Transcript Ciąg Fibonacciego i złota liczba

Ciąg Fibonacciego i złota liczba
Eryk Giefert kl. IIa
Ciąg liczbowy Fibonacciego
Spośród wszystkich ciągów liczbowych, które występują,
jeden jest szczególnie interesujący. Ciąg ten zawdzięcza
swoją nazwę matematykowi z Pizy, Leonardowi, który pod
nazwiskiem Fibonacci wydał w 1202 roku słynną księgę
Liber Abaci. Ojciec Leonarda nosił przydomek Bonacci,
stąd syn został Fibonaccim (filius Bonacci - syn
dobrotliwego) Liczby naturalne tworzące ciąg o takiej
własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch
pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich nazywa się
liczbami Fibonacciego i pojawiają się w tak wielu
sytuacjach, że wydaje się to niemożliwe.
Matematyczne podejście do ciągu
Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb określony rekurencyjnie w
sposób następujący:
F0 = 0
F1 = 1
Fn = Fn-1 + Fn-2, dla n ≥ 2
Początkowe wartości tego ciągu to:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...
Podstawowy ciąg liczb Fibonacciego to: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
Każda liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich (poza
pierwszą i drugą). Mamy więc do czynienia z ciągiem
rekurencyjnym. Ciąg liczbowy Fibonacciego jest
pierwszym ze znanych ciągów tego rodzaju.
Własności ciągu Fibonacciego
1. Każda liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich (poza
pierwszą i drugą).
2. W wyniku podzielenia każdej z liczb ciągu przez jej
poprzednik otrzymuje się iloraz oscylujący wokół 1.618. w
miarę zwiększania się liczb zmniejszają się odchylenia od
tej wartości. Odwrotnością 1.618 jest 0.618. W związku z
tym współczynnik każdej liczby ciągu podzielony przez
liczbę następną oscyluje wokół 0.618.
3. Trzecia cecha ciągu polega na tym, że pomiędzy każdymi
dwiema liczbami rozdzielonymi jedną liczbą występuje
proporcja 2.618 oraz jej odwrotność, czyli
0.382.
4. Tę samą procedurę można powtórzyć dla liczb bardziej
oddalonych od siebie. Na przykład dla liczb oddzielonych o
trzy pozycje współczynniki wynoszą 4.236 i 0.236; liczby
oddalone o cztery pozycje łączą proporcje wyrażone
współczynnikiem 6,853 i 0.146.- zniesienia.
Ciekawostki dotyczące ciągu
Fibonacciego
Kilka początkowych wyrazów w ciągu Fibonacciego to
liczby pierwsze: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229.
Otwarty pozostaje problem rozstrzygalności, czy liczb
pierwszych w ciągu Fibonacciego jest nieskończenie wiele.
Liczby Fibonacciego są sumami liczb z przekątnych w
trójkącie Pascala.
Ciąg Fibonacciego a złota liczba
Dzieląc każdą z liczb tego ciągu przez poprzednią
otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia złotej liczby:
3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625
… 89:55=1,61818… 144:89=1,61797…
Wartość złotej liczby to 1.1680339887.....
fn 
1  1
  
 
5
5 
1
n
n
Złoty podział
Złoty podział (łac. sectio aurea), podział harmoniczny,
złota proporcja, boska proporcja (łac. divina proportio) –
podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości
dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka
do części dłuższej. Innymi słowy: długość dłuższej części
ma być średnią geometryczną długości krótszej części i
całego odcinka. Rysunek po prawej ilustruje ten związek
geometrycznie.
Aby podnieść złotą liczbę do kwadratu, wystarczy dodać
do niej 1
Aby znaleźć odwrotność złotej liczby, wystarczy odjąć od
niej 1.
Spirala Fibonacciego
Najbardziej efektownym przejawem istnienia złotej
proporcji w świecie zwierząt są zapewne muszle, których
kształt układa się zgodnie z przebiegiem tzw. Spirali
Fibonacciego. Aby matematycznie uzyskać taką spiralę
należy przeprowadzić resekcję zgodnie ze złotym
podziałem w dwóch wymiarach przestrzeni. Wyobraźmy
sobie odcinek podzielony na dwa mniejsze w ten sposób,
że mniejszy ma się tak do większego, jak większy do
całości. Odcinek większy staje się bokiem kwadratu, który
dorysowujemy, zaś odcinek mniejszy tworzy wraz z
drugim bokiem tego kwadratu prostokąt. W efekcie
otrzymujemy prostokąt, podzielony ma kwadrat i mniejszy
prostokąt.
Spirala Fibonacciego
Następnie dzielimy mniejszy prostokąt w identyczny
sposób i postępujemy tak, aż do utraty rozdzielczości na
kartce papieru. Teraz w każdym kwadracie zakreślamy
ćwiartkę okręgu, o promieniu równym długości boku, a po
połączeniu wszystkich ćwiartek otrzymujemy gotową
spiralę. Przyglądając się tej spirali i muszli ślimaka, od
razu zauważamy wyraźne podobieństwo. Złota spirala
występuje w większości kształtów muszli ślimaków czy
ostryg. Wszystko dlatego, że im są one większe tym
szybciej rosną.
Ciąg Fibonacciego w przyrodzie
Gdyby przyjrzeć się z bliska łuskom szyszki, ananasa,
ziarnom na tarczy słonecznika czy kwiatom kalafiora –
można zauważyć, że układają się spiralnie, a ich przyrost
również podlega regułom słynnego ciągu – wystarczy
policzyć liczbę prawo- i lewoskrętnych spiral – pestki
słonecznika czy różyczki kalafiora ułożone są wzdłuż
logarytmicznych krzywych, które grupami biegną w
różnych kierunkach, na przykład 34 lewoskrętne i 55
prawoskrętnych. A 34 i 55 to nic innego, jak liczby
Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego w przyrodzie
W
przypadku słonecznika również jego ulistnienie
podporządkowane jest ciągowi Fibonacciego – liście
wyrastają wokół łodygi, w maksymalny sposób
wykorzystując dostęp do światła i wody spływającej
wzdłuż łodygi, czyli – gdybyśmy spojrzeli z góry – jeden
drugiego nie zasłania, bowiem cechują się spiralną
filotaksją (ulistnieniem), a liście układają się wzdłuż helisy
– spirali okrążającej łodygę. Określa się ją, licząc obroty, a
także odległości między liczbami – dla wielu roślin te
liczby są liczbami Fibonacciego.
Ciąg Fibonacciego w przyrodzie
Jeszcze jedną ciekawostką dotyczącą ciągu Leonarda z Pizy
jest spirala Fibonacciego. Najlepszym jej przykładem w
przyrodzie są muszle. Gdyby spojrzeć na muszlę łodzika
(morskiego mięczaka) w przekroju: widać, że ułożona jest
spiralnie i zbudowana z szeregu komór, z których każda
następna jest większa od poprzedniej dokładnie o tyle, ile
wynosi wielkość tej poprzedniej. Wynika to z faktu, że im
są większe, tym szybciej rosną. Być może trudno
uwierzyć, że układ muszli zgodny jest z jakimkolwiek
ciągiem, ale wystarczy spojrzeć na graficzny obraz spirali
Fibonacciego.
Bibliografia
http://www.swiatmatematyki.pl/index.php?p=50
http://pl.wikipedia.org/wiki/Z%C5%82oty_podzia%C5%82
http://pl.wikipedia.org/wiki/Ci%C4%85g_Fibonacciego
http://www.math.edu.pl/liczby-fibonacciego
http://www.youtube.com/watch?v=M16GINf8A50