Slide 1

Spis treści
Wprowadzenie
Logarytmy




Makrokosmos
 Mikrokosmos


Spirala logarytmiczna



Ciąg Fibonacciego
 Galaktyki
 Ziemia- natura




Co z tego wynika?

Logarytmy
Nasza przygoda z logarytmami zaczęła się
na pewnej lekcji matematyki. Twoja może
dopiero się rozpoczyna, albo ją dalej
kontynuujesz.
A więc logarytmem o podstawie a z liczby b
nazywamy taką liczbę c, że a podniesione
do potęgi c jest równe b, tzn.:
log a b=c wtedy i tylko wtedy, gdy a c =b

Makrokosmos
Fizyka gwiazd,czyli ich jasność
Do okreslenia janosci gwiazd okazala się pomocna skala
logarytmiczna.Obserwowaną(widomą) wielkość gwiazdowa, m(jasność
obserwowana); mierzona w magnitudo(mag) określamy zależnością:
m= -2,5 log E
Różnica wielkości gwiazdowych
Obiektów jest wyrażona wzorem pagsona:
m1-m2=-2,5 log(E1/E2)

Mikrokosmos
Zjawisko wzrostu
drobnoustrojów można
zobrazować za pomocą
krzywej wzrostu bakterii.
Na wykresie wyróżniono
sześć faz rozwoju
populacji...

I. faza spoczynkowa
II. logarytmiczna
III. zwolnionego
wzrostu

I. równowagi
II. zamierania
III. zamierania
logarytmicznego

W fazie logarytmicznej dochodzi do
intensywnych podziałów komórkowych, przez
co liczba komórek rośnie w tempie
geometrycznym, gdzie logarytm ilości bakterii
jest wprost proporcjonalny do czasu.
Wzrost w fazie log. opisuje wzór:
N= N0 * 2n ,

wzór określający swoistą szybkość przyrostu
masy organizmów bakteryjnych w jednostce
czasu i jednostkę masy już istniejącej:
M.= (ln x 2-ln x 1) / (t 2-t 1) ,
W fazie VI podziały komórek prawie
całkowicie ustają. W rezultacie liczba komórek
stale maleje. W niekorzystnych warunkach
zamieranie może zachodzić bardzo szybko.
Mówimy wtedy o fazie śmierci
logarytmicznej.

Hodowla drożdży
znajdująca się w fazie
wzrostu log. Wskazuje
na to duże zagęszczenie
komórek i obecność
komórek pączkujących.
Ta hodowla jest w fazie
obumierania.
Widać zdecydowanie
mniej komórek.
Komórki posiadają
powiększone wakuole.

Ciąg Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb,
który rozpoczyna się od 0 i 1, a każdy kolejny wyraz ciągu
jest sumą dwóch poprzednich.
Jest to jeden z najważniejszych ciągów,
o wszechstronnym zastosowaniu, nie tylko
w matematyce.
Ciąg został podany przez Leonarda z Pizy zwanego
Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci (1202)
Było to rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

1

Króliki
Fibonacciego
1

W kwadratach
podano liczbę par
na danym
„poziomie”.

2

3

5

Innym
przykładem
obecności ciągu
Fibonacciego
w przyrodzie jest
przyrost pędów
roślinnych.
Zatem wzór na zapis ciągu Fibonacciego
wygląda:

Spirala logarytmiczna
Spirala Logarytmiczna zwana też spiralą
Fibonnaciego oraz złotą spiralą. Złoty
podział, oparty jest liczbach, których
suma dwóch poprzednich daje następną,
tak na przykład: jeżeli I liczbą ciągu jest
liczba 1, tak samo jak II jest również 1,
1+1=2 następną liczbą ciągu jest 2. Idąc
dalej tym tokiem myślenia1+2=3 i tak dalej
- 2+3=5, 3+5=8 i tak w nieskończoność.

Spiralę logarytmiczną można zbudować w bardzo
prosty sposób, wykorzystując "złoty podział" , z
pewnością pomogą nam proste figury
geometryczne.

Budowa galaktykspirala logarytmiczna
Galaktyki, łącznie stanowią 4,5% masy całego
Wszechświata. Każda z galaktyk spiralnych
posiada jądro otoczone dyskiem.
Droga Mleczna jest
jedną z galaktyk spiralnych.

Rodzaje galaktyk:

1. Eliptyczna
2.Soczewkowata

3.Nieregularne
4.Spiralne

Ciąg Fibonacciego w
naturze
W przyrodzie istnieja dużo bardziej
racjonalne przypadki ciągu niż twierdzenie
o królikach. Dowodem tego moga być np.:
Układ pestek w tarczy słonecznika, lub uklad
łusek w szysce.

Co z tego wynika?
W trakcie naszej prezentacji miałeś okazję
przekonać się, iż logarytmy otaczają cały
twój świat. Nurtuje nas jedno pytanie: czy
tak cudowny świat można opisać za
pomocą zjawiska, jakimi są logarytmy?
Na to pytanie niestety nikt nie jest w stanie
odpowiedzieć.

Literatura:

Bibliografia

Astronomia, Państwowe zakłady wydawnictw szkolnych, Warszawa 1973
J. Nicklin, K. Graeme- Cook, R. Killington, Mikrobiologia - Krótkie wykłady wyd. II popr. i unow., PWN,
Warszawa 2004
E. Solomon, L. Berg, D. Martin, C. A. Villee, Biologia, wyd. II popr., (wg III wyd. amer.) MULTICO
Oficyna Wydawnicza, Warszawa 2000
T. Szymczyk, S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne,
astronomiczne
James Trefil, 1001 Spotkań z nauką, wyd. Świat Książki, Warszawa 1997
Matematyka Fizyka Chemia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004
F. Sherman, Getting started with yeast

M. Prescott, Microbiology, 5th edition (2002)
Zdjęcia mikroskopowe drożdży pochodzą z materiałów ćwiczeniowych z przedmiotu pracownia
inżynierii genetycznej na Międzyuczelnianym Wydziale Biotechnologii UG i GUMed
Strony internetowe:
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node103.html
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node102.html
http://news.astronet.pl/3012
http://gwiazdozbiory.eulersoft.com.pl/dod_JasnosciGwiazd.html
http://scientist.pl/viewtopic.php?t=1774


Slide 2

Spis treści
Wprowadzenie
Logarytmy




Makrokosmos
 Mikrokosmos


Spirala logarytmiczna



Ciąg Fibonacciego
 Galaktyki
 Ziemia- natura




Co z tego wynika?

Logarytmy
Nasza przygoda z logarytmami zaczęła się
na pewnej lekcji matematyki. Twoja może
dopiero się rozpoczyna, albo ją dalej
kontynuujesz.
A więc logarytmem o podstawie a z liczby b
nazywamy taką liczbę c, że a podniesione
do potęgi c jest równe b, tzn.:
log a b=c wtedy i tylko wtedy, gdy a c =b

Makrokosmos
Fizyka gwiazd,czyli ich jasność
Do okreslenia janosci gwiazd okazala się pomocna skala
logarytmiczna.Obserwowaną(widomą) wielkość gwiazdowa, m(jasność
obserwowana); mierzona w magnitudo(mag) określamy zależnością:
m= -2,5 log E
Różnica wielkości gwiazdowych
Obiektów jest wyrażona wzorem pagsona:
m1-m2=-2,5 log(E1/E2)

Mikrokosmos
Zjawisko wzrostu
drobnoustrojów można
zobrazować za pomocą
krzywej wzrostu bakterii.
Na wykresie wyróżniono
sześć faz rozwoju
populacji...

I. faza spoczynkowa
II. logarytmiczna
III. zwolnionego
wzrostu

I. równowagi
II. zamierania
III. zamierania
logarytmicznego

W fazie logarytmicznej dochodzi do
intensywnych podziałów komórkowych, przez
co liczba komórek rośnie w tempie
geometrycznym, gdzie logarytm ilości bakterii
jest wprost proporcjonalny do czasu.
Wzrost w fazie log. opisuje wzór:
N= N0 * 2n ,

wzór określający swoistą szybkość przyrostu
masy organizmów bakteryjnych w jednostce
czasu i jednostkę masy już istniejącej:
M.= (ln x 2-ln x 1) / (t 2-t 1) ,
W fazie VI podziały komórek prawie
całkowicie ustają. W rezultacie liczba komórek
stale maleje. W niekorzystnych warunkach
zamieranie może zachodzić bardzo szybko.
Mówimy wtedy o fazie śmierci
logarytmicznej.

Hodowla drożdży
znajdująca się w fazie
wzrostu log. Wskazuje
na to duże zagęszczenie
komórek i obecność
komórek pączkujących.
Ta hodowla jest w fazie
obumierania.
Widać zdecydowanie
mniej komórek.
Komórki posiadają
powiększone wakuole.

Ciąg Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb,
który rozpoczyna się od 0 i 1, a każdy kolejny wyraz ciągu
jest sumą dwóch poprzednich.
Jest to jeden z najważniejszych ciągów,
o wszechstronnym zastosowaniu, nie tylko
w matematyce.
Ciąg został podany przez Leonarda z Pizy zwanego
Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci (1202)
Było to rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

1

Króliki
Fibonacciego
1

W kwadratach
podano liczbę par
na danym
„poziomie”.

2

3

5

Innym
przykładem
obecności ciągu
Fibonacciego
w przyrodzie jest
przyrost pędów
roślinnych.
Zatem wzór na zapis ciągu Fibonacciego
wygląda:

Spirala logarytmiczna
Spirala Logarytmiczna zwana też spiralą
Fibonnaciego oraz złotą spiralą. Złoty
podział, oparty jest liczbach, których
suma dwóch poprzednich daje następną,
tak na przykład: jeżeli I liczbą ciągu jest
liczba 1, tak samo jak II jest również 1,
1+1=2 następną liczbą ciągu jest 2. Idąc
dalej tym tokiem myślenia1+2=3 i tak dalej
- 2+3=5, 3+5=8 i tak w nieskończoność.

Spiralę logarytmiczną można zbudować w bardzo
prosty sposób, wykorzystując "złoty podział" , z
pewnością pomogą nam proste figury
geometryczne.

Budowa galaktykspirala logarytmiczna
Galaktyki, łącznie stanowią 4,5% masy całego
Wszechświata. Każda z galaktyk spiralnych
posiada jądro otoczone dyskiem.
Droga Mleczna jest
jedną z galaktyk spiralnych.

Rodzaje galaktyk:

1. Eliptyczna
2.Soczewkowata

3.Nieregularne
4.Spiralne

Ciąg Fibonacciego w
naturze
W przyrodzie istnieja dużo bardziej
racjonalne przypadki ciągu niż twierdzenie
o królikach. Dowodem tego moga być np.:
Układ pestek w tarczy słonecznika, lub uklad
łusek w szysce.

Co z tego wynika?
W trakcie naszej prezentacji miałeś okazję
przekonać się, iż logarytmy otaczają cały
twój świat. Nurtuje nas jedno pytanie: czy
tak cudowny świat można opisać za
pomocą zjawiska, jakimi są logarytmy?
Na to pytanie niestety nikt nie jest w stanie
odpowiedzieć.

Literatura:

Bibliografia

Astronomia, Państwowe zakłady wydawnictw szkolnych, Warszawa 1973
J. Nicklin, K. Graeme- Cook, R. Killington, Mikrobiologia - Krótkie wykłady wyd. II popr. i unow., PWN,
Warszawa 2004
E. Solomon, L. Berg, D. Martin, C. A. Villee, Biologia, wyd. II popr., (wg III wyd. amer.) MULTICO
Oficyna Wydawnicza, Warszawa 2000
T. Szymczyk, S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne,
astronomiczne
James Trefil, 1001 Spotkań z nauką, wyd. Świat Książki, Warszawa 1997
Matematyka Fizyka Chemia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004
F. Sherman, Getting started with yeast

M. Prescott, Microbiology, 5th edition (2002)
Zdjęcia mikroskopowe drożdży pochodzą z materiałów ćwiczeniowych z przedmiotu pracownia
inżynierii genetycznej na Międzyuczelnianym Wydziale Biotechnologii UG i GUMed
Strony internetowe:
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node103.html
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node102.html
http://news.astronet.pl/3012
http://gwiazdozbiory.eulersoft.com.pl/dod_JasnosciGwiazd.html
http://scientist.pl/viewtopic.php?t=1774


Slide 3

Spis treści
Wprowadzenie
Logarytmy




Makrokosmos
 Mikrokosmos


Spirala logarytmiczna



Ciąg Fibonacciego
 Galaktyki
 Ziemia- natura




Co z tego wynika?

Logarytmy
Nasza przygoda z logarytmami zaczęła się
na pewnej lekcji matematyki. Twoja może
dopiero się rozpoczyna, albo ją dalej
kontynuujesz.
A więc logarytmem o podstawie a z liczby b
nazywamy taką liczbę c, że a podniesione
do potęgi c jest równe b, tzn.:
log a b=c wtedy i tylko wtedy, gdy a c =b

Makrokosmos
Fizyka gwiazd,czyli ich jasność
Do okreslenia janosci gwiazd okazala się pomocna skala
logarytmiczna.Obserwowaną(widomą) wielkość gwiazdowa, m(jasność
obserwowana); mierzona w magnitudo(mag) określamy zależnością:
m= -2,5 log E
Różnica wielkości gwiazdowych
Obiektów jest wyrażona wzorem pagsona:
m1-m2=-2,5 log(E1/E2)

Mikrokosmos
Zjawisko wzrostu
drobnoustrojów można
zobrazować za pomocą
krzywej wzrostu bakterii.
Na wykresie wyróżniono
sześć faz rozwoju
populacji...

I. faza spoczynkowa
II. logarytmiczna
III. zwolnionego
wzrostu

I. równowagi
II. zamierania
III. zamierania
logarytmicznego

W fazie logarytmicznej dochodzi do
intensywnych podziałów komórkowych, przez
co liczba komórek rośnie w tempie
geometrycznym, gdzie logarytm ilości bakterii
jest wprost proporcjonalny do czasu.
Wzrost w fazie log. opisuje wzór:
N= N0 * 2n ,

wzór określający swoistą szybkość przyrostu
masy organizmów bakteryjnych w jednostce
czasu i jednostkę masy już istniejącej:
M.= (ln x 2-ln x 1) / (t 2-t 1) ,
W fazie VI podziały komórek prawie
całkowicie ustają. W rezultacie liczba komórek
stale maleje. W niekorzystnych warunkach
zamieranie może zachodzić bardzo szybko.
Mówimy wtedy o fazie śmierci
logarytmicznej.

