Transcript Złota liczba

VII siedlecki turniej wiedzy matematycznej
Złoty podział
od geometrii do algebry
od algebry do geometrii
Oddział Siedlecki Stowarzyszenia Nauczycieli Matematyki
Pracownia Dydaktyki Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczo Humanistyczny w Siedlcach
Samorządowe Centrum Doradztwa i Doskonalenia Nauczycieli w Siedlcach
www.scdidn.siedlce.pl
konkursy
Który prostokąt jest najładniejszy
Złoty poddział odcinka
Możliwości podziału odcinka jest bardzo wiele,
lecz wśród nich jest jeden który był znany
już w starożytności.
Grecy uznali ten podział za najbardziej
estetyczny i nazwali go złotym podziałem
odcinka.
Punkt dzielący odcinek leży na nim w takim
miejscu, że cały odcinek ma się do swojej
większej części jak większa część do mniejszej
części odcinka.
a + b – długość odcinka
a – długość dłuższej części
b – długość krotszej części
φ =(a+b)
:a=a:b
Pentagram
Pentagram – gwiazda pitagorejska, znany był już
starożytnym Grekom i Pitagorejczykom. Już wtedy
był uznawany za symbol doskonałości.
Dla pierwszych chrześcijan był on znakiem pięciu
ran Chrystusa, ze względu na pięć wierzchołków.
Od XIV w. uważany jest za symbol szatana.
Niektórzy uważają, że pentagram jest symbolem
bogini Wenus
Uważano, że
pięć wierzchołków
symbolizuje pięć żywiołów
Właściwości pentagramu
stosunek długości przekątnej i boku pięciokąta
foremnego opisanego na pentagramie jest złoty a  
x
b
d

Złoty prostokąt
a
Złoty prostokąt – to taki prostokąt w którym stosunek  
x
dłuższego boku do krótszego jest liczbą złotą.
Co ciekawe prostokąt po odcięciu od niego największego
możliwego kwadratu pozostaje nadal złoty. Po odcięciu
kwadratu długość boku pozostałego prostokąta wynosi a-x.
Stosunek boków dużego prostokąta wynosi
a małego x .
ax
Jeśli porównamy te stosunki
otrzymujemy złotą proporcję.
x
a  x

a
x
 
a
x
Złota spirala
Powtarzając wielokrotnie operację odcinania
kwadratów ze złotego prostokąta,
otrzymujemy nieskończenie wiele małych
kwadratów. Kiedy wpiszemy w kwadraty
ćwiartki okręgów otrzymujemy złotą spiralę.
Złota proporcja w przyrodzie i
sztuce
Wielu filozofów Greckich twierdziło, że
złota liczba fi (  ) jest liczbą boską,
zmierzoną przez samego stwórcę.
Złota proporcja jest wszechobecna
wokoło nas!
Złota proporcja w przyrodzie
Liczba pszczół płci żeńskiej do trutni
jakiegokolwiek ula na świecie to liczba φ
Nasiona słonecznika rosną w dwóch
przeciwnych sobie spiralach.
Stosunek średnic obrotu kolejnych spirali
wynosi φ
Spiralnie układające się płatki szyszki
sosny, układ liści na łodygach roślin,
segmentacja owadów to wszystko
wykazuje niesamowite posłuszeństwo
liczbie φ
To nie są jedyne przykłady
Złota proporcja w sztuce
Leonardo da Vinci był zafascynowany liczbą φ.
Umieszczał ją praktycznie w każdym obrazie.
Szczególnym tego przykładem jest blado żółty rysunek z
nagim mężczyzną „Człowiek witruwiański”
Złotą proporcją kierowali się także znani
artyści tacy jak Michał Anioł, Albrecht
Durera i wielu innych
Sławne budowle w których występuje złota
proporcja to rzymski Pantenon, egipskie
piramidy, Parntenon w Atenach
Złota proporcja w ciele człowieka
Odległość od czubka głowy
do podłogi podzielona przez
odległość od pępka do podłogi
Odległość między ramieniem
a czubkiem palców, podzielona
przez odległość między łokciem
a czubkiem palców
Odległość od biodra do podłogi podzielona
przez odległość od kolan do podłogi
Stawy dłoni, palce u nóg odległość między
kręgami…
…wszystko to jest posłuszne złotej
proporcji, boskiej proporcji.
Ile wynosi φ
φ =(a+b) : a = a : b
Z rozdzielności w powyższej równości dzielenia względem
dodawania wynika
czyli
1 + 1/φ = φ
Mnożąc obustronnie przez φ i przegrupowując wyrazy, otrzymujemy
równanie kwadratowe
φ² – φ – 1 = 0
Ma ono dwa rozwiązania rzeczywiste
jedno z nich jest dodatnie:
Jeszcze trochę o przyrodzie
Konary i liście zachowują
zależność
1,1,2,3,5,8,13,
21,34,55…
f ( n )  f ( n  1)  f ( n  2 )
Ciąg Fibonaciego:
 f (0)  1

 f (1)  1
 f ( n )  f ( n  1)  f ( n  2 )

Co ma wspólnego Fibonacci ze
złotą liczbą
Lp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Liczby ciągu
Fibonaciego Iloraz a n /a n-1
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
987
1597
2584
4181
6765
10946
17711
28657
46368
1
2
1,5
1,666666667
1,6
1,625
1,615384615
1,619047619
1,617647059
1,618181818
1,617977528
1,618055556
1,618025751
1,618037135
1,618032787
1,618034448
1,618033813
1,618034056
1,618033963
1,618033999
1,618033985
1,61803399
1,618033988
1,618033989
Złote proporcje w muzyce
Konstrukcja
Dowód
Z twierdzenia
Pitagorasa
zatem b wynosi
zatem a/b daje
Konstrukcja prowadzi zatem do złotego podziału
Dziękuję za uwagę