Transcript Liczby Fibonacciego
Slide 1
Mateusz Kuszaj klasa IIIa
Slide 2
Slide 3
Leonardo Fibonacci (ok. 1170- ok. 1240 ) był Pizańczykiem, któremu
można zawdzięczyć rozwój matematyki na przełomie XII i XIII wieku.
Pierwsze lekcje matematyki pobierał Fibonacci w kolonii włoskiej na
północy Afryki, w portowym mieście, której szefem był pizański
kupiec- ojciec Leonarda. 12- wieczny student szybko pojmował wiedzę
od swojego arabskiego nauczyciela, dlatego nauka zawiodła go w takie
miejsce jak Egipt, Syria, Prowansja, Grecja i Sycylia. W 1202 roku
napisał on swoje głośne dzieło Liber Abaci, co znaczy Księga
Rachunków. Było to dzieło napisane po łacinie zawierające
dorobekarytmetyki i algebry. Była to jedna z pierwszych książek
opierająca się na dziesiątkowym systemie liczenia. W tej też książce
pojawiły się w pierwszym rozdziale arabskie (a raczej hinduskie cyfry).
W jego Liber Abaci można znaleźć wiele ciekawych matematycznych
problemów- zagadka o dwóch ptakach, o kupcu z Pizy, o zawartościach
czterech sakiewek, znalazły się tam nawet równania diofantyńskie,
czyli równanie z dwoma niewiadomymi.
Slide 4
Fibonacci był znawcą związków pomiędzy liczbami. W
1225 roku otrzymał na turnieju zadanie: znaleźć liczbę,
która jest zupełnym kwadratem i pozostanie nim
również wówczas, gdy ją zwiększymy o pięć oraz gdy ją
zmniejszymy o pięć (liczba jest zupełnym kwadratem,
gdy jest kwadratem pewnej liczby wymiernej).
Fibonacci po krótkim namyśle podał 1681/144. Nie
wiadomo jak do tego doszedł
Slide 5
W dziele Leonarda Fibonacciego z Pizy pojawiły się
także zadania i problemy związane z Ciągiem
Fibonacciego. Chociaż nie wiadomo, kto go wymyślił,
to jednak Pizańczykowi przypisuje się jego odkrycie.
Slide 6
Liczby Fibonacciego to liczby będące wyrazami Ciągu
Fibonacciego, zdefiniowanego w sposób następujący
F(1)=1
F(2)=2
F(n)= F(n-1) + F(n-2)
W ciągu tym każdy kolejny wyraz jest sumą dwóch
poprzednich . Ciąg Fibonacciego jest przykładem
ciągu rekurencyjnego, czyli takiego, w którym
następny wyraz zależy od poprzedniego. Jest to
pierwszy ze znanych ciągów tego rodzaju.
Slide 7
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,…
2=1+1
3=2+1
5=3+2
8=5+3
13=8+3
itd..
Slide 8
Aby sprawdzić n-tą Liczbę Fibonacciego należy
zastosować wzór:
Po zaokrągleniu tej liczby do liczby naturalnej
otrzymamy dokładną wartość danej Liczby
Fibonacciego
Slide 9
Ciąg liczbowy może wydawać nam się pojęciem bardzo
dalekim, wręcz abstrakcyjnym. Lecz ten konkretny ciąg
liczbowy- Ciąg Fibonacciego występuję powszechnie na
świecie w wymiarach obiektów żywych i nieożywionych.
Zadziwiające jest, że te liczby, które pojawiły się w
powiązaniu z bardzo nienaturalnym, matematycznym
modelem zadań z Księgi Abaku, występują jako wymiary
obiektów przyrody, które przecież pojawiły się na długo
przed ich wprowadzeniem przez Fibonacciego do
matematyki. Bardzo ciekawy jest ich związek z
doskonałością budowy natury- być może właśnie w tym
należy szukać uzasadnienia dla ich występowania jako
liczbowych modeli wielu obiektów przyrody. Warto dodać
że człowiek znalazł dla tych liczb zastosowanie w
budownictwie, sztuce, a nawet muzyce.
Slide 10
O popularności i rozległości zastosowania liczb
Fibonacciego może świadczyć fakt, że jest wydawane
specjalne czasopismo pt. „ The Fibonacci Quarterfy”,
poświęcone w całości tym liczbom i ich
wykorzystaniu. Jest to jedyne czasopismo naukowe, w
którego tytule występuje nazwisko osoby naukowca.