Hodowla drożdży
znajdująca się w fazie
wzrostu log. Wskazuje
na to duże zagęszczenie
komórek i obecność
komórek pączkujących.
Ta hodowla jest w fazie
obumierania.
Widać zdecydowanie
mniej komórek.
Komórki posiadają
powiększone wakuole.

Ciąg Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb,
który rozpoczyna się od 0 i 1, a każdy kolejny wyraz ciągu
jest sumą dwóch poprzednich.
Jest to jeden z najważniejszych ciągów,
o wszechstronnym zastosowaniu, nie tylko
w matematyce.
Ciąg został podany przez Leonarda z Pizy zwanego
Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci (1202)
Było to rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

1

Króliki
Fibonacciego
1

W kwadratach
podano liczbę par
na danym
„poziomie”.

2

3

5

Innym
przykładem
obecności ciągu
Fibonacciego
w przyrodzie jest
przyrost pędów
roślinnych.
Zatem wzór na zapis ciągu Fibonacciego
wygląda:

Spirala logarytmiczna
Spirala Logarytmiczna zwana też spiralą
Fibonnaciego oraz złotą spiralą. Złoty
podział, oparty jest liczbach, których
suma dwóch poprzednich daje następną,
tak na przykład: jeżeli I liczbą ciągu jest
liczba 1, tak samo jak II jest również 1,
1+1=2 następną liczbą ciągu jest 2. Idąc
dalej tym tokiem myślenia1+2=3 i tak dalej
- 2+3=5, 3+5=8 i tak w nieskończoność.

Spiralę logarytmiczną można zbudować w bardzo
prosty sposób, wykorzystując "złoty podział" , z
pewnością pomogą nam proste figury
geometryczne.

Budowa galaktykspirala logarytmiczna
Galaktyki, łącznie stanowią 4,5% masy całego
Wszechświata. Każda z galaktyk spiralnych
posiada jądro otoczone dyskiem.
Droga Mleczna jest
jedną z galaktyk spiralnych.

Rodzaje galaktyk:

1. Eliptyczna
2.Soczewkowata

3.Nieregularne
4.Spiralne

Ciąg Fibonacciego w
naturze
W przyrodzie istnieja dużo bardziej
racjonalne przypadki ciągu niż twierdzenie
o królikach. Dowodem tego moga być np.:
Układ pestek w tarczy słonecznika, lub uklad
łusek w szysce.

Co z tego wynika?
W trakcie naszej prezentacji miałeś okazję
przekonać się, iż logarytmy otaczają cały
twój świat. Nurtuje nas jedno pytanie: czy
tak cudowny świat można opisać za
pomocą zjawiska, jakimi są logarytmy?
Na to pytanie niestety nikt nie jest w stanie
odpowiedzieć.

Literatura:

Bibliografia

Astronomia, Państwowe zakłady wydawnictw szkolnych, Warszawa 1973
J. Nicklin, K. Graeme- Cook, R. Killington, Mikrobiologia - Krótkie wykłady wyd. II popr. i unow., PWN,
Warszawa 2004
E. Solomon, L. Berg, D. Martin, C. A. Villee, Biologia, wyd. II popr., (wg III wyd. amer.) MULTICO
Oficyna Wydawnicza, Warszawa 2000
T. Szymczyk, S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne,
astronomiczne
James Trefil, 1001 Spotkań z nauką, wyd. Świat Książki, Warszawa 1997
Matematyka Fizyka Chemia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004
F. Sherman, Getting started with yeast

M. Prescott, Microbiology, 5th edition (2002)
Zdjęcia mikroskopowe drożdży pochodzą z materiałów ćwiczeniowych z przedmiotu pracownia
inżynierii genetycznej na Międzyuczelnianym Wydziale Biotechnologii UG i GUMed
Strony internetowe:
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node103.html
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node102.html
http://news.astronet.pl/3012
http://gwiazdozbiory.eulersoft.com.pl/dod_JasnosciGwiazd.html
http://scientist.pl/viewtopic.php?t=1774


Slide 4

Spis treści
Wprowadzenie
Logarytmy




Makrokosmos
 Mikrokosmos


Spirala logarytmiczna



Ciąg Fibonacciego
 Galaktyki
 Ziemia- natura




Co z tego wynika?

Logarytmy
Nasza przygoda z logarytmami zaczęła się
na pewnej lekcji matematyki. Twoja może
dopiero się rozpoczyna, albo ją dalej
kontynuujesz.
A więc logarytmem o podstawie a z liczby b
nazywamy taką liczbę c, że a podniesione
do potęgi c jest równe b, tzn.:
log a b=c wtedy i tylko wtedy, gdy a c =b

Makrokosmos
Fizyka gwiazd,czyli ich jasność
Do okreslenia janosci gwiazd okazala się pomocna skala
logarytmiczna.Obserwowaną(widomą) wielkość gwiazdowa, m(jasność
obserwowana); mierzona w magnitudo(mag) określamy zależnością:
m= -2,5 log E
Różnica wielkości gwiazdowych
Obiektów jest wyrażona wzorem pagsona:
m1-m2=-2,5 log(E1/E2)

Mikrokosmos
Zjawisko wzrostu
drobnoustrojów można
zobrazować za pomocą
krzywej wzrostu bakterii.
Na wykresie wyróżniono
sześć faz rozwoju
populacji...

I. faza spoczynkowa
II. logarytmiczna
III. zwolnionego
wzrostu

I. równowagi
II. zamierania
III. zamierania
logarytmicznego

W fazie logarytmicznej dochodzi do
intensywnych podziałów komórkowych, przez
co liczba komórek rośnie w tempie
geometrycznym, gdzie logarytm ilości bakterii
jest wprost proporcjonalny do czasu.
Wzrost w fazie log. opisuje wzór:
N= N0 * 2n ,

wzór określający swoistą szybkość przyrostu
masy organizmów bakteryjnych w jednostce
czasu i jednostkę masy już istniejącej:
M.= (ln x 2-ln x 1) / (t 2-t 1) ,
W fazie VI podziały komórek prawie
całkowicie ustają. W rezultacie liczba komórek
stale maleje. W niekorzystnych warunkach
zamieranie może zachodzić bardzo szybko.
Mówimy wtedy o fazie śmierci
logarytmicznej.

Hodowla drożdży
znajdująca się w fazie
wzrostu log. Wskazuje
na to duże zagęszczenie
komórek i obecność
komórek pączkujących.
Ta hodowla jest w fazie
obumierania.
Widać zdecydowanie
mniej komórek.
Komórki posiadają
powiększone wakuole.

Ciąg Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb,
który rozpoczyna się od 0 i 1, a każdy kolejny wyraz ciągu
jest sumą dwóch poprzednich.
Jest to jeden z najważniejszych ciągów,
o wszechstronnym zastosowaniu, nie tylko
w matematyce.
Ciąg został podany przez Leonarda z Pizy zwanego
Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci (1202)
Było to rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

1

Króliki
Fibonacciego
1

W kwadratach
podano liczbę par
na danym
„poziomie”.

2

3

5

Innym
przykładem
obecności ciągu
Fibonacciego
w przyrodzie jest
przyrost pędów
roślinnych.
Zatem wzór na zapis ciągu Fibonacciego
wygląda:

Spirala logarytmiczna
Spirala Logarytmiczna zwana też spiralą
Fibonnaciego oraz złotą spiralą. Złoty
podział, oparty jest liczbach, których
suma dwóch poprzednich daje następną,
tak na przykład: jeżeli I liczbą ciągu jest
liczba 1, tak samo jak II jest również 1,
1+1=2 następną liczbą ciągu jest 2. Idąc
dalej tym tokiem myślenia1+2=3 i tak dalej
- 2+3=5, 3+5=8 i tak w nieskończoność.

Spiralę logarytmiczną można zbudować w bardzo
prosty sposób, wykorzystując "złoty podział" , z
pewnością pomogą nam proste figury
geometryczne.

Budowa galaktykspirala logarytmiczna
Galaktyki, łącznie stanowią 4,5% masy całego
Wszechświata. Każda z galaktyk spiralnych
posiada jądro otoczone dyskiem.
Droga Mleczna jest
jedną z galaktyk spiralnych.

Rodzaje galaktyk:

1. Eliptyczna
2.Soczewkowata

3.Nieregularne
4.Spiralne

Ciąg Fibonacciego w
naturze
W przyrodzie istnieja dużo bardziej
racjonalne przypadki ciągu niż twierdzenie
o królikach. Dowodem tego moga być np.:
Układ pestek w tarczy słonecznika, lub uklad
łusek w szysce.

Co z tego wynika?
W trakcie naszej prezentacji miałeś okazję
przekonać się, iż logarytmy otaczają cały
twój świat. Nurtuje nas jedno pytanie: czy
tak cudowny świat można opisać za
pomocą zjawiska, jakimi są logarytmy?
Na to pytanie niestety nikt nie jest w stanie
odpowiedzieć.

Literatura:

Bibliografia

Astronomia, Państwowe zakłady wydawnictw szkolnych, Warszawa 1973
J. Nicklin, K. Graeme- Cook, R. Killington, Mikrobiologia - Krótkie wykłady wyd. II popr. i unow., PWN,
Warszawa 2004
E. Solomon, L. Berg, D. Martin, C. A. Villee, Biologia, wyd. II popr., (wg III wyd. amer.) MULTICO
Oficyna Wydawnicza, Warszawa 2000
T. Szymczyk, S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne,
astronomiczne
James Trefil, 1001 Spotkań z nauką, wyd. Świat Książki, Warszawa 1997
Matematyka Fizyka Chemia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004
F. Sherman, Getting started with yeast

M. Prescott, Microbiology, 5th edition (2002)
Zdjęcia mikroskopowe drożdży pochodzą z materiałów ćwiczeniowych z przedmiotu pracownia
inżynierii genetycznej na Międzyuczelnianym Wydziale Biotechnologii UG i GUMed
Strony internetowe:
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node103.html
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node102.html
http://news.astronet.pl/3012
http://gwiazdozbiory.eulersoft.com.pl/dod_JasnosciGwiazd.html
http://scientist.pl/viewtopic.php?t=1774


Slide 5

Spis treści
Wprowadzenie
Logarytmy




Makrokosmos
 Mikrokosmos


Spirala logarytmiczna



Ciąg Fibonacciego
 Galaktyki
 Ziemia- natura




Co z tego wynika?

Logarytmy
Nasza przygoda z logarytmami zaczęła się
na pewnej lekcji matematyki. Twoja może
dopiero się rozpoczyna, albo ją dalej
kontynuujesz.
A więc logarytmem o podstawie a z liczby b
nazywamy taką liczbę c, że a podniesione
do potęgi c jest równe b, tzn.:
log a b=c wtedy i tylko wtedy, gdy a c =b

Makrokosmos
Fizyka gwiazd,czyli ich jasność
Do okreslenia janosci gwiazd okazala się pomocna skala
logarytmiczna.Obserwowaną(widomą) wielkość gwiazdowa, m(jasność
obserwowana); mierzona w magnitudo(mag) określamy zależnością:
m= -2,5 log E
Różnica wielkości gwiazdowych
Obiektów jest wyrażona wzorem pagsona:
m1-m2=-2,5 log(E1/E2)

Mikrokosmos
Zjawisko wzrostu
drobnoustrojów można
zobrazować za pomocą
krzywej wzrostu bakterii.
Na wykresie wyróżniono
sześć faz rozwoju
populacji...

I. faza spoczynkowa
II. logarytmiczna
III. zwolnionego
wzrostu

I. równowagi
II. zamierania
III. zamierania
logarytmicznego

W fazie logarytmicznej dochodzi do
intensywnych podziałów komórkowych, przez
co liczba komórek rośnie w tempie
geometrycznym, gdzie logarytm ilości bakterii
jest wprost proporcjonalny do czasu.
Wzrost w fazie log. opisuje wzór:
N= N0 * 2n ,

wzór określający swoistą szybkość przyrostu
masy organizmów bakteryjnych w jednostce
czasu i jednostkę masy już istniejącej:
M.= (ln x 2-ln x 1) / (t 2-t 1) ,
W fazie VI podziały komórek prawie
całkowicie ustają. W rezultacie liczba komórek
stale maleje. W niekorzystnych warunkach
zamieranie może zachodzić bardzo szybko.
Mówimy wtedy o fazie śmierci
logarytmicznej.

Hodowla drożdży
znajdująca się w fazie
wzrostu log. Wskazuje
na to duże zagęszczenie
komórek i obecność
komórek pączkujących.
Ta hodowla jest w fazie
obumierania.
Widać zdecydowanie
mniej komórek.
Komórki posiadają
powiększone wakuole.

Ciąg Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb,
który rozpoczyna się od 0 i 1, a każdy kolejny wyraz ciągu
jest sumą dwóch poprzednich.
Jest to jeden z najważniejszych ciągów,
o wszechstronnym zastosowaniu, nie tylko
w matematyce.
Ciąg został podany przez Leonarda z Pizy zwanego
Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci (1202)
Było to rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

1

Króliki
Fibonacciego
1

W kwadratach
podano liczbę par
na danym
„poziomie”.

2

3

5

Innym
przykładem
obecności ciągu
Fibonacciego
w przyrodzie jest
przyrost pędów
roślinnych.
Zatem wzór na zapis ciągu Fibonacciego
wygląda:

Spirala logarytmiczna
Spirala Logarytmiczna zwana też spiralą
Fibonnaciego oraz złotą spiralą. Złoty
podział, oparty jest liczbach, których
suma dwóch poprzednich daje następną,
tak na przykład: jeżeli I liczbą ciągu jest
liczba 1, tak samo jak II jest również 1,
1+1=2 następną liczbą ciągu jest 2. Idąc
dalej tym tokiem myślenia1+2=3 i tak dalej
- 2+3=5, 3+5=8 i tak w nieskończoność.

Spiralę logarytmiczną można zbudować w bardzo
prosty sposób, wykorzystując "złoty podział" , z
pewnością pomogą nam proste figury
geometryczne.

Budowa galaktykspirala logarytmiczna
Galaktyki, łącznie stanowią 4,5% masy całego
Wszechświata. Każda z galaktyk spiralnych
posiada jądro otoczone dyskiem.
Droga Mleczna jest
jedną z galaktyk spiralnych.

Rodzaje galaktyk:

1. Eliptyczna
2.Soczewkowata

3.Nieregularne
4.Spiralne

Ciąg Fibonacciego w
naturze
W przyrodzie istnieja dużo bardziej
racjonalne przypadki ciągu niż twierdzenie
o królikach. Dowodem tego moga być np.:
Układ pestek w tarczy słonecznika, lub uklad
łusek w szysce.

