Capitulo VII. Elipse..
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Transcript Capitulo VII. Elipse..
I. Sistemas de coordenadas
II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
III.La línea recta
IV.Ecuación de la circunferencia
V. Transformación de coordenadas
VI.La parábola
VII.La elipse
VIII.La hipérbola
Definiciones
Ecuación de la elipse de centro en el
origen y ejes de coordenadas los ejes de
la elipse
Ecuación de la elipse con centro en (h,k)
y ejes paralelos a los ejes coordenados
Propiedades de la elipse
La sección cónica o simplemente cónica, es el lugar
geométrico o curva que se obtiene por la intersección
de un cono circular recto con un plano.
Circunferencia
Parábola
Elipse
Hipérbola
L a sección cónica se puede expresar
m ediante una ecuación general de
segundo grado en x e y en la form a
siguiente :
A x B xy C y D x E y F 0
2
2
D ependiendo de la sección cónica
algunos de los coeficientes se hacen cero.
U na elipse es el lugar geom étrico de un punto que se m ueve
en un plano de tal m anera que la sum a de sus distancias a
dos puntos fijos de ese plano es siem pre igual a una constante,
m ayor que la distancia entre los dos puntos.
S ean el punto P1 x 1 . y 1 y el punto P 2 x 2 . y 2 .
La distancia entre dos puntos está dada com o:
d
x 2 x1
2
y 2 y1
2
La distancia entre P x , y y F c , 0 es
entonces,
d
x c
2
y 0
2
x c
2
y
2
La distancia entre P x , y y F c , 0 es
entonces,
d
x c y 0
2
2
x c
2
y
2
x c y 2a
2
x c
2
x c y
2
2
y 2a
2
x c
2
2
y
2
2
x 2 cx c y 4 a 4 a
x c
x 2 cx c y 4 a 4 a
x c y x 2 cx c y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y x c y
2
2
2
2
2
2
2
x 2 cx c y 4 a 4 a
x c y x 2 cx c y
2
x 2 cx c y 4 a 4 a
x c
2
4 a 4 cx 4 a
2
cx a a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x c y
x c
2
2
y
2
2
2
2
2
2
2
y x 2 cx c y
2
2
2
cx a a
2
cx a
2
2
x c
2
y
2
a x c y
2
2
c x 2 ca x a a
2
2
2
2
4
2
x
2
2 cx c y
2
2
c x 2 ca x a a x 2 a cx a c a y
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
c x 2 ca x a a x 2 a cx a c a y
2
2
2
4
2
2
2
c x a x a y a a c
2
2
2
2
2
2
4
2
a x c x a y a a c
2
a
2
2
c
2
2
2
x
2
2
2
a y a
2
2
4
2
2
a
2
2
2
2
c
2
2
2
2
a c
2
2
x a y a
2
C om o 2 a 2 c es a
2
2
2
a c
2
2
c y a c es un núm ero
2
2
2
2
positivo que puede ser reem plazado por el núm ero
2
positivo b ; es decir, si en
a
2
c
2
x
2
a y a
2
2
2
a
c
2
2
rem plazam os a c por b , obtenem os
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y dividiend o por a b , se obtiene finalm ente
x
2
a
2
y
2
b
2
1
x
2
a
2
y
2
b
2
1
(5)
P ara acab ar d e en ten d er la ecu ació n
x
2
a
2
y
2
b
2
1
(5 )
d eb em o s an alizarla.
P ara ello p ro ced em o s co m o se ex p licó
en el cap ítu lo II.
Intersección
con los ejes
Cálculo de
coordenadas
Simetría
Extensión
de la curva
Construcción
de la curva
Asíntotas
Intersecciones con los ejes de
x
2
a
2
y
2
b
2
Intersecciones con el eje X .
H aciendo y 0 en la ecuación de la elipse,
tenem os
x
2
a
2
1
ó bien
x a
2
2
y por tanto,
x a
1
Intersecciones con el eje X : a y a
P or ser a y a las intersecciones con el ej e X ,
las coordenadas de los vértices son V y V ' son
( a , 0) y ( a , 0 ) respectivam ente, y la
longitud del eje m ayor
es igual a 2 a , que es la
constante que se
m en ciona en la
definición de la
elipse.
Intersecciones con los ejes de
x
2
a
2
y
2
b
2
Intersecciones con el eje Y .
