Transcript Patrycja Perdian Aleksandra Ciosek ID- Złoty

Złoty podział odcinka.
Co to jest złoty podział odcinka?
Złoty podział, podział harmoniczny, złota
proporcja, boska proporcja – podział odcinka
na dwie części tak, by stosunek długości
dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak
całego odcinka do części dłuższej. Innymi
słowy: długość dłuższej części ma być średnią
geometryczną długości krótszej części i
całego odcinka. Stosunek, o którym mowa w
definicji, nazywa się złotą liczbą i oznacza
grecką literą φ (czyt. "fi").
Gdzie wykorzystujemy złoty
podział odcinka?
Złoty podział wykorzystuje się często w
estetycznych, proporcjonalnych
kompozycjach architektonicznych,
malarskich, fotograficznych, itp. Znany był
już w starożytności i przypisywano mu
wyjątkowe walory estetyczne. Stosowano go
np. w planach budowli na Akropolu.
Z rozdzielenia w powyższej równości dzielenia względem dodawania wynika:
czyli:
Mnożąc obustronnie przez φ i przegrupowując wyrazy, równość powyższą
sprowadza się do postaci ogólnej równania kwadratowego:
Ma ono dwa rozwiązania rzeczywiste:
Jedno z nich jest dodatnie:
Czasami tym samym terminem określa się liczbę odwrotną:
Związek złotej liczby z liczbami
Fibonacciego.
Kolejne przybliżenia liczby złotej można otrzymać
obliczając ilorazy sąsiednich liczb Fibonacciego:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…
co daje kolejno:
Już ostatni z wypisanych tu ułamków daje
przybliżenie złotej liczby z dokładnością do 0,001.
Definicja rekurencyjna powyższego ciągu ma
postać:
Występowanie złotej liczby.
Punkt przecięcia przekątnych w pięciokącie foremnym
dzieli je według złotego podziału.
Korzystając z twierdzenia Ptolemeusza*(opisuje
czworokąt wpisany w krąg , jego sformułowanie oraz
dowód można przypisać Klaudiuszowi Ptolemueszowi
,starożytnemu i wybitnemu astronomowi i
matematykowi) można wykazać, że bok a pięciokąta
foremnego stanowi złotą część jego przekątnej b :
Bok dziesięciokąta foremnego ma długość równą
długości dłuższego odcinka otrzymanego ze
złotego podziału promienia okręgu opisanego na
tym dziesięciokącie.
Złoty podział odcinka w pięciokącie foremnym
Przykład konstrukcji złotego podziału
Kolejne kroki konstrukcji:
1.Zbuduj kwadrat o dowolnie wybranym boku a .
2.Znajdź środek jednego z boków kwadratu (na
rysunku jest to środek dolnego boku).
3.Weź odcinek łączący środek boku z końcem
boku przeciwległego (na rysunku – odcinek c ) i
odłóż go ze środka boku na prostej, w której
zawiera się ten bok (czynność na rysunku
zaznaczona łukiem okręgu).
4.Część odłożonego odcinka, wystająca poza bok
kwadratu, wyznacza szukaną długość b. Odcinek
ten wystarczy odłożyć w boku wyjściowego
kwadratu
Długości początkowego odcinka i znalezionego
pozostają w złotym stosunku,
wyznaczają więc złoty podział.
*Twierdzenie Ptolemeusza (Teza):
Teza:
W dowolnym czworokącie ABCD wpisanym w okrąg iloczyn długości
przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych
boków:
.
Dla czworokątów, które nie dają się wpisać w okrąg, iloczyn długości
przekątnych jest mniejszy od sumy iloczynów długości boków
przeciwległych. Jest to tzw. nierówność Ptolemeusza:
.
*Twierdzenie Ptolemeusza (Dowód):
Weźmy dowolny czworokąt ABCD wpisany w
okrąg. Umieśćmy punkt K na przekątnej AC tak,
że półprosta BK przecina przekątną AC tak, aby
<ABD=<KBC. W wyniku tego otrzymaliśmy
trójkąty ABD i KBC.
Dziękujemy za uwagę
Patrycja Perdian
Aleksandra Ciosek
ID