Transcript Złoty podział odcinka

Złota liczba
Złota liczba
a
b
a+b
a
Złoty podział
• Złoty podział – ( podział harmoniczny, złota
proporcja, boska proporcja) – podział odcinka na
dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z
nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka
do części dłuższej.
• Innymi słowy: długość dłuższej części ma
być średnią geometryczną długości krótszej części
i całego odcinka. Stosunek, o którym mowa w
definicji, nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką
literą φ (czyt. "fi").
• ● Zasada złotego podziału znana od
starożytności, znalazła zastosowanie w
architekturze antycznej, romańskiej oraz w
sztuce renesansu i klasycyzmu;
● Okna w budowlach w stylu renesansowym (
szerokość do wysokości była w stosunku 5:8 );
● renesansowe pałace włoskie, np. Palazzo
Strozzi, Palazzo Rucelai, Santa Maria Novella,
Kaplica Palazzo Vendrai;
● także inne świątynie, np. Partenon na
Akropolu.
●Złoty kanon przejęli od starożytnych artyści
renesansowi, choć nie traktowali go już w tak
ortodoksyjny sposób. Co prawda istniała opcja
estetyczna, według której plan i proporcje kościoła
podłużnego winny odpowiadać kształtom i
proporcjom ludzkiego ciała (Francesco di Giorgio,
Filarete), a proporcje dobrze zbudowanego
człowieka powinny odpowiadać prostym figurom
geometrycznym, kołu i kwadratowi.
Zastosowanie Złotego
Podziału
• Złoty podział wykorzystuje się często w
estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach
architektonicznych, malarskich,
fotograficznych.
Złoty podział w architekturze i
sztuce
• Partenon, Światynia Ateny na Akropolu w Atenach, zbudowana w latach
448-432 p.n.e. Fronton świątyni mieścił się w prostokącie, w którym
stosunek boków wyrażał się liczbą złotą .
Złota liczba została wykorzystana przy budowie piramid w Gizie. Jeżeli
weźmiemy przekrój Wielkiej Piramidy, to otrzymamy trójkąt prostokątny,
nazwany Trójkątem Egipskim
Innym przykładem jest Katedra w Mediolanie. Wszelkie
proporcje są tu zachowane według złotego podziału.
Pentagram
• Pentagram –
pięciokąt gwiaździsty
foremny, figura
geometryczna w wielu
kulturach uważana
za symbol magiczny,
gwiazda
pitagorejska.
Rysunek
Leonarda da Vinci
Kanon proporcji
Wartość złotej liczby
•
•
•
Aby podnieść do kwadratu złotą liczbę,
wystarczy dodać do niej jedynkę.
Aby znaleźć odwrotność złotej liczby,
wystarczy odjąć od niej jedynkę.
Potęgi złotej liczby są liniowo zależne
od tej liczby.
(Współczynniki przy φ, jak i wyrazy wolne,
są kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego)
Leonardo Fibonacci
• Leonardo Bonacci zwany
Fibonaccim urodził się pod
koniec XII wieku w Pizie.
• W młodości był kupcem i
podróżnikiem.
• Odwiedził kraje islamskie
północnej Afryki, Egipt, Syrię,
Grecję i Sycylię, czyli dawne
wielkie ośrodki rozkwitu
matematyki. Po powrocie do
Włoch uporządkował i spisał
zdobytą wiedzę w dziełach
Liber abaci i Practica
geoetriae.
Ciąg Fibonacciego
• Ciąg Fibonacciego – ciąg liczb
naturalnych określony rekurencyjnie w sposób
następujący:
• Pierwsze dwa wyrazy ciągu równe są 1, każdy
następny jest sumą dwóch poprzednich.
Formalnie:
• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,
377, 610, 987, 1597, 2584, 4181.
• Liczby tworzące te stosunki to wyrazy znanego
od XII wieku ciągu liczbowego zwanego
ciągiem Fibonacciego.
• Fibonacci (Leonardo z Pizy; ur. około 1175 r. zm. 1250 r.) - włoski matematyk. Znany jako:
Leonardo Fibonacci, Filius Bonacci (syn
Bonacciego), Leonardo Pisano (z Pizy).
Liczby Fibonacciego w
przyrodzie
• Łuski ananasa, szyszek sosnowych, pestki w
słonecznikach tworzą dwa układy linii spiralnych
prawoskrętnych i lewoskrętnych.
Liczby tych spiral to kolejne liczby Fibonacciego.
• Liczby Fibonacciego rządzą układem liści prawie
wszystkich roślin.
• Niektóre drzewa rozrastają się według modelu
Fibonacciego:
każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta,
a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą
gałąź.
Innym przykładem występowania złotej liczby w przyrodzie
są muszle zwierząt. Przekrój muszli ukazuje, iż pasuje ona
idealnie do złotego prostokątu, a jej łuki mieszczą się po
ćwierć okręgu w każdym ze złotych kwadratów.
Złoty podział w przyrodzie
• Nasiona słoneczników tworzą spirale układające
się w dwóch przeciwnych kierunkach.
Spirala galaktyczna
• Na wspólnej gałązce
między każdymi dwiema
parami listków trzecia
para leży w miejscu
złotego cięcia.
• Wykonali :
•
•
•
•
•
Witold Janusz
Jacek Kiełb
Łukasz Maziarek
Paulina Mokrzyńska
Agnieszka Zawada