H aciendo x 0 en la ecuación de la elipse,
tenem os
y
2
b
2
1
ó bien
y b
2
2
y por tanto,
y b
1
Intersecciones con el eje Y : b y b
P or ser b y b las intersecciones con el eje Y ,
las coordenadas de los extrem os A y A ' de l eje
m enor son (0 , b ) y (0 , b ) respectivam ente , y la
longitud del eje m enor es igual a 2 b.
x
2
a
2
y
2
b
2
1
x
2
a
2
y
2
b
2
1
x
2
a
2
y
2
b
2
1
S i en la ecu ació n d e la elip se
d esp ejam o s y o b ten em o s
y
2
b
2
1
x
2
a
2
2
x
2
2
y b 1 2
a
y b 1
x
2
a
2
(7 )
x
2
a
2
y
2
b
2
1
y b 1
x
2
a
2
(7)
L a ab scisa d el fo co F es c .
S i en (7 ) su stitu im o s x p o r este valo r se
o b tien en las o rd en ad as co rresp o n d ien tes q u e so n
y b 1
c
2
a
2
a c
2
b
a
P ero a c b , así q u e
2
y b
2
b
2
a
2
2
b
b
a
b
2
a
2
2
b2
c,
a
c, 0
2
b
c,
a
Si x c entonces y
b
2
a
P or lo tanto,
la longitud del
b2
c,
a
lado recto del
foco F es
2b
2
c, 0
a
2
b
c,
a
y b 1
x
2
a
2
(7)
La abscisa del otro foco F ', que es c ,
tenem os exactam ente lo m ism o; es decir,
y b 1
c
a
2
a c
2
b
2
a
P ero a c b , así que
2
y b
2
b
2
a
2
2
b
b
a
b
2
a
2
2
La longitud del lado recto para el
foco F ' c , 0 es tam bién
2
b
c,
a
c, 0
2
b
c,
a
2b
a
2
e
c
a b
2
a
2
a
y
3
2
1
-8
-6
-4
-2
2
-1
-2
-3
4
6
8
x
T eorem a 1. La ecuación de una elipse de centro en el origen,
eje focal el eje X , distancia focal igua l a 2 c y cantidad
constate igual a 2 a es
x
2
a
2
y
2
b
2
1
N O T A . S i red u cim o s la ecu ació n d e u n a elip se
a su fo rm a can ó n ica, p o d em o s d eterm in ar
fácilm en te su p o sició n relativa a lo s ejes
co o rd en ad o s ccm p aran d o lo s d en o m in ad o res
d e lo s térm in o s en x e y . E l d en o m i n ad o r m ayo r
esta aso ciad o a la variab le co rresp o n d ie n te al
eje co o rd en ad o co n el cu al co in cid e el e je m ayo r
d e la elip se.
A hora considerarem os la determ inación
de la ecuación de una elipse cuyo centro
no está en el origen y cuyos ejes son
paralelos a los ejes coordenados.
S egún esto, considerem os la elipse cuyo centro
está en el punto ( h , k ) y cuyo eje focal es
parelelo a1 eje X tal com o se indica en la figura.
S ean 2 a y 2 b las longitudes de los ejes m a yor y m enor
de la elipse, respectivam ente .
