Transcript Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego.

Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej
Portalu www.szkolnictwo.pl
Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie
w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie
i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania
w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.
CIĄGI
monotoniczność ciągów
Spotkaliśmy się z ciągami: rosnącymi, malejącymi.
Spróbujmy się im przyjrzeć i zapisać matematyczne
warunki.
( 4, 26, 34, 57, 67,……..) - ciąg rosnący
( ¾ , ¾ , ¾ , ¾ , ¾ , ¾ , ………) - ciąg stały
( 7, -2, -23, -33, -47, -89, ……….) - ciąg malejący
( 3, 3, 3, 0, -2, -7, -7, -10, ……) - ciąg nierosnący
(2, 4, 7, 7, 7, 13, 15, 15, …….) - ciąg niemalejący
CIĄG ROSNĄCY
Ustawmy dowolne elementy w ciąg rosnący; w ciągu
liczbowym wstawmy znaki pomiędzy wyrazami.
(,
, , , , ,

…….)
( 0, 7, 11, 12, 23, ………………………….. )
( a1 < a2 < a3 < a4 < a5 <
< an < an+1 )
Patrząc na dowolne miejsca w ciągu możemy ogólnie
zapisać:
an < an+1 i przekształcić nierówność
an+1 > an
an+1 - an > 0
Otrzymaliśmy warunek na to, aby ciąg (an ) był rosnący:
an+1 - an > 0
„Różnica pomiędzy dowolnym wyrazem an+1
a wyrazem go bezpośrednio poprzedzającym an
jest dodatnia”
Ćw. Sprawdź z definicji, czy ciąg jest rosnący:
a) an = 10n + 2
wyznaczmy wyraz an+1 oraz różnicę an+1 - an
an+1 = 10(n+1) + 2
an+1 – an =
= 10(n+1) + 2 – [10n + 2] =
= 10n + 10 + 2 – 10n – 2 = 10 otrzymana liczba jest
dodatnia, co możemy zapisać:
an+1 – an > 0
ciąg (an) jest rosnący
b) bn = n2 + 3n + 6
wyznaczmy wyraz bn+1
bn+1 = (n+1)2 + 3(n+1) + 6 = n2 + 2n + 1 + 3n + 3 + 6 =
n2 + 5n + 10
obliczmy różnicę: bn+1 - bn
bn+1 – bn =
= [n2 + 5n + 10] – [n2 + 3n + 6 ] =
= n2 + 5n + 10 – n2 – 3n – 6 = 2n + 4 otrzymane
wyrażenie jest dodatnie ( n jest liczbą dodatnią, 2n jest
liczbą dodatnią więc 2n + 4 również dodatnie); dlatego
możemy zapisać:
bn+1 – bn > 0
ciąg (bn) jest rosnący
CIĄG MALEJĄCY
(

,
,
,
,
, …….)
( 10, 7, 1, -5, -6, ………………………….. )
wstawmy odpowiednie znaki pomiędzy wyrazami
w ciągu:
( a1 > a2 > a3 > a4 > a5 >
> an > an+1 )
Patrząc na dowolne miejsca w ciągu możemy ogólnie
zapisać:
an > an+1 i przekształcić nierówność
an+1 < an
an+1 - an < 0
Otrzymaliśmy warunek na to, aby ciąg (an ) był malejący:
an+1 - an < 0
„Różnica pomiędzy dowolnym wyrazem
a wyrazem go bezpośrednio poprzedzającym
jest ujemna”
Ćw. Sprawdź czy ciąg jest malejący
an = 20 – n
wyznaczmy wyraz an+1 oraz różnicę an+1 - an
an+1 = 20 – (n+1)
an+1 – an =
= 20 – (n+1) – [20 – n ] =
= 20 – n – 1 – 20 + n = -1
otrzymana liczba jest
ujemna, co możemy zapisać:
an+1 – an < 0
ciąg (an) jest malejący
CIĄG STAŁY
( 6, 6, 6, 6, 6, …………..)
a2 – a1 = 6 – 6 = 0
a3 – a2 = 6 – 6 = 0
a4 – a3 = 6 – 6 = 0
Widzimy, że różnica pomiędzy wyrazami jest stała, równa 0
Matematycznie zapiszemy:
an+1 - an = 0
Otrzymaliśmy warunek na to, aby ciąg (an ) był stały
CIĄG NIEMALEJĄCY
Zbiór punktów dla tego ciągu przedstawia wykres.
an
· · ·
3
2
1
-1
·
· · · ·
·
·
1 2 3
n
Z wykresu widzimy, że ciąg wzrasta lub jest stały.
Matematyczny warunek dla ciągu niemalejącego:
an+1 - an ≥ 0
CIĄG NIEROSNĄCY
Narysujmy wykres do tego rodzaju ciągu:
an
3
2
1
· · ·
·
· · · ·
·
·
1 2 3
n
Z wykresu widzimy, że ciąg maleje lub jest stały.
Matematyczny warunek dla ciągu nierosnącego:
an+1 - an ≤ 0
Ćwiczenia. Określ rodzaj ciągu:
(1) an = n3 + 7n + 8
wyznaczmy wyraz an+1
an+1 = (n+1)3 + 7(n+1) + 8 = n3 + 3n2 + 3n + 1 + 7n + 7
+ 8 = n3 + 3n2 + 10n + 16
obliczmy różnicę:
an+1 – an =
= [n3 + 3n2 + 10n + 16] – [n3 + 7n + 8 ] =
= n3 + 3n2 + 10n + 16 – n3 – 7n – 8 = 3n2 + 3n + 8
otrzymane wyrażenie jest dodatnie
an+1 – an > 0
ciąg (an) jest rosnący
(2) bn = – n3 – 4
wyznaczmy wyraz bn+1
bn+1 = – (n+1)3 – 4 = – ( n3 + 3n2 + 3n + 1 ) – 4 =
– n3 – 3n2 – 3n – 1 – 4 = – n3 – 3n2 – 3n – 5
obliczmy różnicę:
bn+1 – bn =
= [– n3 – 3n2 – 3n – 5 ] – [– n3 – 4 ] =
= – n3 – 3n2 – 3n – 5 + n3 + 4 = – 3n2 – 3n – 1
otrzymane wyrażenie jest ujemne
bn+1 – bn < 0
ciąg (bn) jest malejący
(3) cn = 102
wyznaczmy wyraz cn+1
cn+1 = 102
obliczmy różnicę:
cn+1 – cn = 102 – 102 = 0
cn+1 – cn = 0
ciąg (cn) jest stały
(4)
wyznaczmy wyraz dn+1
obliczmy różnicę:
otrzymane wyrażenie jest dodatnie
dn+1 – dn > 0
ciąg (dn) jest rosnący
(5)
wyznaczmy wyraz en+1
obliczmy różnicę:
en+1 – en < 0
ciąg (en) jest malejący