Slide 11
Czyli co Leonardo Fibonacci rozpatruje w Liber Abaci
Slide 12
Przyjmijmy, że króliki żyją nieskończenie długo i że
każdego miesięca każda para rodzi nową parę, a ta
może mieć młode, gdy ma dwa miesiące. Zaczynamy
hodowlą od jednej, właśnie narodzonej pary. Ile par
królików mamy w kolejnych miesiącach?
Czyli:
- Nowa para staje się płodna po miesiącu życia
- Każda płodna para rodzi jedną parę nowych królików
w miesiącu
- Króliki nigdy nie umierają
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Miesiąc
Pary dorosłe
Pary młode
Całkowita l. par
styczeń
1
1
2
luty
2
1
3
marzec
3
2
5
kwiecień
5
3
8
maj
8
5
13
czerwiec
13
8
21
lipiec
21
13
34
sierpień
34
21
55
wrzesień
55
34
89
październik
89
55
144
listopad
144
89
233
Slide 20
Slide 21
Gałęzie niektórych drzew rozrastają się w bardzo
regularny sposób. Co rok każda gałąź przyrasta o
pewną długość, a gałęzie mające co najmniej dwa lata,
nie tylko wydłużają się, ale wypuszczają też odrosty,
czyli rozdwajają się. Ile gałęzi ma drzewo w kolejnych
latach po osadzeniu?
Slide 22
Slide 23
Zadanie o królikach i o gałęziach tego drzewa jest bardzo
podobne i opiera się na tym samym ciągu liczb. Zatem
liczba gałęzi w kolejnych latach opisana jest liczbami
Fibonacciego. Zadanie o gałęziach jest jednak bardziej
realistyczne. Biolodzy potrafią wskazać drzewa, które tak
właśnie się rozrastają.
Slide 24
Nie tylko drzewa wypuszczają gałęzie pod komendę
liczb Fibonacciego, także liczba płatków wielu
kwiatów, w tym popularnej stokrotki jest na ogół liczbą
Fibonacciego i wynosi 3, 5, 8 lub 13. Skąd komórki
wiedzą, że liczba kwiatów ma być liczbą Fibonacciego i
jak ta informacja rozchodzi się po milionach komórek,
nawet tej samej rośliny. Zjawisko to w botanice nazywa
się filotaksją, dosłownie „układem liści”. Zjawiskiem
tym interesował się Alan Turing, który wsławił się
złamaniem szyfrów niemieckiej maszyny Enigma.
Slide 25
Jeszcze bardziej zadziwiający wynik dają obserwacje rozkładu
liści na gałązkach i gałązek na łodydze dębu. Od razu
zauważymy, że nie wszystkie liście leżą jeden na drugim,
podobnie gałązki. Przeciwnie, zamiast wzdłuż linii prostej,
układają się one wzdłuż spirali, która okrąża łodygę. Krzywa ta
nazywa się helisą. Cyklem tej krzywej nazywa się odległość liści
osadzonych dokładnie jeden na drugim, wzdłuż gałęzi lub
łodygi. Helisę danej rośliny można scharakteryzować dwiema
liczbami: liczbą obrotów cyklu helisy wokół gałązki lub łodygi,
oraz liczbą odstępów między kolejnymi liśćmi leżącymi nad
sobą. Okazuje się, że dla bardzo wielu roślin te dwie liczby są
Liczbami Fibonacciego. Na przykład drzewo bukowe ma cykl
złożony z trzech liści i wykonuje on jeden obrót, a wierzba
amerykańska ma cykl złożony z 13 liści i wykonuje on pięć
obrotów.
Slide 26
Układ liści na
gałązkach i gałązki
na łodygach.
Slide 27
Taki rozkład liści i gałązek roślin można uzasadnić ich
naturalnymi potrzebami zdobywania jak największej
ilości światła i wilgoci.. Można wię argumentować, że
liście nie rosną bezpośrednio nad sobą, gdyż
zasłaniałyby sobie światło słoneczne padające z góry.
Ponadto ich położenie względem siebie powoduje
spadanie kropli rosy lub deszczu z jednego liścia na
inny, leżący pod nim. Nie wiadomo jednak dlaczego
wzorem do odstępów i układu liści są akurat Liczby
Fibonacciego.
