibujo tiene que terminar de la siguiente forma.
Ø8
0
45
Ø3
R9
8
0
Ø2
8
R5
R98
90
R5
R5
A
0
2 orif. Ø20
R2
R2
A
Ejercicio Nº 10.- Dibuja la pieza dada a escala 1:2, indicando claramente los
centros y los puntos de tangencia de los diferentes arcos de enlace
utilizados. Calcula y representa la escala gráfica correspondiente. No es
necesario acotar pero si poner el rayado. Utiliza el punto A como referencia.
Ø3
6
0
R3
2
R1
0
R1
30°
4
R5
A
3
4 orif. Ø12
R1
125
R6
4
1º.-Dibujamos la escala grafica y tomamos la escala 1/2.Para lo que construimos un triángulo
rectángulo de 10 cm de catetos y los dividimos como vemos, unimos el vértice superior con
las divisiones horizontales y por las divisiones verticales trazamos paralelas al cateto
horizontal igualamos 1/2=x/10 y obtenemos el valor de x=5 por 5 trazamos una paralela al
cateto horizontal y seguidamente construimos una contraescala, aplicando el teorema de
Thales.
0
1
Escala; 1/2=5/10
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 1
6
7
8
9
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
2º.-Dibujamos los ejes vertical y horizontal que pasan por el punto A.
Ø3
6
R3
0
R1
2
4
0
R5
30°
4
A
4 orif. Ø12
3
R1
R1
125
R6
3º.-Trazamos un eje paralelo al horizontal a una distancia de 62,5mm y desde el
punto B dos ejes que formen 30º con el vertical.
Ø3
6
B
0
R3
2
R1
62.5
0
R1
30°
30°
4
R5
A
4 orif. Ø12
R1
3
125
R6
4
4º.-Con centro en el punto A trazamos un arco de circunferencia de radio 32mm.
Ø3
6
B
0
R3
2
R1
2.0
R3
0
R1
30°
4
R5
A
4 orif. Ø12
R1
3
125
R6
4
5º.-Con centro en A trazamos dos circunferencias de radio 3mm y 6,5mm con centro en B
otras dos de radio 9mm y 15mm y con centro en los puntos 1, 2 y 3 circunferencias de radio
3mm y con centro en los puntos 1 y 3 circunferencias de radio 5mm.
Ø3
6
B
0
R3
2
R1
1
0
R1
2
3
30°
4
R5
A
4 orif. Ø12
R1
3
125
R6
4
6º.-Con centro en los puntos 1 y 3 trazamos dos circunferencias de radio 32mm y con centro
en el punto A otra de radio 33,5mm, estas se cortan en los puntos 4 y 5. Unimos los centros
1 con 5 y 3 con 4, A con 5 y con 4 para determinar los punto de tangencia, con centro en 4 y
5 trazamos los arcos de circunferencia tangente a las otras.
Ø3
6
B
0
R3
2
R1
R6
3
1
0
R1
R3
3.5
30°
4
R5
3
0
4
2.
A
R3
5
4 orif. Ø12
R1
125
4
7º.-Con centro en B trazamos una circunferencia de radio 21mm y con centro en 1 y 3 otras de radio
11mm que determinan los centros de las circunferencias, como los arcos se cortan en los ejes los
puntos de tangencia también los determinan los ejes, con centro en los puntos de corte trazamos dos
arcos de circunferencia tangentes a las circunferencia.
B
Ø3
6
R11.0
R2
0
R3
1.0
R1
2
3
1
0
R1
A
30°
4
R5
4 orif. Ø12
R1
3
125
R6
4
8º.-Determinamos los puntos medios de los ejes 3-B y 1-B puntos 6 y 7, con centro en 6 y 7
trazamos una circunferencia que pase por el punto B. Con centro en B trazamos una
circunferencia de radio R-r=30-10/2=10mm unimos el punto B con los puntos de corte de las
circunferencias anteriores y determinamos los puntos de tangencia por 1 y 3 trazamos
paralelas y obtenemos los otros puntos que unidos obtenemos la recta tangente a las
circunferencias.
