Transcript Objaśnienia Ciekawostki Zakończ Króliki, rośliny … liczby Ciąg Fibonacciego Geometria Sztuka Ciąg Fibonacciego Złoty podział Objaśnienia Aby powiększyć obrazek/zdjęcie należy kliknąć na niego lewym przyciskiem myszy. Aby powrócić należy ponownie nacisnąć na obrazek. W slajdzie 4

Objaśnienia
Ciekawostki
Zakończ
Króliki, rośliny … liczby
Ciąg
Fibonacciego
Geometria
Sztuka
Ciąg
Fibonacciego
Złoty podział
Objaśnienia
Aby powiększyć obrazek/zdjęcie należy kliknąć
na niego lewym przyciskiem myszy.
Aby powrócić należy ponownie nacisnąć na
obrazek.
W slajdzie 4 aby zobaczyć rozwiązanie zagadki
należy nacisnąć na przycisk nazwany
”rozwiązanie”.
Przyciski po lewej stronie służą do powracania
do listy slajdów podzielonych na kategorie.
Leonardo Fibonacci
Podróżnik i kupiec z Pizzy.
Matematyk epoki
średniowiecza.
Wprowadził do Europy cyfry
arabskie.
Zwolennik i propagator
dziesiątkowego systemu
pozycyjnego.
Autor słynnego zadania o
królikach.
Autor „Liber abaci” –
kompendium ówczesnej
wiedzy matematycznej (1202
r.).
(KLIKNIJ NA OBRAZEK ABY POWIĘKSZYĆ)
Zagadka Fibonacciego:
Ile par królików będziesz miał
po roku, jeżeli :
każda para staje się płodna po 2
miesiącach,
każda para rodzi jedną nową parę co
miesiąc,
króliki nigdy nie umierają?
Rozwiązanie
Licząc pary królików w poszczególnych miesiącach możemy
zauważyć że układają się one w pewien ciąg. To właśnie jest ciąg
liczb fibonacciego znajdujący zastosowanie m.in. także w
genetyce.
Ciąg Fibonacciego
1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,
610, 987, 1597 …
Liczby z tego ciągu nazywane są
liczbami Fibonacciego,
Fibonacci kolejność liczb osadzał w prosty arytmetyczny
związek. A mianowicie, że w ciągu Fibonacciego każda
liczba jest sumą dwóch poprzednich i tak 1+2=3 , 2+3=5,
3+5=8 itd..
Fn  Fn1  Fn2
Wśród pszczół
Trutnie (samce pszczoły) mają tylko matkę - królową,
powstają bez udziału ojca, podczas gdy królowe mają już
dwoje rodziców - inną królową i trutnia.
Niech Tn oznacza liczbę n - praprzodków.
Widać już, że na poziomie pierwszych pradziadków truteń ma
dwie prababcie i jednego pradziadka, łącznie troje; piętro wyżej,
na poziomie drugich pradziadków - pięcioro. Ogólnie na poziomie
n - tych pradziadków ma dokładnie
Tn-1 n - prababć oraz Fn-2
n - pradziadków; łącznie
Tn= Tn-1 + Tn-2 n - praprzodków.
Nowe pędy
Na rysunku powyżej jest pokazane drzewo, które rośnie
podobnie, jak rozmnażają się króliki w modelu Fibonacciego:
każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym
następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź. Ten model
wzrostu wydaje się być nawet bardziej realistyczny, niż
rozmnażanie się stada królików - biolodzy potrafią wskazać
drzewa, które tak właśnie się rozrastają.
Złoty podział
i
złota liczba
Złoty odcinek
Podział odcinka na dwie części tak, by stosunek
długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam,
jak całego odcinka do części dłuższej.
φ = (a+b) : a = a : b
Inne nazwy
-
boska proporcja
złota proporcja
złote cięcie
złoty podział
zwana przez starożytnych
matematyków “divina proportio”
- podział harmoniczny
Złoty podział
Złota liczba związana ze złotym podziałem
zadziwiała przez stulecia matematyków,
architektów, botaników, fizyków i artystów
niezwykle interesującymi własnościami.
Złoty podział wykorzystuje się często w
estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach
architektonicznych, malarskich, fotograficznych.
Obecnie złoty podział jest też często stosowany,
np. wymiary znormalizowanego zeszytu
pozostają w stosunku w przybliżeniu równym
stosunkowi złotego podziału.
Złota liczba i jej wartość
złota liczba jest rozwiązaniem
równania: (wzór)
   1  0
2
 0
dokładna wartość:
5 1