S i los ejes coordenados son trasladados de m anera
que el nuevo origen O ' coincida con el ce ntro ( h , k )
de la elipse, se sigue, del teorem a 1, A rticulo 61 , q u e
la ecuación de la elipse con referencia a los nuevos
ejes X ' y Y ' está dada por
x'
a
2
2
y'
b
2
2
1
x'
a
2
2
y'
b
2
2
1
x x ' h
y y ' k
x'
a
2
2
x' x h
y'
b
2
2
1
y' y k
P x, y
F h c, k
F : h c, k
h, k
P x, y
F h c, k
F : h c, k
h, k
d PF
x h c y k
2
2
d PF
x h c y k
2
2
PF PF 2a
x h c
2
y k
2
x h c
2
y k
2
x h c
2
x h c
2
4a
2
x h c
2a
y k 2a
2
2
y k
x h c
x h c
2
2
2
2a
y k
2
y k
2
2
y k
2
x h c y k 4a
2
2
x h c
2
y k
2
x h c
2
y k
2
4a x h c y k 4a
2
2
x h c
2
2
x h c
4a x h c 4a
2
2
2
y k
x h c
2
2
y k
2
x h 2c x h c
2
2
4a x h 2c x h c 4a
2
2
2
2c x h 4a 2c x h 4a
2
x h c
x h c
2
2
y k
y k
2
2
2
x h c
2
y k
2
2c x h 4a 2c x h 4a
2c x h 4a 2c x h 4a
x h c
2
y k
2
4c x h 4a 4a
2
y k
2
2
2
cx h a a
2
2
x h c
x h c
2
y k
2
2
2
c x h a a x h c y k
2
2
2
c x h a a x h c y k
2
c
2
x h
2
2
2
2a c x h a a
2
4
2
2
x h c
2
a
x h 2a c x h a
2
2
2
2
2 2
2
a x h 2a c x h a c a y k
c
2
c
2
2
x h
2
2
a a
4
4
2
x h
2
a c a
2
2
2
y k
2
2
y k
2
c
2
c
2
c
b
x h
2
a a
x h
2
a
2
a
2
2
2
2
a
2
2
a
x h
2
2
2
a
2
2
a c a
2
2
1
2
2
y k
y k
y k
y k
b
2
x h
2
x h
x h
x h
a
2
4
2
a
a b
2
2
2
2
2
y k
2
a c a
c
2
2
2
a
2
4
x h
b
2
2
y k
a
2
2
1
3
x h
a
2
x h
b
2
2
y k
b
2
1
2
y k
a
2
2
2
1
x h
a
2
2
y k
b
2
2
1
x h
b
2
2
y k
a
2
2
1
x h
a
b
2
2
y k
2
x h
b
2
a
2
a b
b
2
b
2
2
2
2
1
y k
2
y k
2
a b
2
y k
2
a b
2
1
2
x h
2
a
2
x h
2
a
2
2
2
0
b
2
x h
b
2
x
2
2
a
2
2 hx h
y k
2
2
a b 0
2
a y
2
2
2
2 ky k
2
a
2
b 0
2
b x 2 b hx b h a y 2 a ky a k a b 0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b x a y 2 b hx 2 a ky b h a k a b 0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Ax Cy Dx Ey F 0
2
2
Ax Dx Cy Ey F
2
2
2 D
2 E
A x
x C y
y F
A
C
2
2
2
2
2 D
D
E
E
D
E
2
A x
x
Cy
y
F
2
2
A
4A
C
4C 4 A 4C
2
2
2
2
2 D
D
E
E
D
E
2
A x
x
Cy
y
F
2
2
A
4A
C
4C 4 A 4C
2
2
2
2
D
E
D
E
A x
F
Cy
2A
2C
4 A 4C
2
D
E
x
y
2A
2C
C
A
2
D
2
4A
E
2
4C
AC
F
D
2
4A
E
2
F
4C
AC
E l d en o m in ad o r co m ú n es 4 A C , así q u e
CD
2
AE
2
2
4A C
4 ACF
2
N CD AE 4 ACF
2
2
N CD AE 4 ACF
2
2
La tangente a una curva en un punto dado es
una línea recta; la pendiente de esa lín ea recta
nos dice que tan rápido está cam biando l a
curva en ese punto.
P or eso es im portante la línea tangent e:
S u p endiente nos da la razón de cam bio de la
curva.
f ( x, y ) 0
(1)
f ( x, y ) 0
(1)
y mx k
(4)
f ( x, y ) 0
(1)
y mx k
(4)
ax bx c 0
2
a 0
(5)
f ( x, y ) 0
(1)
y mx k
(4)
f ( x, y ) 0
(1)
y mx k
(4)
ax bx c 0
2
a 0
(5)
f ( x, y ) 0
(1)
y mx k
(4)
Longitud de
la tangente
Longitud de
la norm al
S ubtangente
S u b n o rm al
E n el trián g u lo T Q P1 ,
ten em o s
tan m
y1
TQ
D esp ejan d o T Q ,
q u e es la su b tan g en te,
ten em o s
TQ
y1
m
E n el trián g u lo Q N P1 ,
ten em o s
tan m
QN
y1
D esp ejan d o Q N ,
q u e es la su b n o rm al,
ten em o s
Q N m y1
E n el trián g u lo T Q P1 ,
ten em o s
2
TQ
y L o n g T an g
2
1
y1
p ero T Q
m
m
0,
así q u e
2
L o n g T an g
y1
m
y1
m
1 m
2
2
y1
2
2
E n el trián g u lo Q N P1 ,
ten em o s
2
QN
y L o n g N o rm al
2
1
2
p ero Q N m y1
así q u e
L o n g N o rm al
y1 1 m
2
m y1 y1
2
2
2
S i se verifica q u e m m ' 1, d e tal m an era q u e
am b o s án g u lo s sean recto s, se d ice q u e las
cu rvas so n o rto g o n ales en tr e si .