Co z tego wynika?
W trakcie naszej prezentacji miałeś okazję
przekonać się, iż logarytmy otaczają cały
twój świat. Nurtuje nas jedno pytanie: czy
tak cudowny świat można opisać za
pomocą zjawiska, jakimi są logarytmy?
Na to pytanie niestety nikt nie jest w stanie
odpowiedzieć.

Literatura:

Bibliografia

Astronomia, Państwowe zakłady wydawnictw szkolnych, Warszawa 1973
J. Nicklin, K. Graeme- Cook, R. Killington, Mikrobiologia - Krótkie wykłady wyd. II popr. i unow., PWN,
Warszawa 2004
E. Solomon, L. Berg, D. Martin, C. A. Villee, Biologia, wyd. II popr., (wg III wyd. amer.) MULTICO
Oficyna Wydawnicza, Warszawa 2000
T. Szymczyk, S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne,
astronomiczne
James Trefil, 1001 Spotkań z nauką, wyd. Świat Książki, Warszawa 1997
Matematyka Fizyka Chemia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004
F. Sherman, Getting started with yeast

M. Prescott, Microbiology, 5th edition (2002)
Zdjęcia mikroskopowe drożdży pochodzą z materiałów ćwiczeniowych z przedmiotu pracownia
inżynierii genetycznej na Międzyuczelnianym Wydziale Biotechnologii UG i GUMed
Strony internetowe:
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node103.html
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node102.html
http://news.astronet.pl/3012
http://gwiazdozbiory.eulersoft.com.pl/dod_JasnosciGwiazd.html
http://scientist.pl/viewtopic.php?t=1774


Slide 6

Spis treści
Wprowadzenie
Logarytmy




Makrokosmos
 Mikrokosmos


Spirala logarytmiczna



Ciąg Fibonacciego
 Galaktyki
 Ziemia- natura




Co z tego wynika?

Logarytmy
Nasza przygoda z logarytmami zaczęła się
na pewnej lekcji matematyki. Twoja może
dopiero się rozpoczyna, albo ją dalej
kontynuujesz.
A więc logarytmem o podstawie a z liczby b
nazywamy taką liczbę c, że a podniesione
do potęgi c jest równe b, tzn.:
log a b=c wtedy i tylko wtedy, gdy a c =b

Makrokosmos
Fizyka gwiazd,czyli ich jasność
Do okreslenia janosci gwiazd okazala się pomocna skala
logarytmiczna.Obserwowaną(widomą) wielkość gwiazdowa, m(jasność
obserwowana); mierzona w magnitudo(mag) określamy zależnością:
m= -2,5 log E
Różnica wielkości gwiazdowych
Obiektów jest wyrażona wzorem pagsona:
m1-m2=-2,5 log(E1/E2)

Mikrokosmos
Zjawisko wzrostu
drobnoustrojów można
zobrazować za pomocą
krzywej wzrostu bakterii.
Na wykresie wyróżniono
sześć faz rozwoju
populacji...

I. faza spoczynkowa
II. logarytmiczna
III. zwolnionego
wzrostu

I. równowagi
II. zamierania
III. zamierania
logarytmicznego

W fazie logarytmicznej dochodzi do
intensywnych podziałów komórkowych, przez
co liczba komórek rośnie w tempie
geometrycznym, gdzie logarytm ilości bakterii
jest wprost proporcjonalny do czasu.
Wzrost w fazie log. opisuje wzór:
N= N0 * 2n ,

wzór określający swoistą szybkość przyrostu
masy organizmów bakteryjnych w jednostce
czasu i jednostkę masy już istniejącej:
M.= (ln x 2-ln x 1) / (t 2-t 1) ,
W fazie VI podziały komórek prawie
całkowicie ustają. W rezultacie liczba komórek
stale maleje. W niekorzystnych warunkach
zamieranie może zachodzić bardzo szybko.
Mówimy wtedy o fazie śmierci
logarytmicznej.

Hodowla drożdży
znajdująca się w fazie
wzrostu log. Wskazuje
na to duże zagęszczenie
komórek i obecność
komórek pączkujących.
Ta hodowla jest w fazie
obumierania.
Widać zdecydowanie
mniej komórek.
Komórki posiadają
powiększone wakuole.

Ciąg Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb,
który rozpoczyna się od 0 i 1, a każdy kolejny wyraz ciągu
jest sumą dwóch poprzednich.
Jest to jeden z najważniejszych ciągów,
o wszechstronnym zastosowaniu, nie tylko
w matematyce.
Ciąg został podany przez Leonarda z Pizy zwanego
Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci (1202)
Było to rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

1

Króliki
Fibonacciego
1

W kwadratach
podano liczbę par
na danym
„poziomie”.

2

3

5

Innym
przykładem
obecności ciągu
Fibonacciego
w przyrodzie jest
przyrost pędów
roślinnych.
Zatem wzór na zapis ciągu Fibonacciego
wygląda:

Spirala logarytmiczna
Spirala Logarytmiczna zwana też spiralą
Fibonnaciego oraz złotą spiralą. Złoty
podział, oparty jest liczbach, których
suma dwóch poprzednich daje następną,
tak na przykład: jeżeli I liczbą ciągu jest
liczba 1, tak samo jak II jest również 1,
1+1=2 następną liczbą ciągu jest 2. Idąc
dalej tym tokiem myślenia1+2=3 i tak dalej
- 2+3=5, 3+5=8 i tak w nieskończoność.

Spiralę logarytmiczną można zbudować w bardzo
prosty sposób, wykorzystując "złoty podział" , z
pewnością pomogą nam proste figury
geometryczne.

Budowa galaktykspirala logarytmiczna
Galaktyki, łącznie stanowią 4,5% masy całego
Wszechświata. Każda z galaktyk spiralnych
posiada jądro otoczone dyskiem.
Droga Mleczna jest
jedną z galaktyk spiralnych.

Rodzaje galaktyk:

1. Eliptyczna
2.Soczewkowata

3.Nieregularne
4.Spiralne

Ciąg Fibonacciego w
naturze
W przyrodzie istnieja dużo bardziej
racjonalne przypadki ciągu niż twierdzenie
o królikach. Dowodem tego moga być np.:
Układ pestek w tarczy słonecznika, lub uklad
łusek w szysce.

Co z tego wynika?
W trakcie naszej prezentacji miałeś okazję
przekonać się, iż logarytmy otaczają cały
twój świat. Nurtuje nas jedno pytanie: czy
tak cudowny świat można opisać za
pomocą zjawiska, jakimi są logarytmy?
Na to pytanie niestety nikt nie jest w stanie
odpowiedzieć.

Literatura:

Bibliografia

Astronomia, Państwowe zakłady wydawnictw szkolnych, Warszawa 1973
J. Nicklin, K. Graeme- Cook, R. Killington, Mikrobiologia - Krótkie wykłady wyd. II popr. i unow., PWN,
Warszawa 2004
E. Solomon, L. Berg, D. Martin, C. A. Villee, Biologia, wyd. II popr., (wg III wyd. amer.) MULTICO
Oficyna Wydawnicza, Warszawa 2000
T. Szymczyk, S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne,
astronomiczne
James Trefil, 1001 Spotkań z nauką, wyd. Świat Książki, Warszawa 1997
Matematyka Fizyka Chemia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004
F. Sherman, Getting started with yeast

M. Prescott, Microbiology, 5th edition (2002)
Zdjęcia mikroskopowe drożdży pochodzą z materiałów ćwiczeniowych z przedmiotu pracownia
inżynierii genetycznej na Międzyuczelnianym Wydziale Biotechnologii UG i GUMed
Strony internetowe:
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node103.html
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node102.html
http://news.astronet.pl/3012
http://gwiazdozbiory.eulersoft.com.pl/dod_JasnosciGwiazd.html
http://scientist.pl/viewtopic.php?t=1774


Slide 7

Spis treści
Wprowadzenie
Logarytmy




Makrokosmos
 Mikrokosmos


Spirala logarytmiczna



Ciąg Fibonacciego
 Galaktyki
 Ziemia- natura




Co z tego wynika?

Logarytmy
Nasza przygoda z logarytmami zaczęła się
na pewnej lekcji matematyki. Twoja może
dopiero się rozpoczyna, albo ją dalej
kontynuujesz.
A więc logarytmem o podstawie a z liczby b
nazywamy taką liczbę c, że a podniesione
do potęgi c jest równe b, tzn.:
log a b=c wtedy i tylko wtedy, gdy a c =b

Makrokosmos
Fizyka gwiazd,czyli ich jasność
Do okreslenia janosci gwiazd okazala się pomocna skala
logarytmiczna.Obserwowaną(widomą) wielkość gwiazdowa, m(jasność
obserwowana); mierzona w magnitudo(mag) określamy zależnością:
m= -2,5 log E
Różnica wielkości gwiazdowych
Obiektów jest wyrażona wzorem pagsona:
m1-m2=-2,5 log(E1/E2)

Mikrokosmos
Zjawisko wzrostu
drobnoustrojów można
zobrazować za pomocą
krzywej wzrostu bakterii.
Na wykresie wyróżniono
sześć faz rozwoju
populacji...

I. faza spoczynkowa
II. logarytmiczna
III. zwolnionego
wzrostu

I. równowagi
II. zamierania
III. zamierania
logarytmicznego

W fazie logarytmicznej dochodzi do
intensywnych podziałów komórkowych, przez
co liczba komórek rośnie w tempie
geometrycznym, gdzie logarytm ilości bakterii
jest wprost proporcjonalny do czasu.
Wzrost w fazie log. opisuje wzór:
N= N0 * 2n ,

wzór określający swoistą szybkość przyrostu
masy organizmów bakteryjnych w jednostce
czasu i jednostkę masy już istniejącej:
M.= (ln x 2-ln x 1) / (t 2-t 1) ,
W fazie VI podziały komórek prawie
całkowicie ustają. W rezultacie liczba komórek
stale maleje. W niekorzystnych warunkach
zamieranie może zachodzić bardzo szybko.
Mówimy wtedy o fazie śmierci
logarytmicznej.

Hodowla drożdży
znajdująca się w fazie
wzrostu log. Wskazuje
na to duże zagęszczenie
komórek i obecność
komórek pączkujących.
Ta hodowla jest w fazie
obumierania.
Widać zdecydowanie
mniej komórek.
Komórki posiadają
powiększone wakuole.

Ciąg Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb,
który rozpoczyna się od 0 i 1, a każdy kolejny wyraz ciągu
jest sumą dwóch poprzednich.
Jest to jeden z najważniejszych ciągów,
o wszechstronnym zastosowaniu, nie tylko
w matematyce.
Ciąg został podany przez Leonarda z Pizy zwanego
Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci (1202)
Było to rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

1

Króliki
Fibonacciego
1

W kwadratach
podano liczbę par
na danym
„poziomie”.

2

3

5

Innym
przykładem
obecności ciągu
Fibonacciego
w przyrodzie jest
przyrost pędów
roślinnych.
Zatem wzór na zapis ciągu Fibonacciego
wygląda:

Spirala logarytmiczna
Spirala Logarytmiczna zwana też spiralą
Fibonnaciego oraz złotą spiralą. Złoty
podział, oparty jest liczbach, których
suma dwóch poprzednich daje następną,
tak na przykład: jeżeli I liczbą ciągu jest
liczba 1, tak samo jak II jest również 1,
1+1=2 następną liczbą ciągu jest 2. Idąc
dalej tym tokiem myślenia1+2=3 i tak dalej
- 2+3=5, 3+5=8 i tak w nieskończoność.

Spiralę logarytmiczną można zbudować w bardzo
prosty sposób, wykorzystując "złoty podział" , z
pewnością pomogą nam proste figury
geometryczne.

Budowa galaktykspirala logarytmiczna
Galaktyki, łącznie stanowią 4,5% masy całego
Wszechświata. Każda z galaktyk spiralnych
posiada jądro otoczone dyskiem.
Droga Mleczna jest
jedną z galaktyk spiralnych.

Rodzaje galaktyk:

1. Eliptyczna
2.Soczewkowata

3.Nieregularne
4.Spiralne

Ciąg Fibonacciego w
naturze
W przyrodzie istnieja dużo bardziej
racjonalne przypadki ciągu niż twierdzenie
o królikach. Dowodem tego moga być np.:
Układ pestek w tarczy słonecznika, lub uklad
łusek w szysce.

Co z tego wynika?
W trakcie naszej prezentacji miałeś okazję
przekonać się, iż logarytmy otaczają cały
twój świat. Nurtuje nas jedno pytanie: czy
tak cudowny świat można opisać za
pomocą zjawiska, jakimi są logarytmy?
Na to pytanie niestety nikt nie jest w stanie
odpowiedzieć.

Literatura:

Bibliografia

Astronomia, Państwowe zakłady wydawnictw szkolnych, Warszawa 1973
J. Nicklin, K. Graeme- Cook, R. Killington, Mikrobiologia - Krótkie wykłady wyd. II popr. i unow., PWN,
Warszawa 2004
E. Solomon, L. Berg, D. Martin, C. A. Villee, Biologia, wyd. II popr., (wg III wyd. amer.) MULTICO
Oficyna Wydawnicza, Warszawa 2000
T. Szymczyk, S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne,
astronomiczne
James Trefil, 1001 Spotkań z nauką, wyd. Świat Książki, Warszawa 1997
Matematyka Fizyka Chemia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004
F. Sherman, Getting started with yeast

M. Prescott, Microbiology, 5th edition (2002)
Zdjęcia mikroskopowe drożdży pochodzą z materiałów ćwiczeniowych z przedmiotu pracownia
inżynierii genetycznej na Międzyuczelnianym Wydziale Biotechnologii UG i GUMed
Strony internetowe:
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node103.html
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node102.html
http://news.astronet.pl/3012
http://gwiazdozbiory.eulersoft.com.pl/dod_JasnosciGwiazd.html
http://scientist.pl/viewtopic.php?t=1774


Slide 8

Spis treści
Wprowadzenie
Logarytmy




Makrokosmos
 Mikrokosmos


Spirala logarytmiczna



Ciąg Fibonacciego
 Galaktyki
 Ziemia- natura




Co z tego wynika?

Logarytmy
Nasza przygoda z logarytmami zaczęła się
na pewnej lekcji matematyki. Twoja może
dopiero się rozpoczyna, albo ją dalej
kontynuujesz.
A więc logarytmem o podstawie a z liczby b
nazywamy taką liczbę c, że a podniesione
do potęgi c jest równe b, tzn.:
log a b=c wtedy i tylko wtedy, gdy a c =b

Makrokosmos
Fizyka gwiazd,czyli ich jasność
Do okreslenia janosci gwiazd okazala się pomocna skala
logarytmiczna.Obserwowaną(widomą) wielkość gwiazdowa, m(jasność
obserwowana); mierzona w magnitudo(mag) określamy zależnością:
m= -2,5 log E
Różnica wielkości gwiazdowych
Obiektów jest wyrażona wzorem pagsona:
m1-m2=-2,5 log(E1/E2)

Mikrokosmos
Zjawisko wzrostu
drobnoustrojów można
zobrazować za pomocą
krzywej wzrostu bakterii.
Na wykresie wyróżniono
sześć faz rozwoju
populacji...