Slide 28
Najbardziej znanym przykładem występowania liczb w
przyrodzie są zapewne układy łusek na szyszkach i układy
pestek w tarczach słoneczników Spirale na szyszce
tworzone przez jej łuski są prawoskrętne i lewoskrętne. Nie
zawsze szyszki, nawet tego samego gatunku, mają
identyczną liczbę spiral. Jednak z wyjątkiem kilku procent
badanych szyszek, łuski układają się wzdłuż spiral, których
liczba jest związana z liczbami Fibonacciego. Fenomenem
jest fakt, że matematyka wywiera tak duży wpływ na
naturę, czy też przyroda na królową nauk. Być może nigdy
nie odkryjemy, dlaczego przyroda wykorzystuje Liczby
Fibonacciego.
Slide 29
Szyszka z 8
lewoskrętnymi
spiralami i 13
prawoskrętnymi.
Slide 30
Tak Fibonacci
„układa” spirale
na słoneczniku.
Slide 31
Liczba φ to kolejna tak ważna liczba niewymierna, jak
choćby liczba π. Liczba φ jest np. stosunkiem boków w
prostokącie złotym Występuje w sztuce. Ma bardzo wiele
wspólnego z Liczbami Fibonacciego. Kolejne ilorazy Liczb
Fibonacciego są coraz doskonalszymi przybliżeniami liczby
φ.
2/1=2
3/2=1,5
5/3=1,666
8/5=1,6
13/8=1,625
21/13=1,615
34/21=1,619
Slide 32
Złoty prostokąt
Z tego, że stosunek
dwu kolejnych Liczb
Fibonacciego jest
bliski złotej liczbie
φ, wynika, że
pokazany obok
prostokąt jest w
przybliżeniu złotym
prostokątem.
Slide 33
Złota proporcja to klasyczny element matematyki.
Pochodzi już ze starożytności, związany jest ze złotym
podziałem.
Okazuje się, że Liczby Fibonacciego są ściśle z nią
związane.
Od czasów starożytności znany jest termin boska proporcja
(łac. divina proportio) nazywana częściej złotą proporcją
lub też złotym stosunkiem. Podział odcinka a na dwie
części oraz a-x jest złotym podziałem tego odcinka, jeśli
cały odcinek a tak ma się do swojej większej części, jak
większa część ma się do mniejszej części a-x. Boską
proporcją jest stosunek a/x.
Slide 34
Oto odcinek
podzielony w
stosunku złotym
Slide 35
Złotą proporcję
znajdujemy w wielu
wymiarach
człowieka
Dwie części całego
ciała oddzielone
linią pępka
pozostają w boskiej
proporcji, podobnie
wysokość głowy od
górnej części
tułowia, a także
kolana względem
dolnej części
tułowia.
Slide 36
Fronton Partenonu
na Akropolu
(448-432 pne)
Złota proporcja
występuje często
między wymiarami
starożytnych
budowli. Np.
Partenon można
zawrzeć w
prostokącie
wyrażającym się
złotą liczbą
Slide 37
Spirala
równokątna
Podobnie jak
Partenon, także
Złotą Spiralę można
związać
prostokątem o
złotym stosunku
boków. Spirala ta
występuje we
wzorze łusek na
szyszkach.
Slide 38
Liczby Fibonacciego tworzą system liczbowy. KAŻDA
liczba całkowita może być przedstawiona jako suma
liczb Fibonacciego
1 000 000= 832 040 +121 393+46 368+144+55
-są tylko dwie liczby Fibonacciego. , które są
kwadratami: 1 i 144
-są dokładnie dwie liczby Fibonacciego, które są
sześcianami: 1 i 8
Występują w molekułach DNA, strukturze kryształu,
orbitach planet i galaktyk, wirach wodnych,
huraganach.
Slide 39
Slide 40
Encyklopedia Szkolna Matematyka str.28
Podręcznik do III klasy gimnazjum Eureka str.223-225
Podręcznik do II klasy gimnazjum Eureka str.227
Mała Encyklopedia Powszechna PWN
„Wstęp do liczb Fibonacciego” Agata Cywińska Joanna
Kozioł
http://free.of.pl/f/fibonacci/index.html
Slide 41
Mateusz Kuszaj klasa IIIa
Rok szkolny 2007/2008
Mateusz Kuszaj klasa IIIa
Slide 2
Slide 3
Leonardo Fibonacci (ok. 1170- ok. 1240 ) był Pizańczykiem, któremu
można zawdzięczyć rozwój matematyki na przełomie XII i XIII wieku.