0.0
R1
B
Ø3
6
7
0
R3
2
R1
4
3
1
0
R1
A
30°
4
R5
4 orif. Ø12
R1
3
125
R6
6
9º.-El dibujo tiene que terminar de la siguiente forma.
Ø3
6
0
R3
2
R1
4
0
R1
A
30°
4
R5
3
4 orif. Ø12
R1
125
R6
Ø5
8
Ejercicio Nº 11.- Dibuja la pieza dada a escala 3:4, indicando los centros y los
puntos de tangencia de los diferentes arcos de enlace utilizados. Calcula y
representa la escala gráfica correspondiente. Toma el punto A como
referencia. No acotar.
Ø3
2
A
A
R100
75
R30
Ø5
0
8
Ø6
6 orif. Ø10
Ø5
8
Determinamos la escala grafica de 3/4.
Trazamos una recta cualquiera y sobre la misma tomamos 3/4*100=75 mm que es el valor de
100mm a dicha escala, se divide en 10 partes iguales y cada una de estas representa
10mm=1cm. Hallamos la contraescala y se divide la división 10mm en 10 partes iguales y
cada división representa1mm.
Ø3
2
A
A
R100
75
R30
Ø5
0
8
Ø6
6 orif. Ø10
3/4*100=75mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Ø5
8
1.- Dibujamos los ejes horizontales y el vertical a la escala correspondiente (de ahora en
adelante aplicaremos la escala a todas las medidas).
Ø3
2
A
A
R100
56.25
75
R30
Ø5
0
8
Ø6
6 orif. Ø10
3/4*100=75mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Ø5
8
2.- Trazamos las circunferencias en los ejes.
2
.0
Ø4
3.5
Ø2
4
Ø3
A
A
R100
75
R30
.0
1
Ø5
Ø5
0
8
Ø6
6 orif. Ø10
3/4*100=75mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Ø3
7.5
Ø5
8
3.- Trazamos los 6 orificios de las circunferencias de 50mm. Tomamos el radio de la circunferencia
y hacemos centro en los extremos del diámetro horizontal trazamos dos arcos que cortan a la
circunferencia y la dividen en 6 partes iguales, hacemos centro en cada uno de los centros y
trazamos las 6 circunferencias.
Ø3
2
A
A
R100
75
R30
Ø7
.
5
Ø5
0
8
Ø6
6 orif. Ø10
3/4*100=75mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Ø5
8
4.- Enlazamos las dos circunferencias por la parte interior de las mismas, para ello procedemos de la
forma siguiente hacemos centro en el punto A y al radio de la circunferencia le sumamos el radio del arco
21,8 + 22,5=44,3mm y trazamos un arco de este radio haciendo centro en el centro inferior trazamos otro
arco de la misma forma pero de radio 25,5 +22,5=48mm el punto de corte de los dos arcos resulta el
centro del arco de circunferencia enlace de las mismas el punto de tangencia resulta de unir los centros.
Ø3
2
.8
R21
A
A
R100
5
+22,
8
,
1
.3=2
R44
75
R30
R48
.0=2
5,5+
22,5
Ø5
0
8
Ø6
6 orif. Ø10
3/4*100=75mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
.5
5
R2
Ø5
8
5.- Enlazamos las dos circunferencias por la parte exterior de las mismas, para ello procedemos de la
forma siguiente hacemos centro en el punto A y al radio del arco le restamos el de la circunferencia 75 21,8=53,2mm y trazamos un arco de este radio haciendo centro en el centro inferior trazamos otro arco
de la misma forma pero de radio75 -25,5=49,5mm el punto de corte de los dos arcos resulta el centro del
arco de circunferencia enlace de las mismas el punto de tangencia resulta de unir los centros.
Ø3
2
A
A
R100
75
R30
.2
R53
1,8
5-2
7
=
R49.5
=75-2
5,5
Ø5
0
8
Ø6
6 orif. Ø10
3/4*100=75mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Ø5
8
6º.-El dibujo tiene que terminar de la siguiente forma.
