Transcript Cónicas SUPERFICIE CÓNICA

Matemáticas
1.º Bachillerato
Cónicas
SUPERFICIE CÓNICA
Una superficie cónica es aquella que se obtiene al hacer girar
una recta g, llamada generatriz, alrededor de otra recta e,
llamada eje, cuando g y e son secantes.
El punto de corte de ambas rectas es el vértice V de la
superficie.
Al cortar a la superficie así formada por un plano se
obtienen secciones que se llaman cónicas.
Generatriz
Cuando el plano cortante contiene al vértice se obtienen las
llamadas cónicas degeneradas, que son un punto, una recta o
un par de rectas secantes.
Eje
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Cónicas
CÓNICAS DEGENERADAS
β
α
α
β
β
Punto
α<β
Recta
α=β
α
Rectas secantes
α>β
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Cónicas
CÓNICAS NO DEGENERADAS
Circunferencia
Elipse
Circunferencia:
El plano secante es perpendicular al eje.
Elipse:
El plano secante forma con el eje un ángulo () menor que con las
generatrices ()
En ambos casos la cónica es una curva cerrada y corta a todas las generatrices
Parábola:
El plano secante es paralelo a una generatriz, cortando a una sola de las hojas
de la superficie cónica.  = 
 = 90º
>
Hipérbola:
El plano secante forma con el eje un ángulo () menor que con las
generatrices () y corta a las dos hojas de la superficie cónica.
En ambos casos la cónica es una curva abierta y no corta a todas las
generatrices.
Parábola
=
Hipérbola
<
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Circunferencia como sección de un cono
Al cortar la superficie cónica con un plano se obtienen unas curvas que se llaman cónicas.
Las distintas posiciones del plano determinan diferentes cónicas.
Circunferencia: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano secante es
perpendicular al eje del cono, corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice.
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Estudio sintético de la circunferencia
Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo llamado centro.
Centro
C
P
Diámetro
Arco
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Ecuación de la circunferencia
2
2
P(x, y)  Circunferencia d(P, C) = r  (x – a) +(y – b) = r
Ecuación analítica de la circunferencia: (x – a)2+(y – b)2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
x2 + y2 +D x + E y
+F
=0
Inversamente: dada x2 + y2 +D x + E y + F = 0 su centro y el radio serán:
a = – D

2
–2a
=
D


E
–2b
=
E
b = – 2

 2 2 2

 a +b –r = F
1
r = a2+b2–F = 2 D2+E2–4F
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Condiciones para que una ecuación represente a una circunferencia
–2akx –2bky +k(a2+b2 – R2)=0
kx2
+ky2
Ax2
+By2 +Cxy +D x +E y +
F
=0
Identificando coeficientes se obtiene:



De las dos primeras ecuaciones A = B = k.
1
D
E
Y de las tres últimas: a = – 2A ; b = – 2A ; R = 2A
2
2
D +E –4AF
C=0
Si es negativo no existe circunferencia.
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Posiciones relativas de un punto y una circunferencia
Si d(P, O) > r el punto P
es exterior
Si d(P, O) = r el punto P
está en la circunferencia
Si d(P, O) < r el punto P
es interior
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Posiciones relativas de una circunferencia y una recta
• Si d(O, s) > r, la recta s
es exterior.
• Recta y circunferencia
no tienen puntos en
común.
• Si d(O, s) = r, la recta s
es tangente.
• Recta y circunferencia
tienen un punto en
común.
• Si d(O, s) < r, la recta s
es secante.
• Recta y circunferencia
tienen dos puntos en
común.
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Posiciones relativas de una recta y una circunferencia
Para saber cuántos puntos en común tienen una recta a x + b y + c=0 y una circunferencia
Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0 hemos de saber cuántas soluciones tiene el sistema
ax+by+c=0
Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0
Al despejar y de la ecuación de arriba y sustituir en la de abajo obtenemos
Mx2 + Nx + P = 0
D= N2 - 4 M P > 0 
 dos soluciones 
 dos puntos de contacto
D= N2 - 4 M P = 0 
 una solución 
 un punto de contacto
D= N2 - 4 M P < 0 
 sin solución 
 sin puntos de contacto
•
•
•
Recta secante
Recta tangente
Recta exterior
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Posiciones relativas de dos circunferencias
• Si d(O, O') > r + r', las
circunferencias son
exteriores.
• Las circunferencias no
tienen puntos en común.
• Si d(O, O') = r + r', las
circunferencias son
tangentes exteriores.
• Si d(O, O') = r – r', las
circunferencias son
tangentes interiores.
• Las circunferencias
tienen un punto en
común.
• Si d(O, O') < r – r', las
circunferencias son
interiores.
• Si además tienen el
mismo centro son
concéntricas.
• Las circunferencias no
tienen puntos en común.
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Potencia de un punto respecto a una circunferencia
• Los triángulos PAB' y PA'B son semejantes  PA . PB = PA' . PB‘
• Se define Potc(P) = PA . PB = PA' . PB'
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Expresión analítica de la potencia
d=
2
2
(xo–a) +(yo–b)
Potc(P) = PA . PB = (d – r) (d + r) = d2 – r2 = (xo – a)2 + (yo – b)2 – r2
Por tanto: para hallar la potencia de un punto respecto a una circunferencia
se sustituyen las coordenadas del punto en la ecuación de la circunferencia.
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Potencia y posición relativa
P exterior a la
circunferencia 
Potc(P) > 0
P interior a la
circunferencia 
Potc(P) < 0
P sobre la
circunferencia 
Potc(P) = 0
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Eje radical de dos circunferencias
Se define el eje radical de dos circunferencias como el lugar geométrico de los
puntos del planos que tienen igual potencia respecto de ambas.
• Sean C1:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 y C2 :x2 + y2 + D'x + E'y + F' = 0.
• Para que un punto P(x, y) pertenezca al eje radical se ha de cumplir que PotC (P) =
1
= PotC (P) . Es decir:
2
x2 + y2 + Dx + Ey + F = x2 + y2 + D'x + E'y + F' 
(D – D') x + (E – E') y + (F – F') = 0
Por tanto: el eje radical de dos circunferencias es una recta.
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Estudio geométrico del eje radical de dos circunferencias
El eje radical es siempre perpendicular a la línea de centros.
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Parábola como secciones de un cono
Parábola: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano secante es
oblicuo al eje del cono, paralelo a una generatriz y no pasa por el vértice.
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Ecuación de la parábola: eje en OY y ramas hacia arriba
Para obtener una ecuación sencilla de la parábola, se puede situar el foco, F, en el eje de
ordenadas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa
paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro.
Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(0, p/2) y d: y = – p/2
• P(x, y)
P(x, y)  parábola  d(P, F) = d(P, d) 
y + p 
2 