T am b ien , si cad a elem en to d e u n a fam ilia d e
cu rvas es o rto g o n al a cad a u n o d e lo s elem en to s
d e u n a seg u n d a fam ilia, las cu rvas d e cu alq u iera
d e las d o s fam ilias se llam an las trayecto rias
o rto g o n ales d e las cu rvas d e la o tra f am ilia .
E l p ro b lem a d e la o rto g o n alid ad es d e co n sid era b le
im p o rtan cia en la M atem ática S u p erio r y en la F ísica.
T eorem a 4.
La tangente a la elipse
b x a y a b
2
2
2
2
2
2
en cualquier punto P1 x1 , y1
de la curva tiene por ecuación
b x1 x a y 1 y a b
2
2
2
2
T eorem a 4.
La tangente a la elipse
b x a y a b
2
2
2
2
2
2
en cualquier punto P1 x1 , y1
de la curva tiene por ecuación
b x1 x a y1 y a b
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
2
y y 1 m x x1
b x a y a b
2
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
2
y y 1 m x x1
y m x m x1 y 1
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
y y 1 m x x1
2
y m x m x1 y 1
2
b x a
2
2
2
m x m x1
y1 a b
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
y y 1 m x x1
2
y m x m x1 y 1
2
b x a
2
2
2
m x m x1
y1 a b
2
2
2
b x a
2
2
2
m x m x 1 y 1 2 m x1 x 2 m x 1 y 1 2 m y 1 x a b 0
2
2
2
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a
2
b x a
2
2
2
m
2
2
2
y y 1 m x x1
2
y m x m x1 y 1
2
m x m x1
y1 a b
2
2
2
x m x 1 y 1 2 m x1 x 2 m x 1 y 1 2 m y 1 x a b 0
2
2
2
2
2
2
2
b x a m x a m x1 a y 1 2 a m x 1 x 2 a m x 1 y 1 2 a m y 1 x a b 0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a
2
b x a
2
2
2
2
2
y y 1 m x x1
2
y m x m x1 y 1
2
m x m x1 y 1 a b
2
2
2
m x m x1 y 1 2 m x1 x 2 m x 1 y 1 2 m y 1 x a b 0
2
2
2
2
2
2
2
2
b x a m x a m x 1 a y 1 2 a m x 1 x 2 a m x1 y 1 2 a m y 1 x a b 0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b x a m x 2 a m y 1 x 2 a m x1 x a m x1 a y 1 2 a m x 1 y 1 a b 0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a
2
b x a
2
2
2
m
2
2
2
y y 1 m x x1
2
y m x m x1 y 1
2
m x m x1
y1 a b
2
2
2
x m x1 y 1 2 m x 1 x 2 m x 1 y 1 2 m y 1 x a b 0
2
2
2
2
2
2
2
b x a m x a m x1 a y1 2 a m x1 x 2 a m x1 y1 2 a m y1 x a b 0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b x a m x 2 a m y 1 x 2 a m x1 x a m x1 a y 1 2 a m x 1 y 1 a b 0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
2
a m
2
2
x
2
2 a m y 1 2 a m x1 x a m x 1 a y 1 2 a m x 1 y 1 a b 0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a
2
b x a
2
2
m
2
2
2
2
y y 1 m x x1
2
y m x m x1 y 1
2
m x m x1
y1 a b
2
2
2
x m x1 y 1 2 m x 1 x 2 m x 1 y 1 2 m y 1 x a b 0