Pierwsze lekcje matematyki pobierał Fibonacci w kolonii włoskiej na
północy Afryki, w portowym mieście, której szefem był pizański
kupiec- ojciec Leonarda. 12- wieczny student szybko pojmował wiedzę
od swojego arabskiego nauczyciela, dlatego nauka zawiodła go w takie
miejsce jak Egipt, Syria, Prowansja, Grecja i Sycylia. W 1202 roku
napisał on swoje głośne dzieło Liber Abaci, co znaczy Księga
Rachunków. Było to dzieło napisane po łacinie zawierające
dorobekarytmetyki i algebry. Była to jedna z pierwszych książek
opierająca się na dziesiątkowym systemie liczenia. W tej też książce
pojawiły się w pierwszym rozdziale arabskie (a raczej hinduskie cyfry).
W jego Liber Abaci można znaleźć wiele ciekawych matematycznych
problemów- zagadka o dwóch ptakach, o kupcu z Pizy, o zawartościach
czterech sakiewek, znalazły się tam nawet równania diofantyńskie,
czyli równanie z dwoma niewiadomymi.
Slide 4
Fibonacci był znawcą związków pomiędzy liczbami. W
1225 roku otrzymał na turnieju zadanie: znaleźć liczbę,
która jest zupełnym kwadratem i pozostanie nim
również wówczas, gdy ją zwiększymy o pięć oraz gdy ją
zmniejszymy o pięć (liczba jest zupełnym kwadratem,
gdy jest kwadratem pewnej liczby wymiernej).
Fibonacci po krótkim namyśle podał 1681/144. Nie
wiadomo jak do tego doszedł
Slide 5
W dziele Leonarda Fibonacciego z Pizy pojawiły się
także zadania i problemy związane z Ciągiem
Fibonacciego. Chociaż nie wiadomo, kto go wymyślił,
to jednak Pizańczykowi przypisuje się jego odkrycie.
Slide 6
Liczby Fibonacciego to liczby będące wyrazami Ciągu
Fibonacciego, zdefiniowanego w sposób następujący
F(1)=1
F(2)=2
F(n)= F(n-1) + F(n-2)
W ciągu tym każdy kolejny wyraz jest sumą dwóch
poprzednich . Ciąg Fibonacciego jest przykładem
ciągu rekurencyjnego, czyli takiego, w którym
następny wyraz zależy od poprzedniego. Jest to
pierwszy ze znanych ciągów tego rodzaju.
Slide 7
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,…
2=1+1
3=2+1
5=3+2
8=5+3
13=8+3
itd..
Slide 8
Aby sprawdzić n-tą Liczbę Fibonacciego należy
zastosować wzór:
Po zaokrągleniu tej liczby do liczby naturalnej
otrzymamy dokładną wartość danej Liczby
Fibonacciego
Slide 9
Ciąg liczbowy może wydawać nam się pojęciem bardzo
dalekim, wręcz abstrakcyjnym. Lecz ten konkretny ciąg
liczbowy- Ciąg Fibonacciego występuję powszechnie na
świecie w wymiarach obiektów żywych i nieożywionych.
Zadziwiające jest, że te liczby, które pojawiły się w
powiązaniu z bardzo nienaturalnym, matematycznym
modelem zadań z Księgi Abaku, występują jako wymiary
obiektów przyrody, które przecież pojawiły się na długo
przed ich wprowadzeniem przez Fibonacciego do
matematyki. Bardzo ciekawy jest ich związek z
doskonałością budowy natury- być może właśnie w tym
należy szukać uzasadnienia dla ich występowania jako
liczbowych modeli wielu obiektów przyrody. Warto dodać
że człowiek znalazł dla tych liczb zastosowanie w
budownictwie, sztuce, a nawet muzyce.
Slide 10
O popularności i rozległości zastosowania liczb
Fibonacciego może świadczyć fakt, że jest wydawane
specjalne czasopismo pt. „ The Fibonacci Quarterfy”,
poświęcone w całości tym liczbom i ich
wykorzystaniu. Jest to jedyne czasopismo naukowe, w
którego tytule występuje nazwisko osoby naukowca.