p 2 
2
x + y –  = 
2  02 + 12


Eliminando radicales: x2 = 2py
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Estudio sintético de la parábola
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P, que equidistan de un
punto fijo F llamado foco y de una recta d llamada directriz.
Eje
•P
e=
•
d(P, F)
=1
d(P, d)
La excentricidad de la
parábola es 1.
F: foco
Parámetro
V: vértice
d: directriz
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Ecuación de la parábola: eje en OY y ramas hacia abajo
Para obtener una ecuación sencilla de la parábola se puede situar el foco, F, en el eje de
ordenadas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa
paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro.
Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(0, – p/2) y d: y = p/2
• P(x, y)
P(x, y)  parábola  d(P, F) = d(P, d) 
 y – p 
2 

p 2 
2
x + y +  = 
2  02 + 12


Eliminando radicales: x2 = – 2py
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Ecuación de la parábola: eje en OX y ramas hacia la derecha
Para obtener una ecuación sencilla de la parábola se puede situar el foco, F, en el eje de
abcisas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa
paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro.
Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(p/2, 0) y d: x = – p/2
• P(x, y)
P(x, y)  parábola  d(P, F) = d(P, d) 
x + p 

2 

p 2
2
x –  + y = 
2
2
2

 1 +0
Eliminando radicales: y2 = 2px
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Ecuación de la parábola: eje en OX y ramas hacia la izquierda
Para obtener una ecuación sencilla de la parábola se puede situar el foco, F, en el eje
de abcisas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa
paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro.
Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(– p/2, 0) y d: x = p/2
•
P(x, y)
P(x, y)  parábola  d(P, F) = d(P, d) 
 x – p 

2 

p 2
2
x +  + y = 
2
2
2

 1 +0
Eliminando radicales: y2 = – 2px
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Propiedad del foco:
• Todo rayo que sale del foco se refleja en la parábola con dirección paralela al eje.
• Todo rayo que llega paralelo al eje de la parábola se refleja sobre el foco.
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Elipse como secciones de un cono
Elipse: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano secante es oblicuo al
eje del cono, corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice.
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Cónicas
Estudio sintético de la elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano, P, cuya suma de distancias
a dos puntos fijos, llamados focos (F y F'), es constante, 2a. Por tanto: PF + PF' = 2a
Eje secundario
Vértices
Eje
menor
Eje focal
Eje mayor
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Segmentos de la elipse. Relación fundamental
• A'A = A'F + FA = A'F + A'F' = 2a  OA = OA' = a
• BB' = 2b  OB = OB' = b
• FF' = 2c  OF = OF' = c
• BF + BF' = 2a  (BF = BF')  2 BF = 2a  BF = a
b
a
a2 = b2 + c2
c
a
a
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Excentricidad de la elipse
• e = c/a
• 0 < e < 1 ya que 0 < c < a
• En la medida en que e se aproxima a 0 la elipse se parece más a una circunferencia.
• En la medida en que e se aproxima a 1 la elipse se parece más a un segmento.
e = 0.1
Sucesivas elipses en las
que a = 5.
e = 0.3
e = 0.5
Los focos, cuando e pasa de
1 a 0, van acercándose
cada vez más al centro.
e = 0.7
e = 0.9
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Cónicas
Ecuación de la elipse
Para obtener una ecuación sencilla de la elipse se sitúan los focos en el eje de abscisas
simétricos respecto al origen de coordenadas, por lo que el centro de la elipse quedará
en (0,0). Las coordenadas de los focos serán entonces F(c, 0) y F'(–c, 0).
2
2
P(x, y) elipse PF + PF' = 2a  (x – c) +y +
2
2
(x + c) +y = 2a
• Eliminando radicales: (a2 – c2) x2 + a2 y2 = a2 (a2 – c2).
2
2
x
y
• Como a2 – c2 = b2. Obtenemos: b2 x2 + a2 y2 = a2 b2, y dividiendo por a2 b2: 2 + 2 = 1
a
b
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Ecuación general de las cónicas
• Las ecuaciones más sencillas de las cónicas se obtienen cuando los ejes
coordenados coinciden con sus ejes.
• ¿Qué forma tienen dichas ecuaciones cuando la cónica está situada en cualquier
parte del plano?
Traslación de
vector guía
Giro de centro
el origen y
amplitud 45º

