CÓNICAS 1

CÓNICAS

• SUPERFICIE CÓNICA. CORTES CON UN PLANO • UN POCO DE HISTORIA • LA CIRCUNFERENCIA • LA ELIPSE • LA HIPÉRBOLA • LA PARÁBOLA • PARA QUÉ SE UTILIZAN LAS CÓNICAS (enlace) • EJERCICIOS (Enlace) • ENLACES CÓNICAS 2

SUPERFICIE CÓNICA - CORTES CON PLANOS

e Al girar una recta g (generatriz) alrededor de otra no paralela a ella e (eje) obtenemos una superficie cónica.

Si una superficie cónica se corta por planos en diferentes posiciones, se obtienen las curvas que se llaman cónicas : Elipse Circunferencia Parábola Hipérbola CÓNICAS 3

UN POCO DE HISTORIA

Cuando en el siglo III a. de C. Apolonio descubrió las cónicas, estaba muy lejos de imaginar que dichas curvas se ajustaban a los movimientos de los cuerpos celestes. Durante muchos siglos se consideró que las órbitas de los planetas eran circulares. Fue a comienzos del siglo XVII cuando Kepler enunció sus importantes leyes, una de las cuales asigna órbitas elípticas a dichos cuerpos. Sólo un siglo antes, Copérnico había dado al traste con la concepción geocéntrica del universo, haciendo ver que era la tierra la que giraba alrededor del Sol.

Otras aplicaciones de las cónicas

Las Cónicas como lugar geométrico

Elipse

es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ (llamados focos) es constante.

La

Circunferencia

es un caso particular de elipse (F coincide con F’)

Hipérbola

es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F’ (llamados focos) es constante .

Parábola

es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F (llamado foco) y de una recta llamada directriz .

CÓNICAS 5

LA CIRCUNFERENCIA

• DEFINICIÓN • GENERACIÓN • CARACTERÍSTICAS • ECUACIÓN REDUCIDA • CIRCUNFERENCIA TRASLADADA • POSICIÓN RELATIVA DE RECTA Y CIRCUNFERENCIA • POSICIÓN RELATIVA DE DOS CIRCUNFERENCIAS • POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA • EJE RADICAL CÓNICAS 6

LA CIRCUNFERENCIA

ECUACIÓN REDUCIDA geogebra Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado distancia r que llamaremos radio .

centro una x r P(x,y) y

P(x, y)

 

d(P,O)



r

  2  r  x 2  y 2 2   r 2 Ecuación reducida de la circunferencia x 2  y 2  r 2 Ecuación de la circunferencia de centro (0,0) y radio r CÓNICAS 7

LA CIRCUNFERENCIA

Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro una distancia r que llamaremos radio .

 

P(x, y)

  x  a     

d(P,C)



r

 2  r y  b  2  2  r 2  2  r 2 Ecuación de la circunferencia de centro (a,b) y radio r y b C(a,b) a r x-a P(x,y) y-b x x 2  2ax  a 2  y 2  Tambien:  2  r 2 x 2  y 2  0 A   2a B   2b C  a 2  b 2  r 2 CÓNICAS 8

LA ELIPSE

• DEFINICIÓN • GENERACIÓN • CARACTERÍSTICAS • ECUACIÓN REDUCIDA • ELIPSE TRASLADADA • EXCENTRICIDAD CÓNICAS 9

LA ELIPSE. ECUACIÓN REDUCIDA

geogebra

Elipse

es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) (llamados focos) es constante (2a).

P(x,y)

P(x, y)



d(P,F')



d(P,F)



2a

a b a   2  y 2    2  y 2  2a F’ c F   2  y 2  2a    2  y 2  x  c  2  y 2  2  2a   x  c  2  y 2 2 x 2  2  y 2  4a 2  4a  4a  2 a b 2 2  2  y 2  4a 2  4cx a 2  a 2  x 2  c 2   2cx x 2   2  c 2 2 2    y 2  a 2  a 4  a 2 2   c 2   2 a b 2 2  1   2  y 2  x 2   a   x  c  2 2   y 2 2 y 2  2 x 2  b a a 2   a 2  cx  2 y b 2 2  1

a

2 

c

c 2 

b

2 Ecuación reducida de la elipse CÓNICAS 10

LA ELIPSE. CARACTERÍSTICAS

Elipse

es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) de (llamados focos) es constante ( 2a ).