Slide 11
Czyli co Leonardo Fibonacci rozpatruje w Liber Abaci
Slide 12
Przyjmijmy, że króliki żyją nieskończenie długo i że
każdego miesięca każda para rodzi nową parę, a ta
może mieć młode, gdy ma dwa miesiące. Zaczynamy
hodowlą od jednej, właśnie narodzonej pary. Ile par
królików mamy w kolejnych miesiącach?
Czyli:
- Nowa para staje się płodna po miesiącu życia
- Każda płodna para rodzi jedną parę nowych królików
w miesiącu
- Króliki nigdy nie umierają
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Miesiąc
Pary dorosłe
Pary młode
Całkowita l. par
styczeń
1
1
2
luty
2
1
3
marzec
3
2
5
kwiecień
5
3
8
maj
8
5
13
czerwiec
13
8
21
lipiec
21
13
34
sierpień
34
21
55
wrzesień
55
34
89
październik
89
55
144
listopad
144
89
233
Slide 20
Slide 21
Gałęzie niektórych drzew rozrastają się w bardzo
regularny sposób. Co rok każda gałąź przyrasta o
pewną długość, a gałęzie mające co najmniej dwa lata,
nie tylko wydłużają się, ale wypuszczają też odrosty,
czyli rozdwajają się. Ile gałęzi ma drzewo w kolejnych
latach po osadzeniu?
Slide 22
Slide 23
Zadanie o królikach i o gałęziach tego drzewa jest bardzo
podobne i opiera się na tym samym ciągu liczb. Zatem
liczba gałęzi w kolejnych latach opisana jest liczbami
Fibonacciego. Zadanie o gałęziach jest jednak bardziej
realistyczne. Biolodzy potrafią wskazać drzewa, które tak
właśnie się rozrastają.
Slide 24
Nie tylko drzewa wypuszczają gałęzie pod komendę
liczb Fibonacciego, także liczba płatków wielu
kwiatów, w tym popularnej stokrotki jest na ogół liczbą
Fibonacciego i wynosi 3, 5, 8 lub 13. Skąd komórki
wiedzą, że liczba kwiatów ma być liczbą Fibonacciego i
jak ta informacja rozchodzi się po milionach komórek,
nawet tej samej rośliny. Zjawisko to w botanice nazywa
się filotaksją, dosłownie „układem liści”. Zjawiskiem
tym interesował się Alan Turing, który wsławił się
złamaniem szyfrów niemieckiej maszyny Enigma.
Slide 25
Jeszcze bardziej zadziwiający wynik dają obserwacje rozkładu
liści na gałązkach i gałązek na łodydze dębu. Od razu
zauważymy, że nie wszystkie liście leżą jeden na drugim,
podobnie gałązki. Przeciwnie, zamiast wzdłuż linii prostej,
układają się one wzdłuż spirali, która okrąża łodygę. Krzywa ta
nazywa się helisą. Cyklem tej krzywej nazywa się odległość liści
osadzonych dokładnie jeden na drugim, wzdłuż gałęzi lub
łodygi. Helisę danej rośliny można scharakteryzować dwiema
liczbami: liczbą obrotów cyklu helisy wokół gałązki lub łodygi,
oraz liczbą odstępów między kolejnymi liśćmi leżącymi nad
sobą. Okazuje się, że dla bardzo wielu roślin te dwie liczby są
Liczbami Fibonacciego. Na przykład drzewo bukowe ma cykl
złożony z trzech liści i wykonuje on jeden obrót, a wierzba
amerykańska ma cykl złożony z 13 liści i wykonuje on pięć
obrotów.
Slide 26
Układ liści na
gałązkach i gałązki
na łodygach.
Slide 27
Taki rozkład liści i gałązek roślin można uzasadnić ich
naturalnymi potrzebami zdobywania jak największej
ilości światła i wilgoci.. Można wię argumentować, że
liście nie rosną bezpośrednio nad sobą, gdyż
zasłaniałyby sobie światło słoneczne padające z góry.
Ponadto ich położenie względem siebie powoduje
spadanie kropli rosy lub deszczu z jednego liścia na
inny, leżący pod nim. Nie wiadomo jednak dlaczego
wzorem do odstępów i układu liści są akurat Liczby
Fibonacciego.