Ø3
2
A
A
R100
75
R30
Ø5
0
8
Ø6
6 orif. Ø10
3/4*100=75mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Ejercicio Nº 12.- Dibuja la pieza dada en la figura, indicando claramente los
centros y los puntos de tangencia de los diferentes arcos de enlace
utilizados. Reproducir la figura a escala 3:5.No acotar. Calcula y representa la
escala gráfica correspondiente. Toma el punto A como referencia.
55
18
Ø
6
Ø3
Ø2
6
R24
2o
rif.
56
Ø8
0
R5
2
A
2
R11
46
75
A
R25
Ø30
4
Ø1
Determinamos la escala grafica de 3/5.
Trazamos una recta cualquiera y sobre la misma tomamos 3/5*100=60 mm que es el valor de
100mm a dicha escala, se divide en 10 partes iguales y cada una de estas representa
10mm=1cm. Hallamos la contraescala y se divide la división 10mm en 10 partes iguales y
cada división representa1mm.
55
Ø
6
Ø3
18
R24
56
Ø8
0
2o
rif.
Ø2
6
R5
2
A
A
2
R11
75
46
R25
Ø30
4
Ø1
3/5*100=60mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13
1.- Dibujamos los ejes horizontales y el vertical en el punto A.
55
Ø
6
Ø3
18
R24
56
Ø8
0
2o
rif.
Ø2
6
R5
2
A
A
2
R11
75
46
R25
Ø30
4
Ø1
3/5*100=60mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13
2.- Dibujamos el resto de los ejes trazando paralelas a los ejes anteriores a las medidas acotadas.
33.0
55
6
Ø
Ø3
18
Ø8
27.6
Ø2
6
33.6
rif.
R24
2o
56
0
R5
2
A
A
2
R11
75
46
45.0
R25
Ø30
4
Ø1
3/5*100=60mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13
3.- Dibujamos las circunferencias con centro en las intersecciones de los ejes correspondientes
con las medidas acotadas.
Ø1
0.8
55
6
Ø
Ø3
18
Ø8
R24
56
0
2o
rif.
Ø2
R5
2
6
5.6
Ø1
A
A
2
R11
75
46
4
Ø1
Ø4
8.0
R25
Ø30
Ø18
.0
3/5*100=60mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13
4
Ø8.
Ø2
1.6
4.- Unir las dos circunferencias por medio de una recta, determinamos la mediatriz del segmento que
determinan los centros, trazamos una circunferencia de centro en el punto medio del segmento y que
pase por los centros a continuación trazamos otra circunferencia de radio 24 -10,8=13,2mm y centro en
el de la mayor que corta a la anterior unimos estos puntos con el centro y nos determina los puntos de
tangencia, por el otro centro trazamos una paralela a esta recta y obtenemos el otro punto de tangencia.
Trazamos la recta y tenemos el enlace.
55
6
18
Ø
Ø3
Ø8
56
R24
2o
rif.
Ø
26
R13
.2
0
R5
2
A
2
R11
46
75
A
R25
Ø30
4
Ø1
Ø18
.0
3/5*100=60mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12 13
4
Ø8.
5.- Enlazamos las dos circunferencias por la parte interior de las mismas por un arco de circunferencia,
para ello procedemos de la forma siguiente hacemos centro en el punto A y al radio de la circunferencia
le sumamos el radio del arco 24 + 15=39mm y trazamos un arco de este radio, haciendo centro en el
centro inferior trazamos otro arco de la misma forma pero de radio 9 +15=24mm el punto de corte de los
dos arcos resulta el centro del arco de circunferencia enlace de las mismas el punto de tangencia
resulta de unir los centros.
55
Ø
6
Ø3
18
R24
56
Ø8
0
2o
rif.
Ø2
6
R5
2
A
2
R11
46
75
A
R25
Ø30
0
9.
R3
4
Ø1
.0
R24
Ø18
3/5*100=60mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13
.0
6.- Enlazamos las dos circunferencias por la parte interior de las mismas por un arco de circunferencia,
para ello procedemos de la forma siguiente hacemos centro en el punto A y al radio de la circunferencia
le sumamos el radio del arco 24 + 31,2=55,2mm y trazamos un arco de este radio, haciendo centro en
el centro superior trazamos otro arco de la misma forma pero de radio 10,8 +31,2=55,2mm el punto de
corte de los dos arcos resulta el centro del arco de circunferencia enlace de las mismas el punto de
tangencia resulta de unir los centros.
