Transcript Diapositiva 1

Geometría Analítica
LA ELIPSE
1. DEFINICIÓN
2. ELIPSES A NUESTRO ALREDEDOR
3. ELEMENTOS DE LA ELIPSE
4. EXCENTRECIDAD
5. ECUACIONES DE LA ELIPSE

CANÓNICA

ORDINARIA

GENERAL
6. EJERCICIOS
1
Geometría Analítica
LA ELIPSE
La elipse es el lugar geométrico de todos los
puntos P del plano cuya suma de distancias
a dos puntos fijos, F1 y F2, llamados focos
es una constante positiva. Es decir:

d P ; F1
  d P ; F 
2
 cte
Cuando un cono circular recto es
seccionado por un plano oblicuo al eje y
forma con este eje un ángulo mayor que el
ángulo formado por la generatriz con el
eje, los puntos pertenecientes igualmente al
plano y al cono forman una elipse.
http://www.stefanelli.eng.br/webpage/es_elipse.html
2
Geometría Analítica
LA ELIPSE
3
Geometría Analítica
LA ELIPSE
4
Geometría Analítica
ELIPSE A NUESTRO ALREDEDOR
5
Geometría Analítica
ELIPSE A NUESTRO ALREDEDOR
Geometría Analítica
PROPIEDAD DE LA ELIPSE
Veamos la propiedad fundamental de una elipse.
Para ello, marca dos puntos en un plano, separados por ejemplo 4
centímetros. Los llamaremos los focos de la elipse. Escoge ahora un
número mayor que 4, pongamos 10. La figura que resulta de
marcar todos los puntos cuyas distancias a los focos suman 10 es
una Elipse.
Geometría Analítica
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
B1
.
V
1
.F
1
C
.
B2
2c
2a
.
F2
.V
2
2b
Geometría Analítica
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
B1
V1
F1
Focos. Son los puntos fijos F1 y F2.
Eje focal. Es la recta que pasa por los focos.
C
P
F2
B2
Eje secundario. Es la mediatriz del segmento F1F2.
Centro. Es el punto de intersección de los ejes.
Radios vectores. Son los segmentos que van desde un punto de la
elipse a los focos: PF1 y PF2.
Distancia focal. Es el segmento F1F2 de longitud 2c, c es el valor de
la semi distancia focal.
Vértices. Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: V1,
V2, B1, B2.
V2
Geometría Analítica
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
B1
V1
F1
P
C
F2
B2
Eje mayor. Es el segmento V1V2 de longitud 2a, a es el valor del
semieje mayor.
Eje menor. Es el segmento B1B2 de longitud 2b, b es el valor del
semieje menor.
Ejes de simetría. Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje
menor.
Centro de simetría. Coincide con el centro de la elipse, que es el
punto de intersección de los ejes de simetría.
V2
Geometría Analítica
RELACIÓN ENTRE a, b y c
B1
a
b
V1
C
F1
F2
c
V2
B2
Ubicaremos un punto P(x;y) en la intersección de la elipse con el eje
Y para establecer las siguientes relaciones:

d P;F
1


 d P;F
a  c  a
2
 b
2
2

 c
 a
2
Geometría Analítica
EXCENTRICIDAD (e)
La excentricidad de la elipse es igual al cociente entre su semi
distancia focal y su semieje mayor. Es la razón entre las medidas de
c y a, que indica el grado de achatamiento de la elipse.
Así, en e = c/a
 Si e se aproxima a 0, la elipse tiende a adquirir la forma de
una circunferencia.
 Si e se aproxima a 1, la elipse tiende a ser cada vez más
achatada.
Geometría Analítica
Si en la ecuación de la elipse el
denominador de x2 es mayor
que el denominador de y2,
entonces el eje focal coincide
con el eje X. En caso contrario,
el eje focal coincide con el eje Y.
ECUACIONES DE LA ELIPSE
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE
Cuando el eje focal coincide
con el eje X
x
2
a
2

y
2
b
2
 1
F1(-c;0), F2(c;0), V1(-a,0), V2(a;0)
Cuando el eje focal coincide
con el eje Y
y
2
a
2

x
2
b
2
 1
F1(0;-c), F2(0;c), V1(0,-a), V2(0;a)
Geometría Analítica
ECUACIONES DE LA ELIPSE
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE
Cuando el eje focal coincide
con el eje X
x
 h
a
2

2

y  k
b
2
2
 1
C(h;k), F(h±c;k), V(h±a;k)
Cuando el eje focal coincide
con el eje Y

y  k
a
2

2


x  h
b
2

2
 1
C(h;k), F(h;k±c), V(h;k±a)
Geometría Analítica
ECUACIONES DE LA ELIPSE
ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
Partiendo de la ecuación anterior y realizando un proceso similar al
realizado para obtener la ecuación general de la circunferencia, se
llega a la ecuación general de la elipse, donde los coeficientes A y B
deben tener el mismo signo.
Ax
2
 By
2
 Cx  Dy  E  0
Geometría Analítica
EJERCICIOS
01. Halla el centro y los focos de la elipse de ecuación:
x
 8
20

2

y  3
36
2
 1
02. Reduce la ecuación x2 + 4y2 – 6x + 16y + 21= 0 a la forma
ordinaria de una elipse y determina las coordenadas del centro,
vértices, focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, la cuerda
focal y la excentricidad.
03. Determina la ecuación de la elipse con centro en el origen, focos
en los puntos (0; -3) y (0; 3) y eje mayor igual a 10 u.
04. Halla la ecuación de la elipse de excentricidad 2/3 y cuyos focos
son los puntos (-2; 6) y (8; 6).
Geometría Analítica
EJERCICIOS
05. Determina la ecuación de la elipse cuyo centro de gravedad está
en el origen e coordenadas, el eje mayor a lo largo del eje X, el lado
recto es igual a 6 y el valor de la excentricidad es 1/2.
06. Halla la ecuación de la elipse cuya longitud de la cuerda normal
(lado recto) es 5 y sus vértices los puntos (-10;0) y (10; 0).
07. Las distancias de un punto P de una elipse a sus focos F1 y F2 son
6 y 8 cm. Calcula e, si m < F1 P F2 = 90º
08. En la elipse 4x2 + 9y2 = 36. El área del triángulo formado por un
lado recto y los segmentos que unen los extremos con el centro de la
elipse es:
09. Halla la ecuación de la elipse que tiene por centro el punto (2; 4),
la distancia del centro a los focos es 3, su excentricidad 1/3 y la
elipse es de eje vertical.