2
Rozwinięcie dziesiętne:
φ ≈ 1,61803
• Ułamek łańcuchowy:
Własności złotej liczby
Jeżeli chcesz znaleźć odwrotność złotej liczby,
wystarczy abyś odjął od niej jeden.
1

5 1


2
1
  1
Żeby podnieść do kwadratu złotą liczbę,
wystarczy dodać do niej jeden.
   1
2
Złota proporcja, a ciąg fibonacciego
Aby znaleźć złotą proporcję należy
następną liczbę z ciągu podzielić przez
poprzednią i tak :
3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625
… 89:55=1,61818… 144:89=1,61797…
Konstrukcja złotego odcinka
Złoty prostokąt
Jest to prostokąt, którego
boki pozostają w złotym
stosunku.
Charakteryzuje się tym, że po
dorysowaniu kwadratu o
boku równym dłuższemu
bokowi prostokąta otrzymuje
się nowy, większy złoty
prostokąt.
Prostokąt otrzymany
po odcięciu możliwie
największego kwadratu
jest złotym prostokątem.
a-b
b
b
a
Złoty prostokąt, a ciąg
Fibonacciego
Każdy z boków
poszczególnych
kwadratów
znajdujących się
wewnątrz złotego
prostokąta ma bok
długości
odpowiadający
kolejnym liczbom z
ciągu.
Złoty trójkąt
B
w złotym trójkącie
kąt między ramionami
ma 36°.
trójkąt
równoramienny,
stosunek ramienia do
podstawy jest równy
złotej liczbie.
| AD |

| DC |
| BC |

| AC |
36°
D
36°
36°
A
C
Spirala
Spirala równokątna leży w złotym podziale.
Ta spirala występuje we wzorze łusek na szyszkach i w
rozkładzie pestek na tarczy słonecznika. Spirala
doskonała ma pewną własność, dzięki której jej
matematyczna nazwa brzmi "Spirala równokątna".
Pięciokąt foremny
wszystkie boki, kąty i
przekątne równe
każda przekątna jest
równoległa do
jednego boku.
przekątna pięciokąta
foremnego pozostaje w złotej
proporcji z jego bokiem.
złoty stosunek w pięciokącie
foremnym odkrył Hippasus
(V wiek p.n.e.).
Pentagram
pięciokąt foremny,
gwiazda pitagorejska,
symbol doskonałości według
Greków i Pitagorejczyków,
Dla pierwszych chrześcijan
pentagram odzwierciedlał
pięć ran Jezusa ze względu
na 5 wierzchołków,
Pitagorejczycy widzieli w
nim symbol doskonałości,
Od XIV wieku uważany za
symbol szatana, ze względu
na podobieństwo do głowy
kozła (odwrócony dwoma
wierzchołkami do góry).
Własności pentagramu
miara kąta w każdym
wierzchołku jest równa 36º.
suma kątów przy
wierzchołkach pentagramu
wynosi 180°.
W pentagramie ukryty jest
złoty
podział.
b

