Transcript Matematyka w muzyce Bartecki, Littkowski

Matematyka w muzyce
Matematyka a muzyka
Wielu ludziom wydaje się że matematyka nie
ma nic wspólnego z muzyką, rzeczywistość
jest jednak inna. Związków pomiędzy
matematyką a muzyką dowodził już Euklides.
Nuty
• Nuty mają związek z ułamkami matematycznymi. Muzycznie
nuta to znak graficzny określający długość i wysokość dźwięku
.Muzycznym symbolem oznaczający najdłuższy dźwięk jest
„cała nuta”. Matematycznie odpowiadająca jej wartość to 1 i
każdą następną wartość (półnuty(1/2) , ćwierćnuty(1/4)…)
otrzymujemy poprzez dzielenie poprzedniej wartości przez 2.
Zaczynając od ósemki przedstawienie nuty ma „chorągiewkę.”
Ilość „chorągiewek” przy nutach można zapisać za
pomocą logarytmu w=(log2 s+2)
Co to jest dźwięk?
Jest to wrażenie słuchowe, spowodowane falą
akustyczną rozchodzącą się w ośrodku sprężystym (ciele
stałym, cieczy lub gazie) Częstotliwości fal, które są
słyszalne dla człowieka, zawarte są w paśmie wartości od 20
Hz
Jak powstaje dźwięk?
W instrumentach strunowych dźwięk powstaje
przez poruszającą się strunę. Właśnie ona,
niczym tłok w rurze, podczas drgań porusza
powietrzem i powoduje powstawanie fali
akustycznej.
Funkcja falowa
Fala akustyczna zalicza się do tak zwanych fal
podłużnych, najprostszym matematycznym
opisem jest funkcja:
Υ= Asinω(t-x/v) lub
Υ= Asin2¶(t/T-x/vt)=Asin2¶(t/T-x/λ)
Pitagoras
Słynny starożytny matematyk zajmował się również
badaniem muzyki. Za pomocą jednostrunowego –
monochordu, zanalizował jak zmieniają się przerwy
między dzwiękami (tzw. Interwały) dokonał tego
dzieląc strunę w różnych stosunkach.
Geometria kompozycji
Tzw. Techniki kontrapunktyczne pozwalają na wykorzystanie
przekształceń geometrycznych w komponowaniu utworów.
Jedna z takich technik nosi nazwę „Rak” polega jest to
symetria względem osi pionowej do pięciolinii, która oznacza,
że pewien fragment melodii, zostaje w dalszej części
kompozycji zapisany od końca – w odbiciu lustrzanym.
Dodekafonia
Technika ta zrodziła się wówczas gdy Arnold Schönberg wpadł na
pomysł stworzenia serii 12 dźwięków tak aby żaden dźwięk w
serii się nie powtarzał. W ten sposób wprowadził do muzyki
permutację czyli przestawienie elementów w pewnym ciągu.
Pomysł Schönberga matematycznie zapisalibyśmy jako 12!
Ciąg Fibonacciego
Bardzo popularną funkcją używaną w kompozycjach
szczególnie w okresie baroku jest „ciąg
Fibonacciego”. Powstaje on kiedy zaczynając od cyfr
1 i 1 obliczamy każdy następny element jako sumę
dwóch poprzednich:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89…..
Zastosowanie
• Na ciągu Fibonacciego stosowanym równocześnie w
przód i wstecz zbudowane jest Trio klarnetowe Krzysztofa
Meyera. Jednostką miary jest w tym utworze ćwierćnuta,
a kolejne odcinki różnią się obsadą. I tak np.:
• kolejne odcinki grane przez fortepian mają długość: 89,
55, 34, 21, 13 ćwierćnut
• wszystkie instrumenty razem grają: 21, 34, 55, 89, 144
ćwierćnut.