55
6
18
Ø
Ø3
R24
R5
2
R4
2.0
0
2o
rif.
Ø2
6
56
Ø8
A
2
R11
46
75
A
R25
Ø30
4
Ø1
Ø18
.0
3/5*100=60mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13
R55.2
7.- Enlazamos las dos circunferencias por la parte exterior de las mismas por un arco de circunferencia,
para ello procedemos de la forma siguiente hacemos centro en el punto A y al radio de la circunferencia
le sumamos el radio del arco 67,2 - 24=43,2mm y trazamos un arco de este radio, haciendo centro en el
centro inferior trazamos otro arco de la misma forma pero de radio 67,2 - 9=58,2mm el punto de corte
de los dos arcos resulta el centro del arco de circunferencia enlace de las mismas el punto de tangencia
resulta de unir los centros.
55
18
Ø
6
Ø3
R24
2o
rif.
56
Ø8
0
Ø2
R5
2
6
A
R11
46
2
75
A
R4
3.2
R25
Ø30
4
Ø1
2
R58.
3/5*100=60mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13
8.- Enlazamos las dos circunferencias del centro por la parte interior de las mismas por un arco de
circunferencia, como tienen el mismo radio y son simétricas con el eje vertical el centro del arco se
encontrara en el eje, para ello procedemos de la forma siguiente hacemos un arco de radio 14,4 +
7,8=22,2mm con centro en uno de los centros y con centro en el otro hacemos otro arco del mismo radio
el punto de corte de los dos arcos resulta el centro del arco de circunferencia enlace de las mismas el
punto de tangencia resulta de unir los centros.
55
18
Ø
6
Ø3
R24
56
Ø8
0
2o
rif.
Ø2
6
R5
2
A
2
R11
46
R22
.2
75
A
R25
Ø30
4
Ø1
3/5*100=60mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13
9.- El dibujo tiene que terminar de la siguiente forma.
55
18
Ø
6
Ø3
R24
2o
56
Ø8
0
rif.
Ø2
6
R5
2
A
2
R11
46
75
A
R25
Ø30
4
Ø1
3/5*100=60mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13
Ejercicio Nº 13.- Dibuja la pieza dada en la figura, indicando claramente los
centros y los puntos de tangencia de los diferentes arcos de enlace
utilizados. Reproducir la figura a escala 3:5.No acotar ni rayar. Calcula y
representa la escala gráfica correspondiente. Toma el punto A como
referencia.
65
4
Ø5
R70
R2
0
Ø2
4
20
45
R32
90
Ø
Ø
34
A
R3
0
A
Determinamos la escala grafica de 3/5.
Trazamos una recta cualquiera y sobre la misma tomamos 3/5*100=60 mm que es el valor de
100mm a dicha escala, se divide en 10 partes iguales y cada una de estas representa
10mm=1cm. Hallamos la contraescala y se divide la división 10mm en 10 partes iguales y
cada división representa 1mm.
65
4
R2
Ø5
R70
0
Ø2
4
20
Ø
45
90
R32
A
R3
Ø
34
0
A
3/5*100=60mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13
1.- Dibujamos los ejes horizontales y el vertical en el punto A.
65
4
Ø5
R70
R2
0
Ø2
4
20
Ø
45
90
R32
A
Ø
34
R3
0
A
3/5*100=60mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13
2.- Dibujamos el resto de los ejes trazando paralelas a los ejes anteriores a las medidas acotadas.
27
65
4
Ø5
R70
R2
0
Ø2
4
20
Ø
45
54
90
R32
39
A
Ø
34
R3
0
A
3/5*100=60mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13
3.- Dibujamos las circunferencias con centro en las intersecciones de los ejes correspondientes con
las medidas acotadas.