I. faza spoczynkowa
II. logarytmiczna
III. zwolnionego
wzrostu

I. równowagi
II. zamierania
III. zamierania
logarytmicznego

W fazie logarytmicznej dochodzi do
intensywnych podziałów komórkowych, przez
co liczba komórek rośnie w tempie
geometrycznym, gdzie logarytm ilości bakterii
jest wprost proporcjonalny do czasu.
Wzrost w fazie log. opisuje wzór:
N= N0 * 2n ,

wzór określający swoistą szybkość przyrostu
masy organizmów bakteryjnych w jednostce
czasu i jednostkę masy już istniejącej:
M.= (ln x 2-ln x 1) / (t 2-t 1) ,
W fazie VI podziały komórek prawie
całkowicie ustają. W rezultacie liczba komórek
stale maleje. W niekorzystnych warunkach
zamieranie może zachodzić bardzo szybko.
Mówimy wtedy o fazie śmierci
logarytmicznej.

Hodowla drożdży
znajdująca się w fazie
wzrostu log. Wskazuje
na to duże zagęszczenie
komórek i obecność
komórek pączkujących.
Ta hodowla jest w fazie
obumierania.
Widać zdecydowanie
mniej komórek.
Komórki posiadają
powiększone wakuole.

Ciąg Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb,
który rozpoczyna się od 0 i 1, a każdy kolejny wyraz ciągu
jest sumą dwóch poprzednich.
Jest to jeden z najważniejszych ciągów,
o wszechstronnym zastosowaniu, nie tylko
w matematyce.
Ciąg został podany przez Leonarda z Pizy zwanego
Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci (1202)
Było to rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

1

Króliki
Fibonacciego
1

W kwadratach
podano liczbę par
na danym
„poziomie”.

2

3

5

Innym
przykładem
obecności ciągu
Fibonacciego
w przyrodzie jest
przyrost pędów
roślinnych.
Zatem wzór na zapis ciągu Fibonacciego
wygląda:

Spirala logarytmiczna
Spirala Logarytmiczna zwana też spiralą
Fibonnaciego oraz złotą spiralą. Złoty
podział, oparty jest liczbach, których
suma dwóch poprzednich daje następną,
tak na przykład: jeżeli I liczbą ciągu jest
liczba 1, tak samo jak II jest również 1,
1+1=2 następną liczbą ciągu jest 2. Idąc
dalej tym tokiem myślenia1+2=3 i tak dalej
- 2+3=5, 3+5=8 i tak w nieskończoność.

Spiralę logarytmiczną można zbudować w bardzo
prosty sposób, wykorzystując "złoty podział" , z
pewnością pomogą nam proste figury
geometryczne.

Budowa galaktykspirala logarytmiczna
Galaktyki, łącznie stanowią 4,5% masy całego
Wszechświata. Każda z galaktyk spiralnych
posiada jądro otoczone dyskiem.
Droga Mleczna jest
jedną z galaktyk spiralnych.

Rodzaje galaktyk:

1. Eliptyczna
2.Soczewkowata

3.Nieregularne
4.Spiralne

Ciąg Fibonacciego w
naturze
W przyrodzie istnieja dużo bardziej
racjonalne przypadki ciągu niż twierdzenie
o królikach. Dowodem tego moga być np.:
Układ pestek w tarczy słonecznika, lub uklad
łusek w szysce.

Co z tego wynika?
W trakcie naszej prezentacji miałeś okazję
przekonać się, iż logarytmy otaczają cały
twój świat. Nurtuje nas jedno pytanie: czy
tak cudowny świat można opisać za
pomocą zjawiska, jakimi są logarytmy?
Na to pytanie niestety nikt nie jest w stanie
odpowiedzieć.

Literatura:

Bibliografia

Astronomia, Państwowe zakłady wydawnictw szkolnych, Warszawa 1973
J. Nicklin, K. Graeme- Cook, R. Killington, Mikrobiologia - Krótkie wykłady wyd. II popr. i unow., PWN,
Warszawa 2004
E. Solomon, L. Berg, D. Martin, C. A. Villee, Biologia, wyd. II popr., (wg III wyd. amer.) MULTICO
Oficyna Wydawnicza, Warszawa 2000
T. Szymczyk, S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne,
astronomiczne
James Trefil, 1001 Spotkań z nauką, wyd. Świat Książki, Warszawa 1997
Matematyka Fizyka Chemia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004
F. Sherman, Getting started with yeast

M. Prescott, Microbiology, 5th edition (2002)
Zdjęcia mikroskopowe drożdży pochodzą z materiałów ćwiczeniowych z przedmiotu pracownia
inżynierii genetycznej na Międzyuczelnianym Wydziale Biotechnologii UG i GUMed
Strony internetowe:
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node103.html
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node102.html
http://news.astronet.pl/3012
http://gwiazdozbiory.eulersoft.com.pl/dod_JasnosciGwiazd.html
http://scientist.pl/viewtopic.php?t=1774


Slide 9

Spis treści
Wprowadzenie
Logarytmy




Makrokosmos
 Mikrokosmos


Spirala logarytmiczna



Ciąg Fibonacciego
 Galaktyki
 Ziemia- natura




Co z tego wynika?

Logarytmy
Nasza przygoda z logarytmami zaczęła się
na pewnej lekcji matematyki. Twoja może
dopiero się rozpoczyna, albo ją dalej
kontynuujesz.
A więc logarytmem o podstawie a z liczby b
nazywamy taką liczbę c, że a podniesione
do potęgi c jest równe b, tzn.:
log a b=c wtedy i tylko wtedy, gdy a c =b

Makrokosmos
Fizyka gwiazd,czyli ich jasność
Do okreslenia janosci gwiazd okazala się pomocna skala
logarytmiczna.Obserwowaną(widomą) wielkość gwiazdowa, m(jasność
obserwowana); mierzona w magnitudo(mag) określamy zależnością:
m= -2,5 log E
Różnica wielkości gwiazdowych
Obiektów jest wyrażona wzorem pagsona:
m1-m2=-2,5 log(E1/E2)

Mikrokosmos
Zjawisko wzrostu
drobnoustrojów można
zobrazować za pomocą
krzywej wzrostu bakterii.
Na wykresie wyróżniono
sześć faz rozwoju
populacji...

I. faza spoczynkowa
II. logarytmiczna
III. zwolnionego
wzrostu

I. równowagi
II. zamierania
III. zamierania
logarytmicznego

W fazie logarytmicznej dochodzi do
intensywnych podziałów komórkowych, przez
co liczba komórek rośnie w tempie
geometrycznym, gdzie logarytm ilości bakterii
jest wprost proporcjonalny do czasu.
Wzrost w fazie log. opisuje wzór:
N= N0 * 2n ,

wzór określający swoistą szybkość przyrostu
masy organizmów bakteryjnych w jednostce
czasu i jednostkę masy już istniejącej:
M.= (ln x 2-ln x 1) / (t 2-t 1) ,
W fazie VI podziały komórek prawie
całkowicie ustają. W rezultacie liczba komórek
stale maleje. W niekorzystnych warunkach
zamieranie może zachodzić bardzo szybko.
Mówimy wtedy o fazie śmierci
logarytmicznej.

Hodowla drożdży
znajdująca się w fazie
wzrostu log. Wskazuje
na to duże zagęszczenie
komórek i obecność
komórek pączkujących.
Ta hodowla jest w fazie
obumierania.
Widać zdecydowanie
mniej komórek.
Komórki posiadają
powiększone wakuole.

Ciąg Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb,
który rozpoczyna się od 0 i 1, a każdy kolejny wyraz ciągu
jest sumą dwóch poprzednich.
Jest to jeden z najważniejszych ciągów,
o wszechstronnym zastosowaniu, nie tylko
w matematyce.
Ciąg został podany przez Leonarda z Pizy zwanego
Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci (1202)
Było to rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

1

Króliki
Fibonacciego
1

W kwadratach
podano liczbę par
na danym
„poziomie”.

2

3

5

Innym
przykładem
obecności ciągu
Fibonacciego
w przyrodzie jest
przyrost pędów
roślinnych.
Zatem wzór na zapis ciągu Fibonacciego
wygląda:

Spirala logarytmiczna
Spirala Logarytmiczna zwana też spiralą
Fibonnaciego oraz złotą spiralą. Złoty
podział, oparty jest liczbach, których
suma dwóch poprzednich daje następną,
tak na przykład: jeżeli I liczbą ciągu jest
liczba 1, tak samo jak II jest również 1,
1+1=2 następną liczbą ciągu jest 2. Idąc
dalej tym tokiem myślenia1+2=3 i tak dalej
- 2+3=5, 3+5=8 i tak w nieskończoność.

Spiralę logarytmiczną można zbudować w bardzo
prosty sposób, wykorzystując "złoty podział" , z
pewnością pomogą nam proste figury
geometryczne.

Budowa galaktykspirala logarytmiczna
Galaktyki, łącznie stanowią 4,5% masy całego
Wszechświata. Każda z galaktyk spiralnych
posiada jądro otoczone dyskiem.
Droga Mleczna jest
jedną z galaktyk spiralnych.

Rodzaje galaktyk:

1. Eliptyczna
2.Soczewkowata

3.Nieregularne
4.Spiralne

Ciąg Fibonacciego w
naturze
W przyrodzie istnieja dużo bardziej
racjonalne przypadki ciągu niż twierdzenie
o królikach. Dowodem tego moga być np.:
Układ pestek w tarczy słonecznika, lub uklad
łusek w szysce.

Co z tego wynika?
W trakcie naszej prezentacji miałeś okazję
przekonać się, iż logarytmy otaczają cały
twój świat. Nurtuje nas jedno pytanie: czy
tak cudowny świat można opisać za
pomocą zjawiska, jakimi są logarytmy?
Na to pytanie niestety nikt nie jest w stanie
odpowiedzieć.

Literatura:

Bibliografia

Astronomia, Państwowe zakłady wydawnictw szkolnych, Warszawa 1973
J. Nicklin, K. Graeme- Cook, R. Killington, Mikrobiologia - Krótkie wykłady wyd. II popr. i unow., PWN,
Warszawa 2004
E. Solomon, L. Berg, D. Martin, C. A. Villee, Biologia, wyd. II popr., (wg III wyd. amer.) MULTICO
Oficyna Wydawnicza, Warszawa 2000
T. Szymczyk, S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne,
astronomiczne
James Trefil, 1001 Spotkań z nauką, wyd. Świat Książki, Warszawa 1997
Matematyka Fizyka Chemia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004
F. Sherman, Getting started with yeast

M. Prescott, Microbiology, 5th edition (2002)
Zdjęcia mikroskopowe drożdży pochodzą z materiałów ćwiczeniowych z przedmiotu pracownia
inżynierii genetycznej na Międzyuczelnianym Wydziale Biotechnologii UG i GUMed
Strony internetowe:
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node103.html
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node102.html
http://news.astronet.pl/3012
http://gwiazdozbiory.eulersoft.com.pl/dod_JasnosciGwiazd.html
http://scientist.pl/viewtopic.php?t=1774


Slide 10

Spis treści
Wprowadzenie
Logarytmy




Makrokosmos
 Mikrokosmos


Spirala logarytmiczna



Ciąg Fibonacciego
 Galaktyki
 Ziemia- natura




Co z tego wynika?

Logarytmy
Nasza przygoda z logarytmami zaczęła się
na pewnej lekcji matematyki. Twoja może
dopiero się rozpoczyna, albo ją dalej
kontynuujesz.
A więc logarytmem o podstawie a z liczby b
nazywamy taką liczbę c, że a podniesione
do potęgi c jest równe b, tzn.:
log a b=c wtedy i tylko wtedy, gdy a c =b

Makrokosmos
Fizyka gwiazd,czyli ich jasność
Do okreslenia janosci gwiazd okazala się pomocna skala
logarytmiczna.Obserwowaną(widomą) wielkość gwiazdowa, m(jasność
obserwowana); mierzona w magnitudo(mag) określamy zależnością:
m= -2,5 log E
Różnica wielkości gwiazdowych
Obiektów jest wyrażona wzorem pagsona:
m1-m2=-2,5 log(E1/E2)

Mikrokosmos
Zjawisko wzrostu
drobnoustrojów można
zobrazować za pomocą
krzywej wzrostu bakterii.
Na wykresie wyróżniono
sześć faz rozwoju
populacji...

I. faza spoczynkowa
II. logarytmiczna
III. zwolnionego
wzrostu

I. równowagi
II. zamierania
III. zamierania
logarytmicznego

W fazie logarytmicznej dochodzi do
intensywnych podziałów komórkowych, przez
co liczba komórek rośnie w tempie
geometrycznym, gdzie logarytm ilości bakterii
jest wprost proporcjonalny do czasu.
Wzrost w fazie log. opisuje wzór:
N= N0 * 2n ,

wzór określający swoistą szybkość przyrostu
masy organizmów bakteryjnych w jednostce
czasu i jednostkę masy już istniejącej:
M.= (ln x 2-ln x 1) / (t 2-t 1) ,
W fazie VI podziały komórek prawie
całkowicie ustają. W rezultacie liczba komórek
stale maleje. W niekorzystnych warunkach
zamieranie może zachodzić bardzo szybko.
Mówimy wtedy o fazie śmierci
logarytmicznej.

Hodowla drożdży
znajdująca się w fazie
wzrostu log. Wskazuje
na to duże zagęszczenie
komórek i obecność
komórek pączkujących.
Ta hodowla jest w fazie
obumierania.
Widać zdecydowanie
mniej komórek.
Komórki posiadają
powiększone wakuole.

Ciąg Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb,
który rozpoczyna się od 0 i 1, a każdy kolejny wyraz ciągu
jest sumą dwóch poprzednich.
Jest to jeden z najważniejszych ciągów,
o wszechstronnym zastosowaniu, nie tylko
w matematyce.
Ciąg został podany przez Leonarda z Pizy zwanego
Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci (1202)
Było to rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

1

Króliki
Fibonacciego
1

W kwadratach
podano liczbę par
na danym
„poziomie”.

