Transcript Tema_10.-_La_Elipsex
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(h,k)
k
h
x h 2
a2
2
y k
1
b2
(h,k)
k
h
x h 2
b2
2
y k
1
a2
A(0,b)
V’(-a,0)
F’(-c,0)
P(x,y)
c
F(c,0)
A’(0,-b)
y = -b
V(a,0)
l
x=a
y=b
x = -a
l’
l’
L
V’
P
F’
L’
B
A DE
c
B’
D’ A’
L
F
L’
V
E’
l
Slide 2
eje normal
DEFINICIÓN: La ELIPSE es el lugar geométrico de un punto que se
mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos
puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la
distancia entre los dos puntos. l’
V’
F’
eje mayor
eje menor
P
A
c
V eje focal
F
A’
•Los puntos fijos se llaman focos F y F’ de la Elipse.
•La recta l es el eje focal (pasa por los focos)
•Los vértices V y V’ están sobre l o el eje focal
•El punto medio del segmento que une los focos es el centro
•El segmento VV’ es el eje mayor
•La recta l’ que pasa perpendicular a l por c es el eje normal
•El eje normal corta a la elipse en dos puntos A y A’
•El segmento AA’ es el eje menor
l
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V’
B’
E
A D
L
eje mayor
F’
L’
B
D’
eje menor
L
P
eje normal
DEFINICIÓN: La ELIPSE es el lugar geométrico de un punto que se
mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos
puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la
distancia entre los dos puntos. l’
c
V eje focal
F
l
E’
L’
A’
•El segmento BB’ es una cuerda: une dos puntos cualquiera de la elipse.
•Una cuerda que pasa por un foco (EE´)es una cuerda focal
•Una cuerda focal que pasa perpendicular al eje focal l (LL´), se llama lado
recto. Por lo que tiene 2 lados rectos.
•Una cuerda que pasa por el centro (DD´)se llama diámetro.
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La ELIPSE es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de
de la
en el Origen
Y Eje
Focal
quede
coincide
con es
X
tal Ecuación
manera que
laElipse
suma de
de Centro
sus distancias
a dos
puntos
fijos
ese plano
siempre igual a una constante, mayor
l’ que la distancia entre los dos
puntos.
P(x,y)
V’
F’(-c,0)
F(c,0)
FP PF´ 2c
FP PF 2a
(1)
donde 2a es mayor que 2c
x c 2 y 2 x c 2 y 2
2
x c y 2a
2
l
Los segmentos FP y F’P que unen los focos
con el punto P son los radios vectores de P
si a c
V
2
Sustitución de las distancias en 1
2a
x c y
2
2
2
Se elevan ambos miembros al
cuadrado
x c y 4a x c y 4a x c y
x c2 x c2 4a 2 4a x c2 y 2
2
4cx 4a 2 4a x c y 2
Se divide entre 4 toda la expresión
2
2
2
2
2
2
2
Se resuelve y se pasa
la raíz cuadrada a un
lado de la ecuación
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Ecuación de la Elipse de Centro en el Origen Y Eje Focal que coincide con X
l’
P(x,y)
V’
F’(-c,0)
cx a a x c y
cx a a x c a y
2
2
2 2
2
2
F(c,0)
2
Se elevan ambos miembros al cuadrado
resolviendo
c 2 x 2 2a 2cx a 4 a 2 x 2 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2
a 2c 2 a 4 a 2 x 2 c 2 x 2 a 2c 2 a 2 y 2
a
2
l
2
2
2
V
c2 x2 a2 y 2 a2 c2 a2
Reduciendo
términos semejantes
factorizando
Como 2a 2c a 2 c 2 a 2 c 2 es positivo, de manera que
se puede usar a b 2 a 2 b 2 , sustituyen do a b 2en la ecuación queda :
b2 x2 a 2 y 2 b2a 2
x2
y2
2 1
2
a
b
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ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE
x2
y2
2 1
2
a
b
V’(-a,0)
l’
A(0,b) .