2.4
3
Ø
65
R1
2.0
4
Ø5
R70
R2
0
Ø2
4
2.0
1
Ø
20
Ø
45
90
R32
Ø1
4.4
A
Ø
34
R3
0
A
.4
20
Ø
3/5*100=60mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13
R1
8.0
4.- Unir las dos circunferencias por medio de una recta, determinamos la mediatriz del segmento que
determinan los centros, trazamos una circunferencia de centro en el punto medio del segmento y que
pase por los centros a continuación trazamos otra circunferencia de radio 18 -12=6mm y centro en el
de la mayor que corta a la anterior unimos estos puntos con el centro y nos determina los puntos de
tangencia, por el otro centro trazamos una paralela a estas rectas y obtenemos el otro punto de
tangencia. Trazamos la recta y tenemos el enlace.
65
4
Ø5
R12.
0
R70
R2
0
Ø2
4
20
Ø
45
90
R32
A
R18.0
Ø
34
R3
0
A
R6
=1
8
3/5*100=60mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13
-12
5.- Enlazamos una circunferencia con una recta, para ello procedemos de la forma siguiente
hacemos centro en el de la circunferencia y al radio de esta le sumamos el radio del arco 16.2 +
19.2=35,4mm y trazamos un arco de este radio, trazamos una paralela a la recta a una distancia de
19,2 mm el punto de corte del arco y la recta paralela resulta el centro del arco de circunferencia
enlace de las mismas, los puntos de tangencia resulta de unir los centros y el de la recta de trazar
una perpendicular desde el centro a la recta.
65
6.2
R1
4
Ø5
R70
R2
0
Ø2
R3
4
5.4
20
=1
Ø
2
90
R32
9,
+1
6,2
45
A
.2
19
Ø
34
R3
0
A
3/5*100=60mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13
6.- Enlazamos las dos circunferencias por la parte exterior de las mismas, por un arco de circunferencia,
para ello procedemos de la forma siguiente hacemos centro en el de una y al radio del arco le restamos
el radio de la circunferencia 42-12=30mm y trazamos un arco de este radio, haciendo centro en el otro
trazamos otro arco de la misma forma de radio 42-16,2=25,8mm el punto de corte de los dos arcos es
el centro del arco enlace de las mismas, los puntos de tangencia resulta de unir los centros de las
circunferencias y el del arco.
65
4
Ø5
R70
R2
0
6.2
R1
R1
2.0
Ø2
4
20
Ø
45
6,2
1
42
.8=
90
R32
R3
5
R2
A
Ø
34
R3
0
A
3/5*100=60mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13
0=
42-
12
7.- El dibujo tiene que terminar de la siguiente forma.
65
4
Ø5
R70
R2
0
Ø2
4
20
Ø
45
90
R32
A
Ø
34
R3
0
A
3/5*100=60mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13
Ejercicio Nº 14.- Aplicación de tangencias. Reproducir la pieza dada a escala
4:7, indicando los centros y los puntos de tangencia de los diferentes arcos
de enlace utilizados. No acotar. Calcula y representa la escala gráfica
correspondiente. Toma el punto A como referencia.
46
2 orif. Ø22
00
R1
R8
R8
R1
8
Ø8
0
Ø9
6
Ø4
6 orif. Ø10
120
A
62
R1
5
A
Determinamos la escala grafica de 4/7.
Trazamos una recta cualquiera y sobre la misma tomamos 4/7*100=57,13 mm que es el valor de 100mm
a dicha escala, se divide en 10 partes iguales y cada una de estas representa 10mm=1cm. Hallamos la
contraescala y se divide la división 10mm en 10 partes iguales y cada división representa 1mm.
46
2 orif. Ø22
00
R8
R8
R1
Ø9
6
Ø4
62
A
120
R1
5
R1
8
Ø8
0
6 orif. Ø10
4/7*100=57,13mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11 12 13
A
1.- Dibujamos los ejes horizontales y el vertical en el punto A.
46
2 orif. Ø22
00
R8
R8
R1
5
Ø9
6
Ø4
62
A
120
R1
R1
8
Ø8
0
6 orif. Ø10
4/7*100=57,13mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11 12 13
A
2.- Dibujamos el resto de los ejes trazando paralelas a los ejes anteriores a las medidas acotadas.