2

3

5

Innym
przykładem
obecności ciągu
Fibonacciego
w przyrodzie jest
przyrost pędów
roślinnych.
Zatem wzór na zapis ciągu Fibonacciego
wygląda:

Spirala logarytmiczna
Spirala Logarytmiczna zwana też spiralą
Fibonnaciego oraz złotą spiralą. Złoty
podział, oparty jest liczbach, których
suma dwóch poprzednich daje następną,
tak na przykład: jeżeli I liczbą ciągu jest
liczba 1, tak samo jak II jest również 1,
1+1=2 następną liczbą ciągu jest 2. Idąc
dalej tym tokiem myślenia1+2=3 i tak dalej
- 2+3=5, 3+5=8 i tak w nieskończoność.

Spiralę logarytmiczną można zbudować w bardzo
prosty sposób, wykorzystując "złoty podział" , z
pewnością pomogą nam proste figury
geometryczne.

Budowa galaktykspirala logarytmiczna
Galaktyki, łącznie stanowią 4,5% masy całego
Wszechświata. Każda z galaktyk spiralnych
posiada jądro otoczone dyskiem.
Droga Mleczna jest
jedną z galaktyk spiralnych.

Rodzaje galaktyk:

1. Eliptyczna
2.Soczewkowata

3.Nieregularne
4.Spiralne

Ciąg Fibonacciego w
naturze
W przyrodzie istnieja dużo bardziej
racjonalne przypadki ciągu niż twierdzenie
o królikach. Dowodem tego moga być np.:
Układ pestek w tarczy słonecznika, lub uklad
łusek w szysce.

Co z tego wynika?
W trakcie naszej prezentacji miałeś okazję
przekonać się, iż logarytmy otaczają cały
twój świat. Nurtuje nas jedno pytanie: czy
tak cudowny świat można opisać za
pomocą zjawiska, jakimi są logarytmy?
Na to pytanie niestety nikt nie jest w stanie
odpowiedzieć.

Literatura:

Bibliografia

Astronomia, Państwowe zakłady wydawnictw szkolnych, Warszawa 1973
J. Nicklin, K. Graeme- Cook, R. Killington, Mikrobiologia - Krótkie wykłady wyd. II popr. i unow., PWN,
Warszawa 2004
E. Solomon, L. Berg, D. Martin, C. A. Villee, Biologia, wyd. II popr., (wg III wyd. amer.) MULTICO
Oficyna Wydawnicza, Warszawa 2000
T. Szymczyk, S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne,
astronomiczne
James Trefil, 1001 Spotkań z nauką, wyd. Świat Książki, Warszawa 1997
Matematyka Fizyka Chemia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004
F. Sherman, Getting started with yeast

M. Prescott, Microbiology, 5th edition (2002)
Zdjęcia mikroskopowe drożdży pochodzą z materiałów ćwiczeniowych z przedmiotu pracownia
inżynierii genetycznej na Międzyuczelnianym Wydziale Biotechnologii UG i GUMed
Strony internetowe:
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node103.html
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node102.html
http://news.astronet.pl/3012
http://gwiazdozbiory.eulersoft.com.pl/dod_JasnosciGwiazd.html
http://scientist.pl/viewtopic.php?t=1774


Slide 11

Spis treści
Wprowadzenie
Logarytmy




Makrokosmos
 Mikrokosmos


Spirala logarytmiczna



Ciąg Fibonacciego
 Galaktyki
 Ziemia- natura




Co z tego wynika?

Logarytmy
Nasza przygoda z logarytmami zaczęła się
na pewnej lekcji matematyki. Twoja może
dopiero się rozpoczyna, albo ją dalej
kontynuujesz.
A więc logarytmem o podstawie a z liczby b
nazywamy taką liczbę c, że a podniesione
do potęgi c jest równe b, tzn.:
log a b=c wtedy i tylko wtedy, gdy a c =b

Makrokosmos
Fizyka gwiazd,czyli ich jasność
Do okreslenia janosci gwiazd okazala się pomocna skala
logarytmiczna.Obserwowaną(widomą) wielkość gwiazdowa, m(jasność
obserwowana); mierzona w magnitudo(mag) określamy zależnością:
m= -2,5 log E
Różnica wielkości gwiazdowych
Obiektów jest wyrażona wzorem pagsona:
m1-m2=-2,5 log(E1/E2)

Mikrokosmos
Zjawisko wzrostu
drobnoustrojów można
zobrazować za pomocą
krzywej wzrostu bakterii.
Na wykresie wyróżniono
sześć faz rozwoju
populacji...

I. faza spoczynkowa
II. logarytmiczna
III. zwolnionego
wzrostu

I. równowagi
II. zamierania
III. zamierania
logarytmicznego

W fazie logarytmicznej dochodzi do
intensywnych podziałów komórkowych, przez
co liczba komórek rośnie w tempie
geometrycznym, gdzie logarytm ilości bakterii
jest wprost proporcjonalny do czasu.
Wzrost w fazie log. opisuje wzór:
N= N0 * 2n ,

wzór określający swoistą szybkość przyrostu
masy organizmów bakteryjnych w jednostce
czasu i jednostkę masy już istniejącej:
M.= (ln x 2-ln x 1) / (t 2-t 1) ,
W fazie VI podziały komórek prawie
całkowicie ustają. W rezultacie liczba komórek
stale maleje. W niekorzystnych warunkach
zamieranie może zachodzić bardzo szybko.
Mówimy wtedy o fazie śmierci
logarytmicznej.

Hodowla drożdży
znajdująca się w fazie
wzrostu log. Wskazuje
na to duże zagęszczenie
komórek i obecność
komórek pączkujących.
Ta hodowla jest w fazie
obumierania.
Widać zdecydowanie
mniej komórek.
Komórki posiadają
powiększone wakuole.

Ciąg Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb,
który rozpoczyna się od 0 i 1, a każdy kolejny wyraz ciągu
jest sumą dwóch poprzednich.
Jest to jeden z najważniejszych ciągów,
o wszechstronnym zastosowaniu, nie tylko
w matematyce.
Ciąg został podany przez Leonarda z Pizy zwanego
Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci (1202)
Było to rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

1

Króliki
Fibonacciego
1

W kwadratach
podano liczbę par
na danym
„poziomie”.

2

3

5

Innym
przykładem
obecności ciągu
Fibonacciego
w przyrodzie jest
przyrost pędów
roślinnych.
Zatem wzór na zapis ciągu Fibonacciego
wygląda:

Spirala logarytmiczna
Spirala Logarytmiczna zwana też spiralą
Fibonnaciego oraz złotą spiralą. Złoty
podział, oparty jest liczbach, których
suma dwóch poprzednich daje następną,
tak na przykład: jeżeli I liczbą ciągu jest
liczba 1, tak samo jak II jest również 1,
1+1=2 następną liczbą ciągu jest 2. Idąc
dalej tym tokiem myślenia1+2=3 i tak dalej
- 2+3=5, 3+5=8 i tak w nieskończoność.

Spiralę logarytmiczną można zbudować w bardzo
prosty sposób, wykorzystując "złoty podział" , z
pewnością pomogą nam proste figury
geometryczne.

Budowa galaktykspirala logarytmiczna
Galaktyki, łącznie stanowią 4,5% masy całego
Wszechświata. Każda z galaktyk spiralnych
posiada jądro otoczone dyskiem.
Droga Mleczna jest
jedną z galaktyk spiralnych.

Rodzaje galaktyk:

1. Eliptyczna
2.Soczewkowata

3.Nieregularne
4.Spiralne

Ciąg Fibonacciego w
naturze
W przyrodzie istnieja dużo bardziej
racjonalne przypadki ciągu niż twierdzenie
o królikach. Dowodem tego moga być np.:
Układ pestek w tarczy słonecznika, lub uklad
łusek w szysce.

Co z tego wynika?
W trakcie naszej prezentacji miałeś okazję
przekonać się, iż logarytmy otaczają cały
twój świat. Nurtuje nas jedno pytanie: czy
tak cudowny świat można opisać za
pomocą zjawiska, jakimi są logarytmy?
Na to pytanie niestety nikt nie jest w stanie
odpowiedzieć.

Literatura:

Bibliografia

Astronomia, Państwowe zakłady wydawnictw szkolnych, Warszawa 1973
J. Nicklin, K. Graeme- Cook, R. Killington, Mikrobiologia - Krótkie wykłady wyd. II popr. i unow., PWN,
Warszawa 2004
E. Solomon, L. Berg, D. Martin, C. A. Villee, Biologia, wyd. II popr., (wg III wyd. amer.) MULTICO
Oficyna Wydawnicza, Warszawa 2000
T. Szymczyk, S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne,
astronomiczne
James Trefil, 1001 Spotkań z nauką, wyd. Świat Książki, Warszawa 1997
Matematyka Fizyka Chemia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004
F. Sherman, Getting started with yeast

M. Prescott, Microbiology, 5th edition (2002)
Zdjęcia mikroskopowe drożdży pochodzą z materiałów ćwiczeniowych z przedmiotu pracownia
inżynierii genetycznej na Międzyuczelnianym Wydziale Biotechnologii UG i GUMed
Strony internetowe:
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node103.html
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node102.html
http://news.astronet.pl/3012
http://gwiazdozbiory.eulersoft.com.pl/dod_JasnosciGwiazd.html
http://scientist.pl/viewtopic.php?t=1774


Slide 12

Spis treści
Wprowadzenie
Logarytmy




Makrokosmos
 Mikrokosmos


Spirala logarytmiczna



Ciąg Fibonacciego
 Galaktyki
 Ziemia- natura




Co z tego wynika?

Logarytmy
Nasza przygoda z logarytmami zaczęła się
na pewnej lekcji matematyki. Twoja może
dopiero się rozpoczyna, albo ją dalej
kontynuujesz.
A więc logarytmem o podstawie a z liczby b
nazywamy taką liczbę c, że a podniesione
do potęgi c jest równe b, tzn.:
log a b=c wtedy i tylko wtedy, gdy a c =b

Makrokosmos
Fizyka gwiazd,czyli ich jasność
Do okreslenia janosci gwiazd okazala się pomocna skala
logarytmiczna.Obserwowaną(widomą) wielkość gwiazdowa, m(jasność
obserwowana); mierzona w magnitudo(mag) określamy zależnością:
m= -2,5 log E
Różnica wielkości gwiazdowych
Obiektów jest wyrażona wzorem pagsona:
m1-m2=-2,5 log(E1/E2)

Mikrokosmos
Zjawisko wzrostu
drobnoustrojów można
zobrazować za pomocą
krzywej wzrostu bakterii.
Na wykresie wyróżniono
sześć faz rozwoju
populacji...

I. faza spoczynkowa
II. logarytmiczna
III. zwolnionego
wzrostu

I. równowagi
II. zamierania
III. zamierania
logarytmicznego

W fazie logarytmicznej dochodzi do
intensywnych podziałów komórkowych, przez
co liczba komórek rośnie w tempie
geometrycznym, gdzie logarytm ilości bakterii
jest wprost proporcjonalny do czasu.
Wzrost w fazie log. opisuje wzór:
N= N0 * 2n ,

wzór określający swoistą szybkość przyrostu
masy organizmów bakteryjnych w jednostce
czasu i jednostkę masy już istniejącej:
M.= (ln x 2-ln x 1) / (t 2-t 1) ,
W fazie VI podziały komórek prawie
całkowicie ustają. W rezultacie liczba komórek
stale maleje. W niekorzystnych warunkach
zamieranie może zachodzić bardzo szybko.
Mówimy wtedy o fazie śmierci
logarytmicznej.

Hodowla drożdży
znajdująca się w fazie
wzrostu log. Wskazuje
na to duże zagęszczenie
komórek i obecność
komórek pączkujących.
Ta hodowla jest w fazie
obumierania.
Widać zdecydowanie
mniej komórek.
Komórki posiadają
powiększone wakuole.

Ciąg Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb,
który rozpoczyna się od 0 i 1, a każdy kolejny wyraz ciągu
jest sumą dwóch poprzednich.
Jest to jeden z najważniejszych ciągów,
o wszechstronnym zastosowaniu, nie tylko
w matematyce.
Ciąg został podany przez Leonarda z Pizy zwanego
Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci (1202)
Było to rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

1

Króliki
Fibonacciego
1

W kwadratach
podano liczbę par
na danym
„poziomie”.

2

3

5

Innym
przykładem
obecności ciągu
Fibonacciego
w przyrodzie jest
przyrost pędów
roślinnych.
Zatem wzór na zapis ciągu Fibonacciego
wygląda:

Spirala logarytmiczna
Spirala Logarytmiczna zwana też spiralą
Fibonnaciego oraz złotą spiralą. Złoty
podział, oparty jest liczbach, których
suma dwóch poprzednich daje następną,
tak na przykład: jeżeli I liczbą ciągu jest
liczba 1, tak samo jak II jest również 1,
1+1=2 następną liczbą ciągu jest 2. Idąc
dalej tym tokiem myślenia1+2=3 i tak dalej
- 2+3=5, 3+5=8 i tak w nieskończoność.

Spiralę logarytmiczną można zbudować w bardzo
prosty sposób, wykorzystując "złoty podział" , z
pewnością pomogą nam proste figury
geometryczne.

Budowa galaktykspirala logarytmiczna
Galaktyki, łącznie stanowią 4,5% masy całego
Wszechświata. Każda z galaktyk spiralnych
posiada jądro otoczone dyskiem.
Droga Mleczna jest
jedną z galaktyk spiralnych.

Rodzaje galaktyk:

1. Eliptyczna
2.Soczewkowata

3.Nieregularne
4.Spiralne

Ciąg Fibonacciego w
naturze
W przyrodzie istnieja dużo bardziej
racjonalne przypadki ciągu niż twierdzenie
o królikach. Dowodem tego moga być np.:
Układ pestek w tarczy słonecznika, lub uklad
łusek w szysce.

Co z tego wynika?
W trakcie naszej prezentacji miałeś okazję
przekonać się, iż logarytmy otaczają cały
twój świat. Nurtuje nas jedno pytanie: czy
tak cudowny świat można opisać za
pomocą zjawiska, jakimi są logarytmy?
Na to pytanie niestety nikt nie jest w stanie
odpowiedzieć.