v = (1,4)
Elipse de ecuación
Elipse de ecuación
x2 y2
9 + 4 =1
La ecuación general de una
cónica es
2
Ax +Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
donde A, B y C no son nulos
a la vez.
(x−1)2 (y−4)2
9 + 4 =1
Elipse de ecuación
(
1
1
2
(x+y) − 1 ) (
(−x+y) − 4)2
2
2
+
=1
9
4
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Tangente y normal a una elipse en un punto
b 2  x0
• Ecuación de la recta tangente: y – yo = – 2
(x – xo)
a  y0
2
a  y0
• Ecuación de la recta normal: y – yo = 2
(x – xo)
b  x0
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Hipérbola como secciones de un cono
Hipérbola: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano es paralelo al eje
del cono y no pasa por el vértice.
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Estudio sintético de la hipérbola
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P, cuya diferencia de distancias, en valor
absoluto, a dos puntos fijos, llamados focos (F y F'), es constante, 2a.
Por tanto: |PF – PF'| = 2a
Eje secundario
Vértices
Centro
Eje focal
Eje mayor
Eje
menor
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Asíntotas de la hipérbola. Relación fundamental
• A'A = AF' – A'F' = AF' – AF = 2a  OA = OA' = a
• BB' = 2b  OB = OB' = b
• FF' = 2c  OF = OF' = c
Asíntota: y = (b/a) x
b
•
a
F'
c2 = a2 + b2
c
•
2b
F
2a
Asíntota: y = – (b/a) x
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Excentricidad de la hipérbola
•
•
•
•
e = c/a
e > 1 ya que c > a
En la medida en que e se hace muy grande las ramas de la hipérbola se abren cada vez más.
En la medida en que e se aproxima a 1 las ramas se cierran sobre el eje OX.
Sucesivas hipérbolas en las que a = 5.
Los focos, al crecer e, se van alejando del
centro.
e = 1.1
e=2
e=3
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Cónicas
Ecuación de la hipérbola
Para obtener una ecuación sencilla de la hipérbola se sitúan los focos en el eje de abscisas
simétricos respecto al origen de coordenadas, por lo que el centro de la elipse quedará en (0,0).
Las coordenadas de los focos serán entonces F(c, 0) y F'(–c, 0).
2
2
P(x, y) hipérbola PF – PF'| = 2a  (x-c) +y –
2
2
(x+c) +y |= 2a
• Eliminando radicales: (c2 – a2) x2 – a2 y2 = a2 (c2 – a2).
2
• Como a2 + b2 = c2. Obtenemos: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2, y dividiendo por a2 b2:
2
x
y
2 –
2 =1
a
b
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Tangente y normal a una hipérbola en un punto
b 2  x0
•Ecuación de la recta tangente: y – yo =
(x – xo)
2
a  y0
a 2  y0
• Ecuación de la recta normal: y – yo = – 2
(x – xo)
b  x0
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Cónicas
Clasificación de las cónicas
La gráfica de cualquier cónica no degenerada de ecuación
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
• es una elipse si:
• es una parábola si:
• es una hipérbola si:
B2 – 4AC < 0
B2 – 4AC = 0
B2 – 4AC > 0
Además si B = 0 los ejes de la cónica son paralelos a los ejes coordenados, y si B  0
la cónica tiene los ejes girados respecto a los ejes cartesianos.
La ecuación general de esta
cónica es
2
Ax +Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
con B = 0 y B2 – 4AC < 0
La ecuación general de esta
cónica es
2
Ax +Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
con B = 0 y B2 – 4AC > 0
La ecuación general de esta
cónica es
2
Ax +Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
con B = 0 y B2 – 4AC = 0
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Otra clasificación de las cónicas
Dado un punto F llamado foco, una
recta fija d (que no pase por F) llamada
directriz y un número e > 0, el conjunto
de los puntos P del plano tal que
d(P, F) = e . d(P, d)
es una cónica de excentricidad e.
• Si e = 0 es una circunferencia
• Si 0 < e < 1 es una elipse
• Si e = 1 es una parábola
• Si e > 1 es una hipérbola
Elipses
Parábola
Hipérbola