26.3
46
2 orif. Ø22
R8
R8
0
R1
0
R1
8
6 orif. Ø10
4/7*100=57,13mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11 12 13
69.3
A
Ø8
0
Ø9
6
Ø4
62
A
120
R1
5
3.- Dibujamos las circunferencias con centro en las intersecciones de los ejes correspondientes con
las medidas acotadas.
2.6
1
Ø
46
2 orif. Ø22
R8
0
25
.2
0
R1
Ø
R8
Ø8
0
Ø4
5.6
R1
8
6 orif. Ø10
4/7*100=57,13mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11 12 13
.2
0
R1
35.4
A
Ø5
.2
Ø9
6
Ø4
62
A
120
.6
R8
R1
5
4.- Dividimos la circunferencia de punto y raya en 6 partes iguales por el método del hexágono,
haciendo centro los extremos del diámetro vertical y con el radio de la circunferencia trazamos dos
arcos que nos dividen la circunferencia en 6 partes, hacemos centro y trazamos los 6 círculos de
diámetro el acotado.
46
2 orif. Ø22
Ø5
0
R8
R8
0
R1
Ø9
6
Ø4
62
A
A
R1
8
Ø8
0
6 orif. Ø10
120
R1
5
4/7*100=57,13mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11 12 13
.7
5.- Enlazamos una circunferencia con una recta, para ello procedemos de la forma siguiente
hacemos centro en el de la circunferencia y al radio de esta le sumamos el radio del arco 22,8 +
4,6=27,4mm y trazamos un arco de este radio, trazamos una paralela a la recta a una distancia de
4,6 mm el punto de corte del arco y la recta paralela resulta el centro del arco de circunferencia
enlace de las mismas, los puntos de tangencia resulta de unir los centros y el de la recta de trazar
una perpendicular desde el centro a la recta.
46
2 orif. Ø22
R2
R8
R8
0
R1
7.4
=2
2
.8+
4.6
0
Ø8
0
R1
8
6 orif. Ø10
A
4.6
Ø9
6
Ø4
62
A
120
R1
5
4/7*100=57,13mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11 12 13
6.- Enlazamos las dos circunf. por la parte interior de las mismas, con un arco de circunferencia, para
ello procedemos de la forma siguiente hacemos centro en el de la circunf. menor y al radio de esta le
sumamos el radio del arco 10,2+4,6=14,8mm y trazamos un arco de este radio, haciendo centro en el
de la mayor trazamos otro arco de 22,8+4,6=27,4mm el punto de corte de los dos arcos es el centro del
arco enlace de las mismas, los puntos de tangencia resulta de unir los centros de las circunferencias y
el del arco.
46
2 orif. Ø22
,6
+4
2
,
10
8=
.
4
R1
00
R8
R8
R1
,8+
4,6
R2
7.4
=2
2
R1
8
6 orif. Ø10
A
Ø8
0
Ø9
6
Ø4
62
A
120
R1
5
4/7*100=57,13mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11 12 13
7.- Enlazamos las dos circunferencias por la parte exterior de las mismas, por un arco de circunf, para
ello procedemos de la forma siguiente hacemos centro en el de una y al radio del arco le restamos el
radio de la circunf 57,1-10,2=46,9mm y trazamos un arco de este radio, haciendo centro en el otro
trazamos otro arco de igual radio que se tienen que cortar en el eje al ser la fig simétrica.
46
2 orif. Ø22
00
R1
R8
R8
R1
5
Ø9
6
Ø4
62
A
120
,2
10
1
7,
R1
8
Ø8
0
6 orif. Ø10
5
.9=
6
R4R46
.9
4/7*100=57,13mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11 12 13
=5
A
7,1
-10
,2
8.- El dibujo tiene que terminar de la siguiente forma.
46
2 orif. Ø22
00
R8
R8
R1
A
Ø9
6
Ø4
62
A
120
R1
5
R1
8
Ø8
0
6 orif. Ø10
4/7*100=57,13mm
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11 12 13
Ejercicio Nº 15.- Aplicación de tangencias. Reproducir la pieza dada a escala
2:3, indicando los centros y los puntos de tangencia de los diferentes arcos
de enlace utilizados. No hace falta acotar. Calcula y representa la escala
gráfica correspondiente.