Literatura:

Bibliografia

Astronomia, Państwowe zakłady wydawnictw szkolnych, Warszawa 1973
J. Nicklin, K. Graeme- Cook, R. Killington, Mikrobiologia - Krótkie wykłady wyd. II popr. i unow., PWN,
Warszawa 2004
E. Solomon, L. Berg, D. Martin, C. A. Villee, Biologia, wyd. II popr., (wg III wyd. amer.) MULTICO
Oficyna Wydawnicza, Warszawa 2000
T. Szymczyk, S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne,
astronomiczne
James Trefil, 1001 Spotkań z nauką, wyd. Świat Książki, Warszawa 1997
Matematyka Fizyka Chemia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004
F. Sherman, Getting started with yeast

M. Prescott, Microbiology, 5th edition (2002)
Zdjęcia mikroskopowe drożdży pochodzą z materiałów ćwiczeniowych z przedmiotu pracownia
inżynierii genetycznej na Międzyuczelnianym Wydziale Biotechnologii UG i GUMed
Strony internetowe:
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node103.html
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node102.html
http://news.astronet.pl/3012
http://gwiazdozbiory.eulersoft.com.pl/dod_JasnosciGwiazd.html
http://scientist.pl/viewtopic.php?t=1774


Slide 13

Spis treści
Wprowadzenie
Logarytmy




Makrokosmos
 Mikrokosmos


Spirala logarytmiczna



Ciąg Fibonacciego
 Galaktyki
 Ziemia- natura




Co z tego wynika?

Logarytmy
Nasza przygoda z logarytmami zaczęła się
na pewnej lekcji matematyki. Twoja może
dopiero się rozpoczyna, albo ją dalej
kontynuujesz.
A więc logarytmem o podstawie a z liczby b
nazywamy taką liczbę c, że a podniesione
do potęgi c jest równe b, tzn.:
log a b=c wtedy i tylko wtedy, gdy a c =b

Makrokosmos
Fizyka gwiazd,czyli ich jasność
Do okreslenia janosci gwiazd okazala się pomocna skala
logarytmiczna.Obserwowaną(widomą) wielkość gwiazdowa, m(jasność
obserwowana); mierzona w magnitudo(mag) określamy zależnością:
m= -2,5 log E
Różnica wielkości gwiazdowych
Obiektów jest wyrażona wzorem pagsona:
m1-m2=-2,5 log(E1/E2)

Mikrokosmos
Zjawisko wzrostu
drobnoustrojów można
zobrazować za pomocą
krzywej wzrostu bakterii.
Na wykresie wyróżniono
sześć faz rozwoju
populacji...

I. faza spoczynkowa
II. logarytmiczna
III. zwolnionego
wzrostu

I. równowagi
II. zamierania
III. zamierania
logarytmicznego

W fazie logarytmicznej dochodzi do
intensywnych podziałów komórkowych, przez
co liczba komórek rośnie w tempie
geometrycznym, gdzie logarytm ilości bakterii
jest wprost proporcjonalny do czasu.
Wzrost w fazie log. opisuje wzór:
N= N0 * 2n ,

wzór określający swoistą szybkość przyrostu
masy organizmów bakteryjnych w jednostce
czasu i jednostkę masy już istniejącej:
M.= (ln x 2-ln x 1) / (t 2-t 1) ,
W fazie VI podziały komórek prawie
całkowicie ustają. W rezultacie liczba komórek
stale maleje. W niekorzystnych warunkach
zamieranie może zachodzić bardzo szybko.
Mówimy wtedy o fazie śmierci
logarytmicznej.

Hodowla drożdży
znajdująca się w fazie
wzrostu log. Wskazuje
na to duże zagęszczenie
komórek i obecność
komórek pączkujących.
Ta hodowla jest w fazie
obumierania.
Widać zdecydowanie
mniej komórek.
Komórki posiadają
powiększone wakuole.

Ciąg Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb,
który rozpoczyna się od 0 i 1, a każdy kolejny wyraz ciągu
jest sumą dwóch poprzednich.
Jest to jeden z najważniejszych ciągów,
o wszechstronnym zastosowaniu, nie tylko
w matematyce.
Ciąg został podany przez Leonarda z Pizy zwanego
Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci (1202)
Było to rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

1

Króliki
Fibonacciego
1

W kwadratach
podano liczbę par
na danym
„poziomie”.

2

3

5

Innym
przykładem
obecności ciągu
Fibonacciego
w przyrodzie jest
przyrost pędów
roślinnych.
Zatem wzór na zapis ciągu Fibonacciego
wygląda:

Spirala logarytmiczna
Spirala Logarytmiczna zwana też spiralą
Fibonnaciego oraz złotą spiralą. Złoty
podział, oparty jest liczbach, których
suma dwóch poprzednich daje następną,
tak na przykład: jeżeli I liczbą ciągu jest
liczba 1, tak samo jak II jest również 1,
1+1=2 następną liczbą ciągu jest 2. Idąc
dalej tym tokiem myślenia1+2=3 i tak dalej
- 2+3=5, 3+5=8 i tak w nieskończoność.

Spiralę logarytmiczną można zbudować w bardzo
prosty sposób, wykorzystując "złoty podział" , z
pewnością pomogą nam proste figury
geometryczne.

Budowa galaktykspirala logarytmiczna
Galaktyki, łącznie stanowią 4,5% masy całego
Wszechświata. Każda z galaktyk spiralnych
posiada jądro otoczone dyskiem.
Droga Mleczna jest
jedną z galaktyk spiralnych.

Rodzaje galaktyk:

1. Eliptyczna
2.Soczewkowata

3.Nieregularne
4.Spiralne

Ciąg Fibonacciego w
naturze
W przyrodzie istnieja dużo bardziej
racjonalne przypadki ciągu niż twierdzenie
o królikach. Dowodem tego moga być np.:
Układ pestek w tarczy słonecznika, lub uklad
łusek w szysce.

Co z tego wynika?
W trakcie naszej prezentacji miałeś okazję
przekonać się, iż logarytmy otaczają cały
twój świat. Nurtuje nas jedno pytanie: czy
tak cudowny świat można opisać za
pomocą zjawiska, jakimi są logarytmy?
Na to pytanie niestety nikt nie jest w stanie
odpowiedzieć.

Literatura:

Bibliografia

Astronomia, Państwowe zakłady wydawnictw szkolnych, Warszawa 1973
J. Nicklin, K. Graeme- Cook, R. Killington, Mikrobiologia - Krótkie wykłady wyd. II popr. i unow., PWN,
Warszawa 2004
E. Solomon, L. Berg, D. Martin, C. A. Villee, Biologia, wyd. II popr., (wg III wyd. amer.) MULTICO
Oficyna Wydawnicza, Warszawa 2000
T. Szymczyk, S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne,
astronomiczne
James Trefil, 1001 Spotkań z nauką, wyd. Świat Książki, Warszawa 1997
Matematyka Fizyka Chemia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004
F. Sherman, Getting started with yeast

M. Prescott, Microbiology, 5th edition (2002)
Zdjęcia mikroskopowe drożdży pochodzą z materiałów ćwiczeniowych z przedmiotu pracownia
inżynierii genetycznej na Międzyuczelnianym Wydziale Biotechnologii UG i GUMed
Strony internetowe:
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node103.html
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node102.html
http://news.astronet.pl/3012
http://gwiazdozbiory.eulersoft.com.pl/dod_JasnosciGwiazd.html
http://scientist.pl/viewtopic.php?t=1774


Slide 14

Spis treści
Wprowadzenie
Logarytmy




Makrokosmos
 Mikrokosmos


Spirala logarytmiczna



Ciąg Fibonacciego
 Galaktyki
 Ziemia- natura




Co z tego wynika?

Logarytmy
Nasza przygoda z logarytmami zaczęła się
na pewnej lekcji matematyki. Twoja może
dopiero się rozpoczyna, albo ją dalej
kontynuujesz.
A więc logarytmem o podstawie a z liczby b
nazywamy taką liczbę c, że a podniesione
do potęgi c jest równe b, tzn.:
log a b=c wtedy i tylko wtedy, gdy a c =b

Makrokosmos
Fizyka gwiazd,czyli ich jasność
Do okreslenia janosci gwiazd okazala się pomocna skala
logarytmiczna.Obserwowaną(widomą) wielkość gwiazdowa, m(jasność
obserwowana); mierzona w magnitudo(mag) określamy zależnością:
m= -2,5 log E
Różnica wielkości gwiazdowych
Obiektów jest wyrażona wzorem pagsona:
m1-m2=-2,5 log(E1/E2)

Mikrokosmos
Zjawisko wzrostu
drobnoustrojów można
zobrazować za pomocą
krzywej wzrostu bakterii.
Na wykresie wyróżniono
sześć faz rozwoju
populacji...

I. faza spoczynkowa
II. logarytmiczna
III. zwolnionego
wzrostu

I. równowagi
II. zamierania
III. zamierania
logarytmicznego

W fazie logarytmicznej dochodzi do
intensywnych podziałów komórkowych, przez
co liczba komórek rośnie w tempie
geometrycznym, gdzie logarytm ilości bakterii
jest wprost proporcjonalny do czasu.
Wzrost w fazie log. opisuje wzór:
N= N0 * 2n ,

wzór określający swoistą szybkość przyrostu
masy organizmów bakteryjnych w jednostce
czasu i jednostkę masy już istniejącej:
M.= (ln x 2-ln x 1) / (t 2-t 1) ,
W fazie VI podziały komórek prawie
całkowicie ustają. W rezultacie liczba komórek
stale maleje. W niekorzystnych warunkach
zamieranie może zachodzić bardzo szybko.
Mówimy wtedy o fazie śmierci
logarytmicznej.

Hodowla drożdży
znajdująca się w fazie
wzrostu log. Wskazuje
na to duże zagęszczenie
komórek i obecność
komórek pączkujących.
Ta hodowla jest w fazie
obumierania.
Widać zdecydowanie
mniej komórek.
Komórki posiadają
powiększone wakuole.

Ciąg Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb,
który rozpoczyna się od 0 i 1, a każdy kolejny wyraz ciągu
jest sumą dwóch poprzednich.
Jest to jeden z najważniejszych ciągów,
o wszechstronnym zastosowaniu, nie tylko
w matematyce.
Ciąg został podany przez Leonarda z Pizy zwanego
Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci (1202)
Było to rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

1

Króliki
Fibonacciego
1

W kwadratach
podano liczbę par
na danym
„poziomie”.

2

3

5

Innym
przykładem
obecności ciągu
Fibonacciego
w przyrodzie jest
przyrost pędów
roślinnych.
Zatem wzór na zapis ciągu Fibonacciego
wygląda:

Spirala logarytmiczna
Spirala Logarytmiczna zwana też spiralą
Fibonnaciego oraz złotą spiralą. Złoty
podział, oparty jest liczbach, których
suma dwóch poprzednich daje następną,
tak na przykład: jeżeli I liczbą ciągu jest
liczba 1, tak samo jak II jest również 1,
1+1=2 następną liczbą ciągu jest 2. Idąc
dalej tym tokiem myślenia1+2=3 i tak dalej
- 2+3=5, 3+5=8 i tak w nieskończoność.

Spiralę logarytmiczną można zbudować w bardzo
prosty sposób, wykorzystując "złoty podział" , z
pewnością pomogą nam proste figury
geometryczne.

Budowa galaktykspirala logarytmiczna
Galaktyki, łącznie stanowią 4,5% masy całego
Wszechświata. Każda z galaktyk spiralnych
posiada jądro otoczone dyskiem.
Droga Mleczna jest
jedną z galaktyk spiralnych.

Rodzaje galaktyk:

1. Eliptyczna
2.Soczewkowata

3.Nieregularne
4.Spiralne

Ciąg Fibonacciego w
naturze
W przyrodzie istnieja dużo bardziej
racjonalne przypadki ciągu niż twierdzenie
o królikach. Dowodem tego moga być np.:
Układ pestek w tarczy słonecznika, lub uklad
łusek w szysce.

Co z tego wynika?
W trakcie naszej prezentacji miałeś okazję
przekonać się, iż logarytmy otaczają cały
twój świat. Nurtuje nas jedno pytanie: czy
tak cudowny świat można opisać za
pomocą zjawiska, jakimi są logarytmy?
Na to pytanie niestety nikt nie jest w stanie
odpowiedzieć.

Literatura:

Bibliografia

Astronomia, Państwowe zakłady wydawnictw szkolnych, Warszawa 1973
J. Nicklin, K. Graeme- Cook, R. Killington, Mikrobiologia - Krótkie wykłady wyd. II popr. i unow., PWN,
Warszawa 2004
E. Solomon, L. Berg, D. Martin, C. A. Villee, Biologia, wyd. II popr., (wg III wyd. amer.) MULTICO
Oficyna Wydawnicza, Warszawa 2000
T. Szymczyk, S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne,
astronomiczne
James Trefil, 1001 Spotkań z nauką, wyd. Świat Książki, Warszawa 1997
Matematyka Fizyka Chemia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004
F. Sherman, Getting started with yeast

M. Prescott, Microbiology, 5th edition (2002)
Zdjęcia mikroskopowe drożdży pochodzą z materiałów ćwiczeniowych z przedmiotu pracownia
inżynierii genetycznej na Międzyuczelnianym Wydziale Biotechnologii UG i GUMed
Strony internetowe:
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node103.html
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node102.html
http://news.astronet.pl/3012
http://gwiazdozbiory.eulersoft.com.pl/dod_JasnosciGwiazd.html
http://scientist.pl/viewtopic.php?t=1774


Slide 15

Spis treści
Wprowadzenie
Logarytmy




Makrokosmos
 Mikrokosmos


Spirala logarytmiczna



Ciąg Fibonacciego
 Galaktyki
 Ziemia- natura




Co z tego wynika?

Logarytmy
Nasza przygoda z logarytmami zaczęła się
na pewnej lekcji matematyki. Twoja może
dopiero się rozpoczyna, albo ją dalej
kontynuujesz.
A więc logarytmem o podstawie a z liczby b
nazywamy taką liczbę c, że a podniesione
do potęgi c jest równe b, tzn.:
log a b=c wtedy i tylko wtedy, gdy a c =b

Makrokosmos
Fizyka gwiazd,czyli ich jasność
Do okreslenia janosci gwiazd okazala się pomocna skala
logarytmiczna.Obserwowaną(widomą) wielkość gwiazdowa, m(jasność
obserwowana); mierzona w magnitudo(mag) określamy zależnością:
m= -2,5 log E
Różnica wielkości gwiazdowych
Obiektów jest wyrażona wzorem pagsona:
m1-m2=-2,5 log(E1/E2)

Mikrokosmos
Zjawisko wzrostu
drobnoustrojów można
zobrazować za pomocą
krzywej wzrostu bakterii.
Na wykresie wyróżniono
sześć faz rozwoju
populacji...