a
b
a
b
Pentagram dawniej i dziś
- ciekawostki
Pentagram to pięcio-ramienna gwiazda, w której została zachowana
złota proporcja. Był używany jako symbol przez starożytnych Greków
i Babilończyków oraz Związek Pitagorejczyków. Miał magiczne
właściwości, i wielu ludzi którzy praktykują jego kult nosi go.
W XIX wieku Eliphas Levi podzielił pentagramy na "dobrą stronę" i
"złą stronę". Za "dobrą" uznał ten odwrócony jednym wierzchołkiem
do góry, za "złą" odwrócony — zwrócony dwoma wierzchołkami do
góry.
Pentagram zwrócony jednym wierzchołkiem do góry zwany jest
Pentagramem Białym, jest on odzwierciedleniem sacrum — siły
boskiej. Odzwierciedla również pięć zmysłów człowieka, oraz pięć
żywiołów: powietrze, wodę, ziemię, ogień i ducha, ukazując wyższość
umysłu człowieka nad wszelkimi innymi żywiołami i zmysłami.
Pentagram zwrócony jednym wierzchołkiem ku dołowi zwany jest
Pentagramem Odwróconym, Czarnym, lub Pentagramem
Baphometha. Przedstawia profanum - człowieczeństwo, odzwierciedla
on wyższość żądz i emocji nad rozumem, jest powszechnie uważany
za znak satanistyczny, chociaż często mylony z Pentagramem Białym.
W starożytności
Grecy wysoko cenili harmonię i proporcje.
Utożsamiali piękno z symetrią i umiarem.
złoty podział uważali za proporcję
doskonałą.
stosowali go w architekturze i sztuce.
na jego podstawie powstał Partenon
Partenon na Akropolu
Fronton Partenonu, świątyni Ateny na Akropolu, można
zawrzeć w prostokącie, w którym stosunek boków
wyraża się złotą liczbą.
Wielcy artyści zastosowujący
złote cięcie
Leonardo da Vinci
uważany za przykład tzw. człowieka renesansu.
ur. 1452 - zm. 1519
Leonardo da Vinci zauważył, że ciało człowieka
zbudowanego proporcjonalnie jest wpisane w
kwadrat i w koło. Taki kwadrat i koło wyznaczają
prostokąt, który dla człowieka o prawidłowych
proporcjach jest złoty.
Człowiek witruwiański
(kanon proporcji)
Michał Anioł
Jego prawdziwe imię brzmi: Michelangelo
di Lodovico Buonarroti Simoni
jeden z najgenialniejszych artystów
plastyków świata.
ur.1475 - zm.1564
Michał Anioł,
Dawid
Fidiasz
Fidiasz stosował w swych rzeźbach zasadę złotej proporcji.
Rzeźbiarz grecki, uważany za
najwybitniejszego
przedstawiciela greckiej rzeźby
starożytnej okresu klasycznego.
Złotą liczbę oznacza się dziś
właśnie przez 
od pierwszej litery imienia
greckiego rzeźbiarza Fidiasza.
Fidiasz,
Atena Lemnia
Leochares
Leochares (IV wiek p.n.e.)
linia E wskazuje złotą
proporcję między głową
a górną częścią tułowia.
Linia I dzieli na dwie części
całą postać w złotej
proporcji.
Linia O zaznacza podział
nóg w kolanach według
złotego cięcia.
Leochares
Apollo Belwederski
Złote cięcie występuje także…
Złote cięcie w przyrodzie
Jeżeli przyjrzymy się
układowi listków na
wspólnej łodydze, to okaże
się, że między każdymi
dwiema parami listków
trzecia leży w miejscu
złotego cięcia.
| KL |