2
2
2
2
2
2
2
b x a m x a m x1 a y1 2 a m x1 x 2 a m x1 y1 2 a m y1 x a b 0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b x a m x 2 a m y 1 x 2 a m x1 x a m x1 a y 1 2 a m x 1 y 1 a b 0
2
b
2
2
2
a m
2
2
2
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 a m y 1 2 a m x1 x a m x 1 a y 1 2 a m x 1 y 1 a b 0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
2
a m
2
2
x
2
2 a m y 1 m x1 x a
2
2
m
2
x1 y 1 2 m x 1 y 1 b
2
2
2
0
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a
2
b x a
2
2
m
2
2
2
2
y y 1 m x x1
2
y m x m x1 y 1
2
m x m x1
y1 a b
2
2
2
x m x1 y 1 2 m x 1 x 2 m x 1 y 1 2 m y 1 x a b 0
2
2
2
2
2
2
2
b x a m x a m x1 a y1 2 a m x1 x 2 a m x1 y1 2 a m y1 x a b 0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b x a m x 2 a m y 1 x 2 a m x1 x a m x1 a y 1 2 a m x 1 y 1 a b 0
2
b
2
2
2
a m
2
2
2
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x 2 a m y 1 m x1 x a
2
2
2
2
2
2
2
2
m x1 y 1 2 m x1 y 1 b
2
2
2
2
2
b a m
2
2
2
0
2
2
2 a m y 1 2 a m x1 x a m x 1 a y 1 2 a m x 1 y 1 a b 0
2
b a m
2
2
2
2
2
2
0
x
2
a
m
y
m
x
x
a
y
m
x
b
1
1
1
1
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a
2
b x a
2
2
m
2
2
2
2
y y 1 m x x1
2
y m x m x1 y 1
2
m x m x1
y1 a b
2
2
2
x m x1 y 1 2 m x 1 x 2 m x 1 y 1 2 m y 1 x a b 0
2
2
2
2
2
2
2
b x a m x a m x1 a y1 2 a m x1 x 2 a m x1 y1 2 a m y1 x a b 0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b x a m x 2 a m y 1 x 2 a m x1 x a m x1 a y 1 2 a m x 1 y 1 a b 0
2
b
2
2
2
a m
2
b
2
2
2
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 a m y 1 2 a m x1 x a m x 1 a y 1 2 a m x 1 y 1 a b 0
2
a m
2
2
2
x
2
2
2
2
2 a m y 1 m x1 x a
2
2
2
m
2
2
2
2
2
x1 y 1 2 m x1 y 1 b
2
2
2
2
2
0
2
2
0
b
a
m
x
2
a
m
y
m
x
x
a
y
m
x
b
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
b a m
2
2
2
x 2 a m y 1 m x1 x a
2
2
2
y 1 m x1 b y 1 m x1 b 0
ax bx c 0
2
x
b
b 4 ac
2
2a
b
a m
2
2
4
4a m
2
a m
2
2
2
a m
a m
2
2
a m
2
2
2
x
2
2 a m y1 m x1 x a
2
y 1 m x1 4 b a m
2
y 1 m x1
2
y 1 m x1
2
2
2
2
b a m
2
b
2
2
2
2
a
y
1
2
2
y1 m x1 b y1 m x1 b
0
y 1 m x1 b y 1 m x1 b 0
m x1 b y 1 m x1 b 0
y 1 m x1 b y 1 m x 1 b
y 1 m x1 b y 1 m x 1 b 0
y 1 m x1
2
b
2
y 1 m x1
2
b a m
4
2
2
y 1 m x1
2
a b m 0
2
2
2
2
y 1 m x1 b
2
a m
2
b
y 1 m x1
2
2
2
y 1 m x1 b a m
2
4
b a b m 0
4
2
2
2
y 1 m x1 b a m 0
2
2
2
2
y 1 2 x 1 y 1 m x1 m b a m 0
2
2
2
2
2
2
a x1 m 2 x 1 y 1 m b y 1 0
2
2
2
2
2
2
2
y 1 m x1 a b m 0
2
2
2
2
a
a
2
m
m
m
m
m
2
x1
2
x
2
1
m
2
m
2 x1 y1 m b y 0
2
2
2 x1 y 1 m b