d(P,F')  d(P,F)  2a B(0,b) x 2  y 2  1 a 2 b 2 a a b Centro: C(0,0) Ecuación reducida de la elipse A’(-a,0) F’(-c,0) C(0,0) c F(c,0) A(a,0) Focos: F(c,0) y F’(-c,0) Vértices: A(a,0), A’(-a,0), B(0,b) y B’(0,-b) b a B’(0,-b) a  c a  b a 2  c 2  b 2 Eje mayor: Eje menor: |AA’|=2a |BB’|=2b Ecuación eje mayor: Ecuación eje menor: y=0 x=0 NOTA: Los focos siempre están en el eje mayor c Excentricidad: e=c/a (e<1) CÓNICAS 11

EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE

x 2 a 2  y b 2 2  1 Ecuación reducida de la elipse Excentricidad de la elipse: e  c a

e = 0 e = 1 0 < e < 1

c=0 , es decir, los focos coínciden: Se trata de una CIRCUNFERENCIA c=a , es decir, los focos coínciden con los vértices: Se trata de un SEGMENTO c < a : Se trata de una ELIPSE propiamente dicha CÓNICAS 12

b

LA ELIPSE. CARACTERÍSTICAS

Elipse

es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F(0,c) y F’(0,-c) (llamados focos) es constante (2a).

d(P,F')  d(P,F)  2a A(0,a) a F(0,c) c x 2 b 2  y a 2 2  1 Ecuación reducida de la elipse B’(-b,0) Centro: C(0,0) b C(0,0) B(b,0) Focos: F(0,c) y F’(0,-c) a Vértices: A(0,a), A’(0,-a), B(b,0) y B’(-b,0) F’(0,-c) A’(0,-a) Eje mayor: Eje menor: |AA’|=2a |BB’|=2b Ecuación eje mayor: x=0 NOTA: El eje mayor en este caso está en el eje OY a c a  c

a

2 

c

2 a  b 

b

2 Ecuación eje menor: Excentricidad: e=c/a y=0 CÓNICAS 13

ELIPSE TRASLADADA (Ejes paralelos a los ejer de coordenadas)

Elipse

es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ (llamados focos) es constante (2a).

B(x 0 ,y 0 +b) b A’(x 0 -a,y 0 ) F’(x 0 -c,y 0 ) C(x 0 ,y 0 ) c a A(x F(x 0 +c,y 0 ) 0 +a,y 0 ) O B’(x 0 ,y 0 -b)  x  x 0 a 2 y  y 0  2 b 2  1 Ecuación de una elipse de C(x 0 ,y 0 ) y ejes paralelos a los ejes de coordenadas Centro: Focos: C(x 0 ,y 0 ) F(x 0 +c,y 0 ) y F’(x 0 -c,y 0 ) Vértices: Eje mayor: Eje menor: A(x 0 +a,y 0 ), A’(x 0 -a,y 0 ), B(x 0 ,y 0 +b) y |AA’|=2a B’(x 0 ,y 0 -b) |BB’|=2b Ecuación eje mayor: y=y 0 Ecuación eje menor: x=x 0 Excentricidad: e=c/a CÓNICAS 14

LA HIPÉRBOLA

• DEFINICIÓN • GENERACIÓN • CARACTERÍSTICAS • ECUACIÓN REDUCIDA • HIPÉRBOLA TRASLADADA • EXCENTRICIDAD DE UNA HIPÉRBOLA • HIPÉRBOLA EQUILÁTERA CÓNICAS 15

LA HIPÉRBOLA.

ECUACIÓN REDUCIDA geogebra

Hipérbola

es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y focos) es constante ( 2a ).

F’(-c,0) (llamados

P(x,y)

P(x, y)

 

2a

  2  y 2    2  y 2  2a   2  y 2  2a   x  c  2  y 2  2  2a    2  y 2 2  x  c  2  y 2 x 2  2  y 2  4a 2  4a 4cx  4a 2  4a   2  y 2  c 2 2   a 2  x 2   a 4 2   a 2 a 2  x  c 2 2   2cx a 2   c 2  y 2  2 a b 2 2 2  2   2 a b 2 2  1 2   2  y 2  x 2   cx  a 2  2 2    a  y 2  x  c  2  y 2  2 x a 2 2  y b 2 2  1 Ecuación reducida de la hipérbola CÓNICAS 16

LA HIPERBOLA. CARACTERÍSTICAS

Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) de (llamados focos) es constante ( 2a ).