P(x,y)
F’(-c,0)
F(c,0)
V(a,0)
l
.A’(0,-b)
Cortes con los ejes
Cuando y=0 , las intersecciones con el eje X son en los puntos (V
y V’) cuyas coordenadas en X son a y –a
Por tanto, V(a,0) y V’(-a,0)
Longitud del eje mayor = 2a
Cuando x=0 , las intersecciones con el eje Y son en los puntos
(A,A’) cuyas coordenadas en Y b y -b
Por tanto, A(0,b) y A’(0,-b)
Longitud del eje menor = 2b
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ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE
x = -a
l’
V’(-a,0)
A(0,b) .
P(x,y)
F’(-c,0)
F(c,0)
l
x=a
.A’(0,-b)
V(a,0)
Nota: La elipse es simétrica respecto de los ejes y
2
el origen. Si de
2
x
y
2 1, se despeja y queda
2
a
b
x2 2
b2 2
b 2
2
2
y 1 2 b
a
x
y
a
x
2
a
a
a
en donde - a x a
(1)
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ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE
y=b
V’(-a,0)
A(0,b) .
P(x,y)
F’(-c,0)
y = -b
F(c,0)
.A’(0,-b)
V(a,0)
x=a
x = -a
l’
Despejando x queda :
x
a 2 2
b y , en donde - b y b (2)
b
De 1 y 2 se desprende:
x = -a
x=a
y = -b
y=b
Estas rectas encierran a la elipse
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ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE
x = -a
l’
V’(-a,0)
A(0,b) .
P(x,y)
F’(-c,0)
y = -b
F(c,0)
.A’(0,-b)
V(a,0)
x=a
y=b
Como la abscisa del foco es c, sustituyéndolas en la ecuación,
encontramos el valor de la ordenada en el foco:
b 2
y
a x2
a
b 2 2
sustituyen do c queda : y
a c
a
2
pero como a 2 c 2 b 2 , entonces y
b
a
De esta manera , la Longitud del Lado Recto para ambos focos, F y F’ es:
2b 2
LR
a
La Excentricidad (e) es la razón de c/a, entonces:
c
a2 b2
e
a
a
Como c < a, entonces la excentricidad de una elipse es e < 1
e = 1 Parábola
e < 1 Elipse
e > 1 Hipérbola
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PRIMERA ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE
x2 y2
2 1
2
a
b
y
x2 y 2
2 1
2
b
a
Donde:
a = longitud del semieje mayor
b = longitud del semieje menor
TEOREMA: La ecuación de una Elipse de centro en el origen, eje focal
el eje x, distancia focal igual a 2c y la cantidad constante igual a 2a, es:
x2
y2
2 1
2
a
b
Si el eje focal coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de
los focos son (0,c) y (o,-c), la ecuación de la Elipse es:
x2
y2
1
2
2
b
a
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PRIMERA ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE
x2 y2
2 1
2
a
b
y
x2 y 2
2 1
2
b
a
Donde:
a = longitud del semieje mayor
b = longitud del semieje menor
Para cada Elipse, a es la longitud del semieje mayor, b la del semieje
menor, y a, b, c están ligados por la ecuación:
a2 = b 2 + c 2
También, para cada elipse, la longitud de cada lado recto es
2b 2
LR
a
y la excentricidad e está dada por la fórmula:
c
a 2 b2
e
1
a
a
Nota: En la ecuación de una elipse en forma canónica, comparamos los
denominadores de los términos x2 y y2. El denominador mayor está asociado a la
variable correspondiente al eje coordenado con el cual coincide el eje mayor de la
Elipse.
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ECUACIÓN DE LA ELIPSE DE CENTRO (h,k).
Segunda ecuación ordinaria.
(h,k)
k
h
x h
2
a
2
y k
2
b
2
1
2b
LR
a
(h,k)
k
b
2
2
y k
a
2
c
a 2 b2
e
1
a
a
h
x h 2
2a: eje mayor
2b: eje menor
c: distancia del
centro a cada foco
a, b y c a2 = b2 + c2
2
1
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TEOREMA: Si los coeficientes A y C son del mismo signo, la
ecuación
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Representa una elipse de ejes paralelos a los coordenados, o
bien un punto, o no representa ningún lugar geométrico real.