I. faza spoczynkowa
II. logarytmiczna
III. zwolnionego
wzrostu

I. równowagi
II. zamierania
III. zamierania
logarytmicznego

W fazie logarytmicznej dochodzi do
intensywnych podziałów komórkowych, przez
co liczba komórek rośnie w tempie
geometrycznym, gdzie logarytm ilości bakterii
jest wprost proporcjonalny do czasu.
Wzrost w fazie log. opisuje wzór:
N= N0 * 2n ,

wzór określający swoistą szybkość przyrostu
masy organizmów bakteryjnych w jednostce
czasu i jednostkę masy już istniejącej:
M.= (ln x 2-ln x 1) / (t 2-t 1) ,
W fazie VI podziały komórek prawie
całkowicie ustają. W rezultacie liczba komórek
stale maleje. W niekorzystnych warunkach
zamieranie może zachodzić bardzo szybko.
Mówimy wtedy o fazie śmierci
logarytmicznej.

Hodowla drożdży
znajdująca się w fazie
wzrostu log. Wskazuje
na to duże zagęszczenie
komórek i obecność
komórek pączkujących.
Ta hodowla jest w fazie
obumierania.
Widać zdecydowanie
mniej komórek.
Komórki posiadają
powiększone wakuole.

Ciąg Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb,
który rozpoczyna się od 0 i 1, a każdy kolejny wyraz ciągu
jest sumą dwóch poprzednich.
Jest to jeden z najważniejszych ciągów,
o wszechstronnym zastosowaniu, nie tylko
w matematyce.
Ciąg został podany przez Leonarda z Pizy zwanego
Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci (1202)
Było to rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

1

Króliki
Fibonacciego
1

W kwadratach
podano liczbę par
na danym
„poziomie”.

2

3

5

Innym
przykładem
obecności ciągu
Fibonacciego
w przyrodzie jest
przyrost pędów
roślinnych.
Zatem wzór na zapis ciągu Fibonacciego
wygląda:

Spirala logarytmiczna
Spirala Logarytmiczna zwana też spiralą
Fibonnaciego oraz złotą spiralą. Złoty
podział, oparty jest liczbach, których
suma dwóch poprzednich daje następną,
tak na przykład: jeżeli I liczbą ciągu jest
liczba 1, tak samo jak II jest również 1,
1+1=2 następną liczbą ciągu jest 2. Idąc
dalej tym tokiem myślenia1+2=3 i tak dalej
- 2+3=5, 3+5=8 i tak w nieskończoność.

Spiralę logarytmiczną można zbudować w bardzo
prosty sposób, wykorzystując "złoty podział" , z
pewnością pomogą nam proste figury
geometryczne.

Budowa galaktykspirala logarytmiczna
Galaktyki, łącznie stanowią 4,5% masy całego
Wszechświata. Każda z galaktyk spiralnych
posiada jądro otoczone dyskiem.
Droga Mleczna jest
jedną z galaktyk spiralnych.

Rodzaje galaktyk:

1. Eliptyczna
2.Soczewkowata

3.Nieregularne
4.Spiralne

Ciąg Fibonacciego w
naturze
W przyrodzie istnieja dużo bardziej
racjonalne przypadki ciągu niż twierdzenie
o królikach. Dowodem tego moga być np.:
Układ pestek w tarczy słonecznika, lub uklad
łusek w szysce.

Co z tego wynika?
W trakcie naszej prezentacji miałeś okazję
przekonać się, iż logarytmy otaczają cały
twój świat. Nurtuje nas jedno pytanie: czy
tak cudowny świat można opisać za
pomocą zjawiska, jakimi są logarytmy?
Na to pytanie niestety nikt nie jest w stanie
odpowiedzieć.

Literatura:

Bibliografia

Astronomia, Państwowe zakłady wydawnictw szkolnych, Warszawa 1973
J. Nicklin, K. Graeme- Cook, R. Killington, Mikrobiologia - Krótkie wykłady wyd. II popr. i unow., PWN,
Warszawa 2004
E. Solomon, L. Berg, D. Martin, C. A. Villee, Biologia, wyd. II popr., (wg III wyd. amer.) MULTICO
Oficyna Wydawnicza, Warszawa 2000
T. Szymczyk, S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne,
astronomiczne
James Trefil, 1001 Spotkań z nauką, wyd. Świat Książki, Warszawa 1997
Matematyka Fizyka Chemia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004
F. Sherman, Getting started with yeast

M. Prescott, Microbiology, 5th edition (2002)
Zdjęcia mikroskopowe drożdży pochodzą z materiałów ćwiczeniowych z przedmiotu pracownia
inżynierii genetycznej na Międzyuczelnianym Wydziale Biotechnologii UG i GUMed
Strony internetowe:
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node103.html
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node102.html
http://news.astronet.pl/3012
http://gwiazdozbiory.eulersoft.com.pl/dod_JasnosciGwiazd.html
http://scientist.pl/viewtopic.php?t=1774


Slide 16

Spis treści
Wprowadzenie
Logarytmy




Makrokosmos
 Mikrokosmos


Spirala logarytmiczna



Ciąg Fibonacciego
 Galaktyki
 Ziemia- natura




Co z tego wynika?

Logarytmy
Nasza przygoda z logarytmami zaczęła się
na pewnej lekcji matematyki. Twoja może
dopiero się rozpoczyna, albo ją dalej
kontynuujesz.
A więc logarytmem o podstawie a z liczby b
nazywamy taką liczbę c, że a podniesione
do potęgi c jest równe b, tzn.:
log a b=c wtedy i tylko wtedy, gdy a c =b

Makrokosmos
Fizyka gwiazd,czyli ich jasność
Do okreslenia janosci gwiazd okazala się pomocna skala
logarytmiczna.Obserwowaną(widomą) wielkość gwiazdowa, m(jasność
obserwowana); mierzona w magnitudo(mag) określamy zależnością:
m= -2,5 log E
Różnica wielkości gwiazdowych
Obiektów jest wyrażona wzorem pagsona:
m1-m2=-2,5 log(E1/E2)

Mikrokosmos
Zjawisko wzrostu
drobnoustrojów można
zobrazować za pomocą
krzywej wzrostu bakterii.
Na wykresie wyróżniono
sześć faz rozwoju
populacji...

I. faza spoczynkowa
II. logarytmiczna
III. zwolnionego
wzrostu

I. równowagi
II. zamierania
III. zamierania
logarytmicznego

W fazie logarytmicznej dochodzi do
intensywnych podziałów komórkowych, przez
co liczba komórek rośnie w tempie
geometrycznym, gdzie logarytm ilości bakterii
jest wprost proporcjonalny do czasu.
Wzrost w fazie log. opisuje wzór:
N= N0 * 2n ,

wzór określający swoistą szybkość przyrostu
masy organizmów bakteryjnych w jednostce
czasu i jednostkę masy już istniejącej:
M.= (ln x 2-ln x 1) / (t 2-t 1) ,
W fazie VI podziały komórek prawie
całkowicie ustają. W rezultacie liczba komórek
stale maleje. W niekorzystnych warunkach
zamieranie może zachodzić bardzo szybko.
Mówimy wtedy o fazie śmierci
logarytmicznej.

Hodowla drożdży
znajdująca się w fazie
wzrostu log. Wskazuje
na to duże zagęszczenie
komórek i obecność
komórek pączkujących.
Ta hodowla jest w fazie
obumierania.
Widać zdecydowanie
mniej komórek.
Komórki posiadają
powiększone wakuole.

Ciąg Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb,
który rozpoczyna się od 0 i 1, a każdy kolejny wyraz ciągu
jest sumą dwóch poprzednich.
Jest to jeden z najważniejszych ciągów,
o wszechstronnym zastosowaniu, nie tylko
w matematyce.
Ciąg został podany przez Leonarda z Pizy zwanego
Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci (1202)
Było to rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

1

Króliki
Fibonacciego
1

W kwadratach
podano liczbę par
na danym
„poziomie”.

2

3

5

Innym
przykładem
obecności ciągu
Fibonacciego
w przyrodzie jest
przyrost pędów
roślinnych.
Zatem wzór na zapis ciągu Fibonacciego
wygląda:

Spirala logarytmiczna
Spirala Logarytmiczna zwana też spiralą
Fibonnaciego oraz złotą spiralą. Złoty
podział, oparty jest liczbach, których
suma dwóch poprzednich daje następną,
tak na przykład: jeżeli I liczbą ciągu jest
liczba 1, tak samo jak II jest również 1,
1+1=2 następną liczbą ciągu jest 2. Idąc
dalej tym tokiem myślenia1+2=3 i tak dalej
- 2+3=5, 3+5=8 i tak w nieskończoność.

Spiralę logarytmiczną można zbudować w bardzo
prosty sposób, wykorzystując "złoty podział" , z
pewnością pomogą nam proste figury
geometryczne.

Budowa galaktykspirala logarytmiczna
Galaktyki, łącznie stanowią 4,5% masy całego
Wszechświata. Każda z galaktyk spiralnych
posiada jądro otoczone dyskiem.
Droga Mleczna jest
jedną z galaktyk spiralnych.

Rodzaje galaktyk:

1. Eliptyczna
2.Soczewkowata

3.Nieregularne
4.Spiralne

Ciąg Fibonacciego w
naturze
W przyrodzie istnieja dużo bardziej
racjonalne przypadki ciągu niż twierdzenie
o królikach. Dowodem tego moga być np.:
Układ pestek w tarczy słonecznika, lub uklad
łusek w szysce.

Co z tego wynika?
W trakcie naszej prezentacji miałeś okazję
przekonać się, iż logarytmy otaczają cały
twój świat. Nurtuje nas jedno pytanie: czy
tak cudowny świat można opisać za
pomocą zjawiska, jakimi są logarytmy?
Na to pytanie niestety nikt nie jest w stanie
odpowiedzieć.

Literatura:

Bibliografia

Astronomia, Państwowe zakłady wydawnictw szkolnych, Warszawa 1973
J. Nicklin, K. Graeme- Cook, R. Killington, Mikrobiologia - Krótkie wykłady wyd. II popr. i unow., PWN,
Warszawa 2004
E. Solomon, L. Berg, D. Martin, C. A. Villee, Biologia, wyd. II popr., (wg III wyd. amer.) MULTICO
Oficyna Wydawnicza, Warszawa 2000
T. Szymczyk, S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne,
astronomiczne
James Trefil, 1001 Spotkań z nauką, wyd. Świat Książki, Warszawa 1997
Matematyka Fizyka Chemia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004
F. Sherman, Getting started with yeast

M. Prescott, Microbiology, 5th edition (2002)
Zdjęcia mikroskopowe drożdży pochodzą z materiałów ćwiczeniowych z przedmiotu pracownia
inżynierii genetycznej na Międzyuczelnianym Wydziale Biotechnologii UG i GUMed
Strony internetowe:
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node103.html
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node102.html
http://news.astronet.pl/3012
http://gwiazdozbiory.eulersoft.com.pl/dod_JasnosciGwiazd.html
http://scientist.pl/viewtopic.php?t=1774


Slide 17

Spis treści
Wprowadzenie
Logarytmy




Makrokosmos
 Mikrokosmos


Spirala logarytmiczna



Ciąg Fibonacciego
 Galaktyki
 Ziemia- natura




Co z tego wynika?

Logarytmy
Nasza przygoda z logarytmami zaczęła się
na pewnej lekcji matematyki. Twoja może
dopiero się rozpoczyna, albo ją dalej
kontynuujesz.
A więc logarytmem o podstawie a z liczby b
nazywamy taką liczbę c, że a podniesione
do potęgi c jest równe b, tzn.:
log a b=c wtedy i tylko wtedy, gdy a c =b

Makrokosmos
Fizyka gwiazd,czyli ich jasność
Do okreslenia janosci gwiazd okazala się pomocna skala
logarytmiczna.Obserwowaną(widomą) wielkość gwiazdowa, m(jasność
obserwowana); mierzona w magnitudo(mag) określamy zależnością:
m= -2,5 log E
Różnica wielkości gwiazdowych
Obiektów jest wyrażona wzorem pagsona:
m1-m2=-2,5 log(E1/E2)

Mikrokosmos
Zjawisko wzrostu
drobnoustrojów można
zobrazować za pomocą
krzywej wzrostu bakterii.
Na wykresie wyróżniono
sześć faz rozwoju
populacji...

I. faza spoczynkowa
II. logarytmiczna
III. zwolnionego
wzrostu

I. równowagi
II. zamierania
III. zamierania
logarytmicznego

W fazie logarytmicznej dochodzi do
intensywnych podziałów komórkowych, przez
co liczba komórek rośnie w tempie
geometrycznym, gdzie logarytm ilości bakterii
jest wprost proporcjonalny do czasu.
Wzrost w fazie log. opisuje wzór:
N= N0 * 2n ,

wzór określający swoistą szybkość przyrostu
masy organizmów bakteryjnych w jednostce
czasu i jednostkę masy już istniejącej:
M.= (ln x 2-ln x 1) / (t 2-t 1) ,
W fazie VI podziały komórek prawie
całkowicie ustają. W rezultacie liczba komórek
stale maleje. W niekorzystnych warunkach
zamieranie może zachodzić bardzo szybko.
Mówimy wtedy o fazie śmierci
logarytmicznej.

Hodowla drożdży
znajdująca się w fazie
wzrostu log. Wskazuje
na to duże zagęszczenie
komórek i obecność
komórek pączkujących.
Ta hodowla jest w fazie
obumierania.
Widać zdecydowanie
mniej komórek.
Komórki posiadają
powiększone wakuole.

Ciąg Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb,
który rozpoczyna się od 0 i 1, a każdy kolejny wyraz ciągu
jest sumą dwóch poprzednich.
Jest to jeden z najważniejszych ciągów,
o wszechstronnym zastosowaniu, nie tylko
w matematyce.
Ciąg został podany przez Leonarda z Pizy zwanego
Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci (1202)
Było to rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

1

Króliki
Fibonacciego
1

W kwadratach
podano liczbę par
na danym
„poziomie”.

2

3

5

Innym
przykładem
obecności ciągu
Fibonacciego
w przyrodzie jest
przyrost pędów
roślinnych.
Zatem wzór na zapis ciągu Fibonacciego
wygląda:

Spirala logarytmiczna
Spirala Logarytmiczna zwana też spiralą
Fibonnaciego oraz złotą spiralą. Złoty
podział, oparty jest liczbach, których
suma dwóch poprzednich daje następną,
tak na przykład: jeżeli I liczbą ciągu jest
liczba 1, tak samo jak II jest również 1,
1+1=2 następną liczbą ciągu jest 2. Idąc
dalej tym tokiem myślenia1+2=3 i tak dalej
- 2+3=5, 3+5=8 i tak w nieskończoność.

Spiralę logarytmiczną można zbudować w bardzo
prosty sposób, wykorzystując "złoty podział" , z
pewnością pomogą nam proste figury
geometryczne.