 2a B(0,b) b c x 2 a 2  y b 2 2  1 c  a Ecuación reducida de la hipérbola F’(-c,0) A’(-a,0) C(0,0) a A(a,0) F(c,0) b a c B’(0,-b) c  a c 2  a 2  b 2 Centro: C(0,0) Focos: F(c,0) y F’(-c,0) Vértices: Eje real: A(a,0), A’(-a,0), B(0,b) y |AA’|=2a Eje imaginario: Ecuación eje real: |BB’|=2b y=0 B’(0,-b) NOTA: Los focos siempre están en el eje real Ecuación eje imaginario: x=0 Excentricidad:

Asíntotas:

y e=c/a   b a x (e>1) CÓNICAS 17

EXCENTRICIDAD DE LA HIPÉRBOLA

x 2 a 2  y b 2 2  1 Ecuación reducida de la hipérbola Excentricidad de la hipérbola: e   a 1 excentricidad  semidis tancia focal semieje real

e = 1 e > 1

c=a , es decir, los focos coínciden con los vértices: Se trata de dos SEMIRRECTAS c > a : Se trata de una HIPÉRBOLA propiamente dicha CÓNICAS 18

LA HIPÉRBOLA. CARACTERÍSTICAS

Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(0,c) y F’(0,-c) (focos) es constante.

F(0,c) y 2 a 2  x b 2 2  1 Ecuación reducida de la hipérbola B’(-b,0) c b a A(0,a) C(0,0) A’(0,-a) B(b,0) F’(0,-c) b a c c  a c 2  a 2  b 2 Centro: C(0,0) Focos: F(0,c) y F’(0,-c) Vértices: Eje real: A(0,a), A’(0,-a), B(b,0) y |AA’|=2a Eje imaginario: Ecuación eje real: |BB’|=2b x=0 B’(-b,0) NOTA: Los focos siempre están en el eje real Ecuación eje imaginario: y=0 Excentricidad:

Asíntotas:

y   e=c/a a x b (e>1) CÓNICAS 19

HIPÉRBOLA TRASLADADA (Ejes paralelos a los ejer de coordenadas)

Y B(x 0 ,y 0 +b) F’(x 0 A’(x 0 -a,y 0 ) b -c,y 0 ) a C(x 0 ,y 0 ) c A(x 0 +a,y 0 ) F(x 0 +c,y 0 ) O B’(x 0 ,y 0 -b) X  x  x 0 a 2 y  y 0  2 b 2  1 Ecuación de una hipérbola de C(x 0 ,y 0 ) y ejes paralelos a los ejes de coordenadas Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F’ es constante.

Centro: Focos: C(x 0 ,y 0 ) F(x 0 +c,y 0 ) y F’(x 0 -c,y 0 ) Vértices: A(x 0 +a,y 0 ), A’(x 0 -a,y 0 ), B(x 0 ,y 0 +b) y |AA’|=2a B’(x 0 ,y 0 -b) Eje real: Eje imaginario: Ecuación eje real: |BB’|=2b y=y 0 Ecuación eje imaginario: x=x 0 Excentricidad:

Asíntotas:

y  y 0 e=c/a   b a  x  x 0  CÓNICAS 20

HIPÉRBOLA EQUILÁTERA

CÓNICAS 21

LA PARÁBOLA

• DEFINICIÓN • GENERACIÓN • CARACTERÍSTICAS • ECUACIÓN REDUCIDA • PARÁBOLA TRASLADADA CÓNICAS 22

LA PARÁBOLA. ECUACIÓN REDUCIDA

Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo una recta llamada F(p/2,0) directriz (x=-p/2) .

(foco) y de (2a).