2
2
2
2a
2 x1 y 1
2
x1
2
b
x1
2
2
2
y1
2
4 x1 y 1 4 x 1 y 1 4 b x 1 4 a y 1 4 a b
2
2
2
2
2a
2 x1 y 1
2
2
x1
2
2
2
2a
2
2
x1
2
2
2
b x1 a y 1 a b
2
2a
2
2
2
x1
2
2
2
b x1 a y 1 a b
2
a
2
2
2
x1
2
2
2
2
2
4 b x1 4 a y 1 4 a b
2 x1 y 1 2
x1 y 1
y1 0
2
4 x1 y 1 4 a
2 x1 y 1
2
1
2
2
2
2
2
2
b a m
2
2
2
x 2 a m y1 m x1 x a
m
2
2
x1 y 1
2
y1 m x1 b y1 m x1 b
b x a y a b
2
2
1
a x
2
2
2
1
p ero b x a y a b
2
2
1
2
así q u e
m
x1 y 1
a x
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
0
m
y y1
y
x1 y 1
a x
2
x1 y 1 x a x
x1 y 1 x a x
2
1
x1 y 1 x a x
2
1
2
2
2
2
x1
x y x x
y x y a x y
y x y a y x y
y a y
2
1
2
1
2
a x1
x
2
1
y1 a x
2
x1 y1
1
2
1
2
1
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
x1 y1 x a x1
2
2
a x
2
x1 x
2
1
y a
y a
b x1 x b
2
a x
b x1 x
b x1 x
2
1
y a b
2
a b b x
2
2
2
1
a y
2
1
y a b
y a b
2
y1
b x1 x a y 1 y a b
2
2
2
y1
2
2
2
y1
2
2
y1
y1
2
2
2
2
2
2
2
2
T eorem a 4.
La tangente a la elipse
b x a y a b
2
2
2
2
2
2
en cualquier punto P1 x1 , y1
de la curva tiene por ecuación
b x1 x a y 1 y a b
2
2
2
2
y mx
a m b
2
2
2
b x a y
2
2
2
y mx
2
a b
2
2
a m
2
2
b
2
y mx k
b x a
2
2
2
mx k
2
a b
2
2
2
b x a
2
mx k
b x a
2
m
2
2
2
2
2
a b
2
2
x 2 m kx k
2
2
a
2
b
2
b x a m x 2 a m kx a k
2
a b
2
2
2
a b
2
2
k
2
2
2
b
2
a m
2
b
2
a m
2
2
2
2
2
2
x
2
2 a m kx a k
x
2
2 a m kx a
2
2
2
2
2
2
b
2
0
0
b
2
a m
2
4
2
4a m k
2
2
x
2
2 a m kx a
2
4 b a m
2
2
2
2
2
b a m
2
2
a m k
2
b k
b k
b a b m
a m k
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
k
a k
2
k
a k m
2
2
2
0
2
b
2
2
2
b
b
2
2
0
0
0
b a b m
4
2
2
2
0
b k
2
k
2
2
b a b m
4
b a m
2
2
b a m
2
2
2
2
k
2
2
2
k a m b
2
2
2
0
2
0
y mx
a m b
2
2
2
a
a
b
c
a
2
b c
2
2
C apitulo V II, G rupo 27, E jercicio 7, pág ina 178.
H allar las coordenadas de los vértices y focos,
las longitudes de los ejes m ayor y m enor ,
la excentricidad y la longitud de cada u no de
sus lados rectos de la elipse
4 x ² 9 y ² 36
T razar y discutir el lugar geom étrico.
C apitulo V II, G rupo 27, E jercicio 12, pá gina 178.
12. H allar la ecuación de la elipse cuyo s focos son
los puntos (2,0) y (-2,0), y su excentricidad es igual a 2/3.
C apitulo V II, G rupo 27, E jercicio 12, pá gina 178.
12. H allar la ecuación de la elipse cuyo s focos son
los puntos (2,0) y (-2,0), y su excentricidad es igual a 2/3.
c 2
e
2
c
3
b
2
a c
2
5
2
9
a
2
b
x
a 3
y
5
2
1
945
C apitulo V II, G rupo 27, E jercicio 15, pá gina 178.
15. U na elipse tiene su centro en el origen y
su eje m ayor coincide con el eje X .