(h,k)
k
h
x h 2
a2
2
y k
1
b2
(h,k)
k
h
x h 2
b2
2
y k
1
a2
A(0,b)
V’(-a,0)
F’(-c,0)
P(x,y)
c
F(c,0)
A’(0,-b)
y = -b
V(a,0)
l
x=a
y=b
x = -a
l’
l’
L
V’
P
F’
L’
B
A DE
c
B’
D’ A’
L
F
L’
V
E’
l
Slide 2
eje normal
DEFINICIÓN: La ELIPSE es el lugar geométrico de un punto que se
mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos
puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la
distancia entre los dos puntos. l’
V’
F’
eje mayor
eje menor
P
A
c
V eje focal
F
A’
•Los puntos fijos se llaman focos F y F’ de la Elipse.
•La recta l es el eje focal (pasa por los focos)
•Los vértices V y V’ están sobre l o el eje focal
•El punto medio del segmento que une los focos es el centro
•El segmento VV’ es el eje mayor
•La recta l’ que pasa perpendicular a l por c es el eje normal
•El eje normal corta a la elipse en dos puntos A y A’
•El segmento AA’ es el eje menor
l
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V’
B’
E
A D
L
eje mayor
F’
L’
B
D’
eje menor
L
P
eje normal
DEFINICIÓN: La ELIPSE es el lugar geométrico de un punto que se
mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos
puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la
distancia entre los dos puntos. l’
c
V eje focal
F
l
E’
L’
A’
•El segmento BB’ es una cuerda: une dos puntos cualquiera de la elipse.
•Una cuerda que pasa por un foco (EE´)es una cuerda focal
•Una cuerda focal que pasa perpendicular al eje focal l (LL´), se llama lado
recto. Por lo que tiene 2 lados rectos.
•Una cuerda que pasa por el centro (DD´)se llama diámetro.
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La ELIPSE es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de
de la
en el Origen
Y Eje
Focal
quede
coincide
con es
X
tal Ecuación
manera que
laElipse
suma de
de Centro
sus distancias
a dos
puntos
fijos
ese plano
siempre igual a una constante, mayor
l’ que la distancia entre los dos
puntos.
P(x,y)
V’
F’(-c,0)
F(c,0)
FP PF´ 2c
FP PF 2a
(1)
donde 2a es mayor que 2c
x c 2 y 2 x c 2 y 2
2
x c y 2a
2
l
Los segmentos FP y F’P que unen los focos
con el punto P son los radios vectores de P
si a c
V
2
Sustitución de las distancias en 1
2a
x c y
2
2
2
Se elevan ambos miembros al
cuadrado
x c y 4a x c y 4a x c y
x c2 x c2 4a 2 4a x c2 y 2
2
4cx 4a 2 4a x c y 2
Se divide entre 4 toda la expresión
2
2
2
2
2
2
2
Se resuelve y se pasa
la raíz cuadrada a un
lado de la ecuación
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Ecuación de la Elipse de Centro en el Origen Y Eje Focal que coincide con X
l’
P(x,y)
V’
F’(-c,0)
cx a a x c y
cx a a x c a y
2
2
2 2
2
2
F(c,0)
2
Se elevan ambos miembros al cuadrado
resolviendo
c 2 x 2 2a 2cx a 4 a 2 x 2 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2
a 2c 2 a 4 a 2 x 2 c 2 x 2 a 2c 2 a 2 y 2
a
2
l
2
2
2
V
c2 x2 a2 y 2 a2 c2 a2
Reduciendo
términos semejantes
factorizando
Como 2a 2c a 2 c 2 a 2 c 2 es positivo, de manera que
se puede usar a b 2 a 2 b 2 , sustituyen do a b 2en la ecuación queda :
b2 x2 a 2 y 2 b2a 2
x2
y2
2 1
2
a
b
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ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE
x2
y2
2 1
2
a
b
V’(-a,0)
l’
A(0,b) .
