Transcript ppsx
• •
Ciągiem nieskończonym
nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich
Ciągiem skończonym k-wyrazowym
nazywamy funkcję, której dziedziną jest skończony podzbiór kolejnych liczb naturalnych 1,2,3,…,
ciągiem liczbowym.
k
. Jeżeli wartości tej funkcji są liczbami, to taki ciąg nazywamy
W każdym z ciągów kolejne elementy powstają według pewnej ustalonej reguły, np.:
itd…
Ciągi monotoniczne
to ciągi, które są albo rosnące, albo malejące, albo stałe.
Ciąg (a
n
) nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz oprócz pierwszego jest większy od wyrazu go poprzedzającego, czyli gdy każdej dodatniej liczb naturalnej n spełniona jest nie równość:
a n
1
a n
Ciąg (a
n
) nazywamy malejącym spełniona jest nierówność: wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz oprócz pierwszego jest mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, czyli gdy dla każdej dodatniej liczby naturalnej n
a n
1
a n
Ciąg (a
n
) nazywamy stałym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz oprócz pierwszego jest równy wyrazowi, który go poprzedza, czyli dla każdej dodatniej liczby naturalnej n spełniona jest równość:
a n
1
a n
W celu zbadania monotoniczności ciągu (a
n
) wyznaczamy różnicę: a
n+1 –a n
i badamy jej znak.
Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg, w którym każdy wyraz, oprócz pierwszego, otrzymujemy przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej liczby r. Oznacza to, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi:
a n
1
a n r
Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
• • •
Ciąg arytmetyczny o różnicy r: 1) jest rosnący, gdy r > 0 2) jest malejący, gdy r < 0 3) jest stały, gdy r = 0 Jeżeli (a n ) ciąg jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi:
r a n
1
a n
Każdy wyraz nieskończonego wyrazu ciągu arytmetycznego (oprócz wyrazu pierwszego) jest średnią arytmetyczną jego dwóch sąsiednich wyrazów (poprzedniego i następnego).
Jeżeli ciąg (a
n
) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi :
a n a
1
n
1
r
Niech dany będzie ciąg (a
n
) o wyrazach:
a
1
,
a
2
,
a
3
,...,
a n
,
a n
1
,
a n
2
,...
Symbolem S
n
oznaczamy n tą sumę częściową ciągu (a
n
),
czyli sumę wszystkich wyrazów tego ciągu od wyrazu pierwszego do
n
tego włącznie.
S S
2
S S
4 1 3
a
1 ,
a a a
1 1 1
Zatem:
a
2 ,
a
2
a
2
a
3
a
3 ,
a
4 , ...
S n
a
1
a
2
a
3 ...
a n
.
__________ __________ _
dodajemy
_
n
_
wyrazów
Jeżeli ciąg (a n ) jest ciągiem arytmetycznym, to suma n początkowych jego wyrazów wyraża się wzorem:
S n
(
a
1
a n
)
n
2
Jeżeli ciąg (a n ) jest ciągiem arytmetycznym o wyrazie początkowym a 1 i różnicy r, to suma n początkowych jego wyrazów wyraża się wzorem:
S
n =
[ 2
a
1 (
n
1 )
r
]
n
2
Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg, w którym każdy wyraz, oprócz pierwszego, powstaje przez pomnożenie wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego przez tę samą liczbę q. Oznacza to, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi:
a n
1
a n q
Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.
Ciąg geometryczny o wyrazie początkowym a
1
i ilorazie q jest: 1) naprzemienny, gdy:
a
1 0
i q
0
2) stały, gdy:
q
1
lub a
1 0
3) rosnący, gdy:
a
1 0
i q
1
lub a
1 0
i
0
q
1
4) malejący, gdy:
a
1 0
i
0
q
1
lub a
1 0
i q
1
Jeżeli ciąg (a
n
) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q i wyrazach różnych od zera, to dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi:
q
a n
1
a n
Zatem aby stwierdzić, czy dany ciąg o wyrazach różnych od zera jest geometryczny, należy sprawdzić, czy iloraz jego kolejnych wyrazów jest stały.
Jeżeli ciąg (a
n
) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, to dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi:
a n
a
1
q n
1
Jeżeli ciąg (a
n
) jest ciągiem geometrycznym, to suma
n
początkowych wyrazów wyraża się wzorem:
S n
a
1
n
1
a
1
q
, 1
q n gdy
,
gdy q q
1 1