| LM |
Na dłoni
Spójrz na swoja dłoń, masz...
2
5
3
2
ręce
palców,
części palca
kciuki
Czy to jest zbieg okoliczności????? Raczej nie…
Jeżeli zmierzysz długość kości w twoim palcu, wygląda to
tak jakby współczynnik najdłuższej kości w palcu do
środkowej części palca był liczbą fi.
A co ze współczynnikiem środkowej kości do najkrótszej
kości ( na końcu palca ) także fi ? No właśnie…
Ciało człowieka
Wymiary ciała mężczyzny - znajdujemy wśród
nich wiele złotych proporcji: dwie części całego
ciała oddzielone linią pępka pozostają w "boskiej
proporcji", podobnie - wysokość głowy do górnej
części tułowia, a także - kolana są na
"doskonałej wysokości" względem reszty dolnej
części tułowia.
Piramidy
Złotą liczbę wykorzystano przy budowie Wielkiej
Piramidy w Gizie.
Jeżeli weźmiemy przekrój Wielkiej Piramidy, to otrzymamy
trójkąt prostokątny, nazywany Trójkątem Egipskim. Stosunek
przeciwprostokątnej (wysokości ściany bocznej) do podstawy
(połowa wymiaru podstawy) wynosi 1,61804 i różni się od liczby
tylko o jeden na piątym miejscu po przecinku.
Łańcuch DNA
DNA w komórkach
pojawia się w
podwójnych spiralach. Ta
forma łańcucha DNA ma
dwa wyżłobienia, tak że
współczynnik fi w
proporcji głównego
wyżłobienia do
mniejszego jest w złotej
proporcji.
Sri Yantra
We wrześniu 1990 roku odkryto na pustyni Alvord ogromny znak, który
przez niektórych został określony jako „pustynny piktogram”. Był to
ogromny, perfekcyjnie wykonany geometryczny znak, który znajdował się na
wysuszonym dnie jeziora. Eksperci zidentyfikowali znak jako Sri Yantrę –
symbol matki natury czczonej w Indiach. Znak miał ok. 400 metrów
średnicy, a jego analiza wykazała brak śladów opon i wszelkich innych
znaków zostawionych przez człowieka. Część badaczy uznała więc, że
twórcą znaku musieli być przybysze z kosmosu. Po jakimś czasie do
stworzenia znaku przyznał się
Sri Yantra składa się z 9 równoramiennych trójkątów, które nakładając się
na siebie tworzą 43 mniejsze trójkąciki. Pięć trójkątów jest skierowanych do
dołu i reprezentuje żeńską energię (Sakti), a cztery są skierowane do góry i
reprezentują męski aspekt mądrości (Siva). Centralny punkt zwany „bindu”
reprezentuje oryginalne zjednoczenie aspektu męskiego i żeńskiego przed
aktem stworzenia.
Charakterystyczną cechą Sri Yantry jest to, że w największym trójkącie kąt
podstawy wynosi ok. 52 stopni. Przywodzi to na myśl Wielką Piramidę w
Gizie, której kąt pochylenia ścian bocznych do podłoża wynosi 51,5 stopnia.
Ciekawostką jest, że w kształcie największego trójkąta Sri Yantry zapisana
jest liczba fi. Zakodowanie tej liczby w wedyjskim znaku świadczy, zdaniem
niektórych, o odwzorowaniu w nim boskich praw natury.
System dwójkowy
Jeśli kolejne wyrazy ciągu zapisać
w systemie dwójkowym, jeden pod
drugim, to otrzymamy wydłużający się
w dół trójkąt. Dla lepszej przejrzystości
na rysunku obok wszystkie zera
zastąpiono białymi punktami, a
jedynki – czarnymi.
(KLIKNIJ NA OBRAZEK ABY POWIĘKSZYĆ)
Przykłady występowania
Podsumowanie
Złoty podział występuje w wielu
zjawiskach we wszechświecie…
Oprócz tego z biegiem czasu
odkrywamy jego nowe zastosowania…
Może sami kiedyś znajdziecie
inne wykorzystanie…
Mamy nadzieję, że sami zapragniecie
poszerzać swoją wiedzę o nowe
wiadomości związane z
przedstawionym przez nas tematem…
Koniec
Joanna Kosior
Joanna Konsek