P(x, y)



d(P,F)



d(P,r)

x   p 2 p   x  p 2 2  y 2    x  p 2   2  y 2   2 x  p 2 p 2 2

V(0,0)

F   p ,0 2   El parámetro p nos da la distancia del foco a la directriz.

x 2  px  p 2 4  y 2  x 2  px  p 2 4 y 2  2px Ecuación reducida de la parábola Vértice (0,0) y eje OX CÓNICAS 23

LA PARÁBOLA. CARACTERÍSTICAS

Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F(p/2,0) (foco) y de una recta llamada directriz (x=-p/2) .

).

y 2  2px Ecuación reducida de la parábola x   p 2 p

V(0,0)

F   p ,0 2   eje Foco: Vértice: F   p ,0 2  

V(0,0)

Eje : y=0 Directriz: Parámetro: x   p 2 p>0 El parámetro p nos da la distancia del foco a la directriz.

CÓNICAS 24

p  0 y 2  2px y 2  2px Foco: Vértice: F   p 2 ,0  

V(0,0)

Eje : Directriz: y=0 x   p 2 p  0 y 2  2px p  0 x 2  2py 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés x 2  2py Foco: Vértice: Eje : Directriz:   p F 0,  2  

V(0,0) x=0

y   p 2 p  0 x 2  2py CÓNICAS 25

Y O

LA PARÁBOLA TRASLADADA

Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F (foco) y de una recta llamada directriz .

d(P,F)



d(P,r)

x  x 0  p 2 P(x, y)

V(x 0 ,y 0 )

  0  p 2 , y 0   Foco: Vértice: 0  p 2 , y 0

V(x 0 ,y 0 )

Eje : Directriz: y=y 0 x  x 0  p 2 Parámetro: p>0 El parámetro p nos da la distancia del foco a la directriz.

 y  y 0  2   x 0  Ecuación de una parábola de eje paralelo al eje OX CÓNICAS 26

CIRCUNFERENCIA ELIPSE HIPÉRBOLA PARÁBOLA CÓNICAS 27

• Las cónicas están presente en la naturaleza y también en los inventos del hombre. Por ejemplo las trayectorias que describen el planeta Tierra, el famoso cometa Halley son de forma elíptica. Las antenas parabólicas y las ópticas de los automóviles fueron ideadas con esa forma para utilizar las propiedades de las parábolas, teniendo en cuenta que las ondas y rayos se concentran en el foco, y esto permite un mayor aprovechamiento de los mismos. Es por esto que nos parece importante aprender este tema, ya que esto nos muestra que la matemática está presente y se puede aplicar en la vida cotidiana. CÓNICAS 28

ENLACES

• • • • DE TODO.

TEORIA Y EJERCICIOS: http://personales.unican.es/gonzaleof/ http://soko.com.ar/index.htm

• • • • • • • • CÓNICAS: FLASH: http://perso.wanadoo.es/j.antonio_cuadrado/ http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/ http://www.rena.edu.ve/CuartaEtapa/Matematica/tema6/tema6b.html

http://almez.pntic.mec.es/~aberho/conicas/resumen.htm

http://www.dmae.upct.es/~pepemar/conicas/index.htm

http://www.fcen.uba.ar/museomat/maquinas.htm

• • • • • Con Geogebra: http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/conicas.htm

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/Lugares_geometricos_conicas/index.htm

http://soko.com.ar/matem/matematica/Conicas.htm

http://www.revista.dominicas.org/conicas.htm

Con cABRI: http://paraisomat.ii.uned.es/paraiso/cabri.php?id=indice CÓNICAS 29

• http://images.google.es/imgres?imgurl=http://www.xtec.es/~cgarci38/tecnologia/construccions/gaudi12.JPG&imgr efurl=http://www.xtec.es/~cgarci38/tecnologia/construccions/gaudi1.htm&h=210&w=364&sz=20&hl=es&start=68& um=1&tbnid=aoKTWiBZHOLGQM:&tbnh=70&tbnw=121&prev=/images%3Fq%3Dhiperbola%26start%3D60%26n dsp%3D20%26svnum%3D10%26um%3D1%26hl%3Des%26client%3Dfirefox-a%26rls%3Dorg.mozilla:es ES:official%26sa%3DN http://images.google.es/imgres?imgurl=http://thesaurus.maths.org/mmkb/ media/vrml/thumbnails/hiperbola.gif&imgrefurl=http://thesaurus.maths.or

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