6 orif.Ø6
60
44
28
R7
4
R10
2
R8
*
R2
5
R2
0
45°
30°
*
Determinamos la escala grafica de 2/3.
Trazamos un triángulo rectángulo de catetos 10cm y los dividimos como vemos en la fig igualamos
2/3= x/10 donde x=6,66cm=66,6mm se toma esa división horizontal y tenemos la escala 2/3, se
traza la contraescala para obtener los mm, tal como vemos.
0
1
2
Escala 2/3=6,66/10
3
4
5
Contraescala
6
E: 2/3
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.- Dibujamos los ejes horizontales y el vertical en el punto *.
6 orif.Ø6
60
44
28
*
R10
2
R8
R7
4
R2
5
R2
0
*
Ø4
0.0
2.- Dibujamos las circunferencias con centro en las intersecciones de los ejes
correspondientes con las medidas acotadas.
6 orif.Ø6
60
Ø29
44
28
*
R2
2
R8
*
R10
R7
4
5
.2
8.6
1
Ø
R2
0
3.- Dividimos la circunferencia de punto y raya en 6 partes iguales por el método del hexágono,
haciendo centro los extremos del diámetro vertical y con el radio de la circunferencia trazamos dos
arcos que nos dividen la circunferencia en 6 partes, hacemos centro y trazamos los 6 círculos de
diámetro el acotado.
6 orif.Ø6
60
44
28
2
R8
*
R7
4
R2
5
R10
Ø4.0
R2
0
45°
30°
*
4.- Trazamos los dos ejes con ángulos de 30º y 45º como se ve en la fig.
6 orif.Ø6
60
44
28
*
R7
4
R10
2
R8
*
R2
5
R2
0
45°
30°
45°
30°
5.- Trazamos el eje de radio 49,2 mm que corta a los dos anteriores.
6 orif.Ø6
60
44
28
*
R7
4
R10
2
R8
*
R2
5
R2
0
9.2
30°
R4
45°
6.- Con centro en las intersecciones anteriores trazamos dos circunferencias de radios 6,6mm y
13,2mm respectivamente.
6 orif.Ø6
60
44
28
*
R7
4
5
R2
0
30°
6
45°
R6.
R10
2
R8
*
R2
R13.2
7.- Con centro en el punto del * trazamos los arcos de circunferencia tangentes a las circunferencias
anteriores.
6 orif.Ø6
60
44
28
R7
4
5
R10
2
R8
*
R2
R2
0
45°
30°
*
8.- Enlazamos las dos circunf. por la parte interior de las mismas, con un arco de circunferencia, para
ello procedemos de la forma siguiente hacemos centro en el de la circunf. menor y al radio de esta le
sumamos el radio del arco 13,2+16,6=29,8 mm y trazamos un arco de este radio, haciendo centro en el
de la mayor trazamos otro arco de 20+16,6=36,6 mm el punto de corte de los dos arcos es el centro del
arco enlace de las mismas, los puntos de tangencia resulta de unir los centros de las circunferencias y
el del arco.
R36
.6=
20+
6 orif.Ø6
60
16,
6
44
28
6
2+1
,6
R10
R7
4
5
R2
0
45°
13,
.8=
R29
2
R8
*
R2
30°
*
9.- Enlazamos las dos circunf. por la parte exterior de las mismas, por un arco de circunf, para ello
procedemos de la forma siguiente hacemos centro en la mayor y al radio del arco le restamos el radio
de esta circunf 54,6-20=34,6mm y trazamos un arco de este radio, haciendo centro en la menor y al
radio del arco le restamos el radio de la circunf 54,6-13,2=41,4mm y trazamos un arco de este radio que
se cortan, los puntos de tangencia resulta de unir los centros de las circunf y el del arco.
6 orif.Ø6
60
44
28
R7
4
30°
20
4,6
-
45°
3,2
=5
R2
0
R4
1.4
=54
,6-1
R3
4.6
R10
*
2
R8
*
R2
5
10.- El dibujo tiene que terminar de la siguiente forma.
6 orif.Ø6
60
44
28
R7
4
R10
2
R8
*
R2
5
R2
0
45°
30°
*