Budowa galaktykspirala logarytmiczna
Galaktyki, łącznie stanowią 4,5% masy całego
Wszechświata. Każda z galaktyk spiralnych
posiada jądro otoczone dyskiem.
Droga Mleczna jest
jedną z galaktyk spiralnych.

Rodzaje galaktyk:

1. Eliptyczna
2.Soczewkowata

3.Nieregularne
4.Spiralne

Ciąg Fibonacciego w
naturze
W przyrodzie istnieja dużo bardziej
racjonalne przypadki ciągu niż twierdzenie
o królikach. Dowodem tego moga być np.:
Układ pestek w tarczy słonecznika, lub uklad
łusek w szysce.

Co z tego wynika?
W trakcie naszej prezentacji miałeś okazję
przekonać się, iż logarytmy otaczają cały
twój świat. Nurtuje nas jedno pytanie: czy
tak cudowny świat można opisać za
pomocą zjawiska, jakimi są logarytmy?
Na to pytanie niestety nikt nie jest w stanie
odpowiedzieć.

Literatura:

Bibliografia

Astronomia, Państwowe zakłady wydawnictw szkolnych, Warszawa 1973
J. Nicklin, K. Graeme- Cook, R. Killington, Mikrobiologia - Krótkie wykłady wyd. II popr. i unow., PWN,
Warszawa 2004
E. Solomon, L. Berg, D. Martin, C. A. Villee, Biologia, wyd. II popr., (wg III wyd. amer.) MULTICO
Oficyna Wydawnicza, Warszawa 2000
T. Szymczyk, S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne,
astronomiczne
James Trefil, 1001 Spotkań z nauką, wyd. Świat Książki, Warszawa 1997
Matematyka Fizyka Chemia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004
F. Sherman, Getting started with yeast

M. Prescott, Microbiology, 5th edition (2002)
Zdjęcia mikroskopowe drożdży pochodzą z materiałów ćwiczeniowych z przedmiotu pracownia
inżynierii genetycznej na Międzyuczelnianym Wydziale Biotechnologii UG i GUMed
Strony internetowe:
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node103.html
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node102.html
http://news.astronet.pl/3012
http://gwiazdozbiory.eulersoft.com.pl/dod_JasnosciGwiazd.html
http://scientist.pl/viewtopic.php?t=1774


Slide 18

Spis treści
Wprowadzenie
Logarytmy




Makrokosmos
 Mikrokosmos


Spirala logarytmiczna



Ciąg Fibonacciego
 Galaktyki
 Ziemia- natura




Co z tego wynika?

Logarytmy
Nasza przygoda z logarytmami zaczęła się
na pewnej lekcji matematyki. Twoja może
dopiero się rozpoczyna, albo ją dalej
kontynuujesz.
A więc logarytmem o podstawie a z liczby b
nazywamy taką liczbę c, że a podniesione
do potęgi c jest równe b, tzn.:
log a b=c wtedy i tylko wtedy, gdy a c =b

Makrokosmos
Fizyka gwiazd,czyli ich jasność
Do okreslenia janosci gwiazd okazala się pomocna skala
logarytmiczna.Obserwowaną(widomą) wielkość gwiazdowa, m(jasność
obserwowana); mierzona w magnitudo(mag) określamy zależnością:
m= -2,5 log E
Różnica wielkości gwiazdowych
Obiektów jest wyrażona wzorem pagsona:
m1-m2=-2,5 log(E1/E2)

Mikrokosmos
Zjawisko wzrostu
drobnoustrojów można
zobrazować za pomocą
krzywej wzrostu bakterii.
Na wykresie wyróżniono
sześć faz rozwoju
populacji...

I. faza spoczynkowa
II. logarytmiczna
III. zwolnionego
wzrostu

I. równowagi
II. zamierania
III. zamierania
logarytmicznego

W fazie logarytmicznej dochodzi do
intensywnych podziałów komórkowych, przez
co liczba komórek rośnie w tempie
geometrycznym, gdzie logarytm ilości bakterii
jest wprost proporcjonalny do czasu.
Wzrost w fazie log. opisuje wzór:
N= N0 * 2n ,

wzór określający swoistą szybkość przyrostu
masy organizmów bakteryjnych w jednostce
czasu i jednostkę masy już istniejącej:
M.= (ln x 2-ln x 1) / (t 2-t 1) ,
W fazie VI podziały komórek prawie
całkowicie ustają. W rezultacie liczba komórek
stale maleje. W niekorzystnych warunkach
zamieranie może zachodzić bardzo szybko.
Mówimy wtedy o fazie śmierci
logarytmicznej.

Hodowla drożdży
znajdująca się w fazie
wzrostu log. Wskazuje
na to duże zagęszczenie
komórek i obecność
komórek pączkujących.
Ta hodowla jest w fazie
obumierania.
Widać zdecydowanie
mniej komórek.
Komórki posiadają
powiększone wakuole.

Ciąg Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb,
który rozpoczyna się od 0 i 1, a każdy kolejny wyraz ciągu
jest sumą dwóch poprzednich.
Jest to jeden z najważniejszych ciągów,
o wszechstronnym zastosowaniu, nie tylko
w matematyce.
Ciąg został podany przez Leonarda z Pizy zwanego
Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci (1202)
Było to rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

1

Króliki
Fibonacciego
1

W kwadratach
podano liczbę par
na danym
„poziomie”.

2

3

5

Innym
przykładem
obecności ciągu
Fibonacciego
w przyrodzie jest
przyrost pędów
roślinnych.
Zatem wzór na zapis ciągu Fibonacciego
wygląda:

Spirala logarytmiczna
Spirala Logarytmiczna zwana też spiralą
Fibonnaciego oraz złotą spiralą. Złoty
podział, oparty jest liczbach, których
suma dwóch poprzednich daje następną,
tak na przykład: jeżeli I liczbą ciągu jest
liczba 1, tak samo jak II jest również 1,
1+1=2 następną liczbą ciągu jest 2. Idąc
dalej tym tokiem myślenia1+2=3 i tak dalej
- 2+3=5, 3+5=8 i tak w nieskończoność.

Spiralę logarytmiczną można zbudować w bardzo
prosty sposób, wykorzystując "złoty podział" , z
pewnością pomogą nam proste figury
geometryczne.

Budowa galaktykspirala logarytmiczna
Galaktyki, łącznie stanowią 4,5% masy całego
Wszechświata. Każda z galaktyk spiralnych
posiada jądro otoczone dyskiem.
Droga Mleczna jest
jedną z galaktyk spiralnych.

Rodzaje galaktyk:

1. Eliptyczna
2.Soczewkowata

3.Nieregularne
4.Spiralne

Ciąg Fibonacciego w
naturze
W przyrodzie istnieja dużo bardziej
racjonalne przypadki ciągu niż twierdzenie
o królikach. Dowodem tego moga być np.:
Układ pestek w tarczy słonecznika, lub uklad
łusek w szysce.

Co z tego wynika?
W trakcie naszej prezentacji miałeś okazję
przekonać się, iż logarytmy otaczają cały
twój świat. Nurtuje nas jedno pytanie: czy
tak cudowny świat można opisać za
pomocą zjawiska, jakimi są logarytmy?
Na to pytanie niestety nikt nie jest w stanie
odpowiedzieć.

Literatura:

Bibliografia

Astronomia, Państwowe zakłady wydawnictw szkolnych, Warszawa 1973
J. Nicklin, K. Graeme- Cook, R. Killington, Mikrobiologia - Krótkie wykłady wyd. II popr. i unow., PWN,
Warszawa 2004
E. Solomon, L. Berg, D. Martin, C. A. Villee, Biologia, wyd. II popr., (wg III wyd. amer.) MULTICO
Oficyna Wydawnicza, Warszawa 2000
T. Szymczyk, S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne,
astronomiczne
James Trefil, 1001 Spotkań z nauką, wyd. Świat Książki, Warszawa 1997
Matematyka Fizyka Chemia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004
F. Sherman, Getting started with yeast

M. Prescott, Microbiology, 5th edition (2002)
Zdjęcia mikroskopowe drożdży pochodzą z materiałów ćwiczeniowych z przedmiotu pracownia
inżynierii genetycznej na Międzyuczelnianym Wydziale Biotechnologii UG i GUMed
Strony internetowe:
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node103.html
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node102.html
http://news.astronet.pl/3012
http://gwiazdozbiory.eulersoft.com.pl/dod_JasnosciGwiazd.html
http://scientist.pl/viewtopic.php?t=1774


Slide 19

Spis treści
Wprowadzenie
Logarytmy




Makrokosmos
 Mikrokosmos


Spirala logarytmiczna



Ciąg Fibonacciego
 Galaktyki
 Ziemia- natura




Co z tego wynika?

Logarytmy
Nasza przygoda z logarytmami zaczęła się
na pewnej lekcji matematyki. Twoja może
dopiero się rozpoczyna, albo ją dalej
kontynuujesz.
A więc logarytmem o podstawie a z liczby b
nazywamy taką liczbę c, że a podniesione
do potęgi c jest równe b, tzn.:
log a b=c wtedy i tylko wtedy, gdy a c =b

Makrokosmos
Fizyka gwiazd,czyli ich jasność
Do okreslenia janosci gwiazd okazala się pomocna skala
logarytmiczna.Obserwowaną(widomą) wielkość gwiazdowa, m(jasność
obserwowana); mierzona w magnitudo(mag) określamy zależnością:
m= -2,5 log E
Różnica wielkości gwiazdowych
Obiektów jest wyrażona wzorem pagsona:
m1-m2=-2,5 log(E1/E2)

Mikrokosmos
Zjawisko wzrostu
drobnoustrojów można
zobrazować za pomocą
krzywej wzrostu bakterii.
Na wykresie wyróżniono
sześć faz rozwoju
populacji...

I. faza spoczynkowa
II. logarytmiczna
III. zwolnionego
wzrostu

I. równowagi
II. zamierania
III. zamierania
logarytmicznego

W fazie logarytmicznej dochodzi do
intensywnych podziałów komórkowych, przez
co liczba komórek rośnie w tempie
geometrycznym, gdzie logarytm ilości bakterii
jest wprost proporcjonalny do czasu.
Wzrost w fazie log. opisuje wzór:
N= N0 * 2n ,

wzór określający swoistą szybkość przyrostu
masy organizmów bakteryjnych w jednostce
czasu i jednostkę masy już istniejącej:
M.= (ln x 2-ln x 1) / (t 2-t 1) ,
W fazie VI podziały komórek prawie
całkowicie ustają. W rezultacie liczba komórek
stale maleje. W niekorzystnych warunkach
zamieranie może zachodzić bardzo szybko.
Mówimy wtedy o fazie śmierci
logarytmicznej.

Hodowla drożdży
znajdująca się w fazie
wzrostu log. Wskazuje
na to duże zagęszczenie
komórek i obecność
komórek pączkujących.
Ta hodowla jest w fazie
obumierania.
Widać zdecydowanie
mniej komórek.
Komórki posiadają
powiększone wakuole.

Ciąg Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb,
który rozpoczyna się od 0 i 1, a każdy kolejny wyraz ciągu
jest sumą dwóch poprzednich.
Jest to jeden z najważniejszych ciągów,
o wszechstronnym zastosowaniu, nie tylko
w matematyce.
Ciąg został podany przez Leonarda z Pizy zwanego
Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci (1202)
Było to rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

1

Króliki
Fibonacciego
1

W kwadratach
podano liczbę par
na danym
„poziomie”.

2

3

5

Innym
przykładem
obecności ciągu
Fibonacciego
w przyrodzie jest
przyrost pędów
roślinnych.
Zatem wzór na zapis ciągu Fibonacciego
wygląda:

Spirala logarytmiczna
Spirala Logarytmiczna zwana też spiralą
Fibonnaciego oraz złotą spiralą. Złoty
podział, oparty jest liczbach, których
suma dwóch poprzednich daje następną,
tak na przykład: jeżeli I liczbą ciągu jest
liczba 1, tak samo jak II jest również 1,
1+1=2 następną liczbą ciągu jest 2. Idąc
dalej tym tokiem myślenia1+2=3 i tak dalej
- 2+3=5, 3+5=8 i tak w nieskończoność.

Spiralę logarytmiczną można zbudować w bardzo
prosty sposób, wykorzystując "złoty podział" , z
pewnością pomogą nam proste figury
geometryczne.

Budowa galaktykspirala logarytmiczna
Galaktyki, łącznie stanowią 4,5% masy całego
Wszechświata. Każda z galaktyk spiralnych
posiada jądro otoczone dyskiem.
Droga Mleczna jest
jedną z galaktyk spiralnych.

Rodzaje galaktyk:

1. Eliptyczna
2.Soczewkowata

3.Nieregularne
4.Spiralne

Ciąg Fibonacciego w
naturze
W przyrodzie istnieja dużo bardziej
racjonalne przypadki ciągu niż twierdzenie
o królikach. Dowodem tego moga być np.:
Układ pestek w tarczy słonecznika, lub uklad
łusek w szysce.

Co z tego wynika?
W trakcie naszej prezentacji miałeś okazję
przekonać się, iż logarytmy otaczają cały
twój świat. Nurtuje nas jedno pytanie: czy
tak cudowny świat można opisać za
pomocą zjawiska, jakimi są logarytmy?
Na to pytanie niestety nikt nie jest w stanie
odpowiedzieć.

Literatura:

Bibliografia

Astronomia, Państwowe zakłady wydawnictw szkolnych, Warszawa 1973
J. Nicklin, K. Graeme- Cook, R. Killington, Mikrobiologia - Krótkie wykłady wyd. II popr. i unow., PWN,
Warszawa 2004
E. Solomon, L. Berg, D. Martin, C. A. Villee, Biologia, wyd. II popr., (wg III wyd. amer.) MULTICO
Oficyna Wydawnicza, Warszawa 2000
T. Szymczyk, S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne,
astronomiczne
James Trefil, 1001 Spotkań z nauką, wyd. Świat Książki, Warszawa 1997
Matematyka Fizyka Chemia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004
F. Sherman, Getting started with yeast

M. Prescott, Microbiology, 5th edition (2002)
Zdjęcia mikroskopowe drożdży pochodzą z materiałów ćwiczeniowych z przedmiotu pracownia
inżynierii genetycznej na Międzyuczelnianym Wydziale Biotechnologii UG i GUMed
Strony internetowe:
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node103.html
http://vesta.astro.amu.edu.pl/Staff/Tkastr/Astro/geo-lec/node102.html
http://news.astronet.pl/3012
http://gwiazdozbiory.eulersoft.com.pl/dod_JasnosciGwiazd.html
http://scientist.pl/viewtopic.php?t=1774