H allar su ecuación sabiendo que pasa
por los puntos ( 6 , 1) y (2, 2 ).
x
2
a
2
6
a
2
y
2
b
2
1
b
6b a
a
2
a a b
2
2
4
1
2
2
1
a b
2
2
2
b
4b 2 a
2
2
6b a
2
2
6b 6b
4b 2
2
2
1 b 1 b
2
2
2
2
2
2
1
a b
2
6b
2
1 b
2
2
b
2
6b
2
1 b
2
6b
1 b
4b
2
4b
2
1 b 1 2 b
2
4b
2
6b
2
2
4b
4
12b
2b
4
8b
2
0
2b
2
b
b1 0
2
2
6b
4
4
2
2
b
0
0
4
b2 2
b 3 2
2
a
a
2
2
6b
2
1 b
2
6 2
2
1 2
2
x
2
8
y
4
2
1
b 2
24
1 4
24
3
8
y
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
4
x
G eo m etría A n alítica; C . H . L eh m an n .
C ap itu lo V II, G ru p o 2 8 , E jercicio 9 , p á g in a 1 8 4 .
9 . L o s fo co s d e u n a elip se so n lo s p u n to s (3 ,8 ) y (3 ,2 ),
y la lo n g itu d d e su eje m en o r es 8 .
H allar la ecu ació n d e la elip se,
las co o rd en ad as d e su s vértices y su ex cen tricid ad .
L o s fo co s d e u n a elip se so n lo s p u n to s (3 ,8 ) y (3 ,2 ),
y la lo n g itu d d e su eje m en o r es 8 .
33
E l cen tro : x c
3
2
yc
82
C 3, 5
c d FC
3 3
a b c a
2
2
2
16 9 5
2
Y ten em o s
y 5
25
2
x 3
16
8 5 3
2
1
2
2
5
y 5
2
x 3
25
y
2
1
16
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-2
-1
1
-1
2
3
4
5
6
7
8
x
y 5
2
x 3
25
2
1
16
16 y 5 25 x 3 400
2
2
16 y 10 y 25 25 x 6 x 9 400
2
2
16 y 25 x 160 y 150 x 225 0
2
2
16 y 25 x 160 y 150 x 225 0
2
2
G eom etría A nalítica; C . H . Lehm ann.
C apitulo V II, G rupo 28, E jercicio 14, p ágina 184.
R educir la ecuación
4x²+ 9y²+ 32x-18y+ 37= 0
a la segunda form a ordinaria de la
ecuación de una elipse, y determ inense
las coordenadas del centro, vertices y focos,
las longitudes de los ejes m ayor y m eno r,
y la de cada lado recto y la excentricidad.
R educir la ecuación 4 x ² 9 y ² 32 x 18 y 37 0
4 x ² 32 x 9 y ² 18 y 37 0
4 x ² 8 x 9 y ² 2 y 37
4 x ² 8 x 16 9 y ² 2 y 1 37 64 9
4 x ² 8 x 16 9 y ² 2 y 1 36
4 x 4 9 y 1 36
2
x 4
9
2
2
y 1
4
2
1
x 4
2
y 1
9
2
1
4
C 4,1
a 3
b2
c
a b
2
2
94
5
x 4
2
y 1
9
2
1
4
C 4,1
a 3
F 4
5 ,1
b 2
c
5
F 4
V 1,1
V 7,1
A 4, 3
A 4, 1
5 ,1
x 4
2
y 1
9
2
1
4
C 4,1
a 3
b 2
e
c
a
L
2b
a
2
c
5
5
3
24
3
8
3
4 x ² 9 y ² 32 x 18 y 37 0
F 4
5 ,1
F 4
V 1,1
V 7,1
A 4, 3
A 4, 1
5 ,1
4
3
2
1
0
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
x
-1
-2
y
G eo m etría A n alítica; C . H . L eh m an n .
C ap itu lo V II, G ru p o 2 9 , E jercicio 8 , p á g in a 1 8 8 .
8 . E n co n trar las ecu acio n es d e las t an g en tes
d e p en d ien te 2 a la elip se
4 x ²+ 5 y²= 8 .
G eo m etría A n alítica; C . H . L eh m an n .
C ap itu lo V II, G ru p o 2 9 , E jercicio 1 0 , p á g in a 1 8 8 .
1 0 . E n co n trar las ecu acio n es d e las tan g en tes
trazad as d esd e el p u n to (3 ,-1 ) a la eli p se
2 x ²+ 3 y²+ x -y-5 = 0 .