P(x,y)
F’(-c,0)
F(c,0)
V(a,0)
l
.A’(0,-b)
Cortes con los ejes
Cuando y=0 , las intersecciones con el eje X son en los puntos (V
y V’) cuyas coordenadas en X son a y –a
Por tanto, V(a,0) y V’(-a,0)
Longitud del eje mayor = 2a
Cuando x=0 , las intersecciones con el eje Y son en los puntos
(A,A’) cuyas coordenadas en Y b y -b
Por tanto, A(0,b) y A’(0,-b)
Longitud del eje menor = 2b
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ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE
x = -a
l’
V’(-a,0)
A(0,b) .
P(x,y)
F’(-c,0)
F(c,0)
l
x=a
.A’(0,-b)
V(a,0)
Nota: La elipse es simétrica respecto de los ejes y
2
el origen. Si de
2
x
y
2 1, se despeja y queda
2
a
b
x2 2
b2 2
b 2
2
2
y 1 2 b
a
x
y
a
x
2
a
a
a
en donde - a x a
(1)
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ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE
y=b
V’(-a,0)
A(0,b) .
P(x,y)
F’(-c,0)
y = -b
F(c,0)
.A’(0,-b)
V(a,0)
x=a
x = -a
l’
Despejando x queda :
x
a 2 2
b y , en donde - b y b (2)
b
De 1 y 2 se desprende:
x = -a
x=a
y = -b
y=b
Estas rectas encierran a la elipse
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ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE
x = -a
l’
V’(-a,0)
A(0,b) .
P(x,y)
F’(-c,0)
y = -b
F(c,0)
.A’(0,-b)
V(a,0)
x=a
y=b
Como la abscisa del foco es c, sustituyéndolas en la ecuación,
encontramos el valor de la ordenada en el foco:
b 2
y
a x2
a
b 2 2
sustituyen do c queda : y
a c
a
2
pero como a 2 c 2 b 2 , entonces y
b
a
De esta manera , la Longitud del Lado Recto para ambos focos, F y F’ es:
2b 2
LR
a
La Excentricidad (e) es la razón de c/a, entonces:
c
a2 b2
e
a
a
Como c < a, entonces la excentricidad de una elipse es e < 1
e = 1 Parábola
e < 1 Elipse
e > 1 Hipérbola
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PRIMERA ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE
x2 y2
2 1
2
a
b
y
x2 y 2
2 1
2
b
a
Donde:
a = longitud del semieje mayor
b = longitud del semieje menor
TEOREMA: La ecuación de una Elipse de centro en el origen, eje focal
el eje x, distancia focal igual a 2c y la cantidad constante igual a 2a, es:
x2
y2
2 1
2
a
b
Si el eje focal coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de
los focos son (0,c) y (o,-c), la ecuación de la Elipse es:
x2
y2
1
2
2
b
a
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PRIMERA ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE
x2 y2
2 1
2
a
b
y
x2 y 2
2 1
2
b
a
Donde:
a = longitud del semieje mayor
b = longitud del semieje menor
Para cada Elipse, a es la longitud del semieje mayor, b la del semieje
menor, y a, b, c están ligados por la ecuación:
a2 = b 2 + c 2
También, para cada elipse, la longitud de cada lado recto es
2b 2
LR
a
y la excentricidad e está dada por la fórmula:
c
a 2 b2
e
1
a
a
Nota: En la ecuación de una elipse en forma canónica, comparamos los
denominadores de los términos x2 y y2. El denominador mayor está asociado a la
variable correspondiente al eje coordenado con el cual coincide el eje mayor de la
Elipse.
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ECUACIÓN DE LA ELIPSE DE CENTRO (h,k).
Segunda ecuación ordinaria.
(h,k)
k
h
x h
2
a
2
y k
2
b
2
1
2b
LR
a
(h,k)
k
b
2
2
y k
a
2
c
a 2 b2
e
1
a
a
h
x h 2
2a: eje mayor
2b: eje menor
c: distancia del
centro a cada foco
a, b y c a2 = b2 + c2
2
1
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TEOREMA: Si los coeficientes A y C son del mismo signo, la
ecuación
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Representa una elipse de ejes paralelos a los coordenados, o
bien un punto, o no representa ningún lugar geométrico real.