Slide 28
Najbardziej znanym przykładem występowania liczb w
przyrodzie są zapewne układy łusek na szyszkach i układy
pestek w tarczach słoneczników Spirale na szyszce
tworzone przez jej łuski są prawoskrętne i lewoskrętne. Nie
zawsze szyszki, nawet tego samego gatunku, mają
identyczną liczbę spiral. Jednak z wyjątkiem kilku procent
badanych szyszek, łuski układają się wzdłuż spiral, których
liczba jest związana z liczbami Fibonacciego. Fenomenem
jest fakt, że matematyka wywiera tak duży wpływ na
naturę, czy też przyroda na królową nauk. Być może nigdy
nie odkryjemy, dlaczego przyroda wykorzystuje Liczby
Fibonacciego.
Slide 29
Szyszka z 8
lewoskrętnymi
spiralami i 13
prawoskrętnymi.
Slide 30
Tak Fibonacci
„układa” spirale
na słoneczniku.
Slide 31
Liczba φ to kolejna tak ważna liczba niewymierna, jak
choćby liczba π. Liczba φ jest np. stosunkiem boków w
prostokącie złotym Występuje w sztuce. Ma bardzo wiele
wspólnego z Liczbami Fibonacciego. Kolejne ilorazy Liczb
Fibonacciego są coraz doskonalszymi przybliżeniami liczby
φ.
2/1=2
3/2=1,5
5/3=1,666
8/5=1,6
13/8=1,625
21/13=1,615
34/21=1,619
Slide 32
Złoty prostokąt
Z tego, że stosunek
dwu kolejnych Liczb
Fibonacciego jest
bliski złotej liczbie
φ, wynika, że
pokazany obok
prostokąt jest w
przybliżeniu złotym
prostokątem.
Slide 33
Złota proporcja to klasyczny element matematyki.
Pochodzi już ze starożytności, związany jest ze złotym
podziałem.
Okazuje się, że Liczby Fibonacciego są ściśle z nią
związane.
Od czasów starożytności znany jest termin boska proporcja
(łac. divina proportio) nazywana częściej złotą proporcją
lub też złotym stosunkiem. Podział odcinka a na dwie
części oraz a-x jest złotym podziałem tego odcinka, jeśli
cały odcinek a tak ma się do swojej większej części, jak
większa część ma się do mniejszej części a-x. Boską
proporcją jest stosunek a/x.
Slide 34
Oto odcinek
podzielony w
stosunku złotym
Slide 35
Złotą proporcję
znajdujemy w wielu
wymiarach
człowieka
Dwie części całego
ciała oddzielone
linią pępka
pozostają w boskiej
proporcji, podobnie
wysokość głowy od
górnej części
tułowia, a także
kolana względem
dolnej części
tułowia.
Slide 36
Fronton Partenonu
na Akropolu
(448-432 pne)
Złota proporcja
występuje często
między wymiarami
starożytnych
budowli. Np.
Partenon można
zawrzeć w
prostokącie
wyrażającym się
złotą liczbą
Slide 37
Spirala
równokątna
Podobnie jak
Partenon, także
Złotą Spiralę można
związać
prostokątem o
złotym stosunku
boków. Spirala ta
występuje we
wzorze łusek na
szyszkach.
Slide 38
Liczby Fibonacciego tworzą system liczbowy. KAŻDA
liczba całkowita może być przedstawiona jako suma
liczb Fibonacciego
1 000 000= 832 040 +121 393+46 368+144+55
-są tylko dwie liczby Fibonacciego. , które są
kwadratami: 1 i 144
-są dokładnie dwie liczby Fibonacciego, które są
sześcianami: 1 i 8
Występują w molekułach DNA, strukturze kryształu,
orbitach planet i galaktyk, wirach wodnych,
huraganach.
Slide 39
Slide 40
Encyklopedia Szkolna Matematyka str.28
Podręcznik do III klasy gimnazjum Eureka str.223-225
Podręcznik do II klasy gimnazjum Eureka str.227
Mała Encyklopedia Powszechna PWN
„Wstęp do liczb Fibonacciego” Agata Cywińska Joanna
Kozioł
http://free.of.pl/f/fibonacci/index.html
Slide 41
Mateusz Kuszaj klasa IIIa
Rok szkolny 2007/2008