Transcript mat_cw01 (ok. 213 kB)

Ćwiczenie I. Podstawowe pojęcia matematyczne;
dlaczego przyroda kocha logarytmy
•
•
Strona internetowa ćwiczeń:
http://www.home.umk.pl/~henroz/matm1112
Inne pomoce naukowe:
- skrypt i wykłady: http:// www.home.umk.pl/~ulrichw
•
- podręczniki + notatki ze szkoły średniej (przypomnienie
podstawowych pojęć, definicji i wzorów);
•
- dobre tablice matematyczne;
•
- Śliwiński M., 2011: Matematyka. Math.edu.pl. Copyright © 2011
Mariusz Śliwiński. http://www.math.edu.pl (25 września 2011).
•
- I. Białynicki-Birula, I. Białynicka Birula, 2002. Modelowanie
rzeczywistości. Wyd. Prószyński i S-ka;
•
- J. Weiner, 1999. Życie i ewolucja biosfery.Wyd.Naukowe PWN
Podstawowe pojęcia i symbole matematyczne
•Matematyka – liczenie: liczby naturalne (całkowite i dodatnie);
l. całkowite (mogą być ujemne); liczby wymierne (całkowite, „+”
i „-” oraz ułamki – dające się zapisać w formie ułamka zwykłego
lub dziesiętnego ze skończoną liczbą miejsc po przecinku); liczby
niewymierne (uł. dziesięt. z -ną liczbą miejsc, np.: p, 2 , e), liczby
rzeczywiste (wszystkie ww.). Wśród l. naturalnych – obok parzystych
i nieparzystych wyróżniamy l. pierwsze (podzielne tylko przez 1
i samą siebie) i l. złożone (wszystkie „nie I-sze”).2
•Matematyka – zawiera zdania w języku formalnym, które są jej
najbardziej fundamentalnymi założeniami i są przyjmowane bez
dowodu. Są to aksjomaty (przykł.: skrypt, str. 5, od: „1. 0 jest liczbą
naturalną”). Aksjomaty muszą być spójne (niesprzeczne), wzajemnie
niezależne i muszą definiować najbardziej podstawowe obiekty
i zależności między nimi.
•W matematyce – z aksjomatów można wyprowadzać twierdzenia,
które wymagają dowodów. Wyprowadzanie twierdzeń i ich udowadnianie opiera się o specjalne zasady (np. indukcji; str.5-6 w skrypcie).
•Matematyka jest nauką o strukturach – obiekty, operatory (zdef.
przez aksjomaty), sformułowania („terms”). Wyjaśnienie skompl.zjaw.
=> modele („drivers”). Zdolność wyjaśniania zjawisk jest zarazem
zdolnością do ich modelowania (dodatkowo – prognozowania).
Podstawowe symbole i stałe matematyczne (alfabet
grecki i symbole – str. 4 skryptu); tu – uzupełnienia:
•
,  - wtedy i tylko wtedy, gdy... („exactly if... then”)
(równoważność);
•  - i (koniunkcja);
 - lub (alternatywa);
•  - suma zbiorów;
 - iloczyn zbiorów (część wspólna);
• x - dla każdego x (kwantyfikator ogólny);
• x - istnieje takie x, że... (kwantyfikator szczegółowy);
•  - średnica, ale w rachunku zbiorów – zbiór pusty;
•  - trójkąt, wyróżnik trójmianu kwadratowego lub laplasjan
(operator różniczkowania);
•  - pochodna cząstkowa; a, ~ - proporcjonalny do....
• k
•  x i = x1 + x2 + x3 + ...... + xi - suma serii „x po i do k”
(rachunek ciągów i statystyka);
i1
n
•
x
i
i 1
= x1 . x2 . x3 . ....... . xn iloczyn serii „x po i do n” (ciągi geometr.);
• przykład iloczynu serii: n! – silnia, np.: 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120
n
•n! =
i
i1
 p  3,14159.... - stała matem. „pi” (stosunek długości okręgu do dł. jego
średnicy);
o e  2,71828.... liczba Nepera, stała matem., która jest granicą ciągu
liczbowego: (1 + 1/n)n, czyli:
1
(1  )
n 
n
e  lim
e  lim(1 
n
n
n   i1
1
)
n
n
asymptota
Stała e jest podstawą logarytmów naturalnych (ln)
Logarytmy
Logarytm jest to wykładnik potęgi (c) do jakiej należy podnieść
podstawę (a), aby otrzymać liczbę logarytmowaną (b): logab=c i ac = b.
log10100=2, bo 102=100; colog = kologarytm, antylogarytm (wynik
działania odwrotnego w stosunku do logarytmowania): colog102=100,
bo 102=100.Uproszczony zapis logarytmów: log10 = log; log natur. (loge)
= ln; w innych przypadkach zawsze podajemy podstawę log.
Ogólnie: x = aloga(x).
Działania z wykładnikami: ax+y = ax  ay; (ab)x = axbx; a0 = 1; a–x = 1/ax;
a(xy) = (ax)y; xa = a1/x, ale: a(x^y)  (ax)y.
Działania na logarytmach: x * y = aloga(x) * aloga(y) = aloga(x) + loga(y). Dlatego:
log (x * y) = log (x) + log (y) oraz log (x / y) = log (x) – log (y)
i log(xy) = ylog(x).
Zamiana podstawy logarytmów:
x = aloga(x) = blogb(a)*loga(x) = blogb(x), stąd: logb(x) = logb(a) * loga(x)
Funkcja logarytmiczna
limx0 ln(x) = - 
limx ln(x) = ; 1 nie może być podstawą
ln (log, log a) (1) = 0; x > 0
Dlaczego przyroda kocha logarytmy?
y = axb [funkcja potęgowa: zależność
masy ciała (y) od długości ciała (x),
2 < b < 3]
Logarytmowanie obu stron równania
log (y) = b * log(x) + a
„....bo wszystko prostują!!!!!”
•
Obok wielu zastosowań biologicznych, w ekologii przydaje się do opisu
zależności pomiędzy liczbą gatunków a zajmowaną przez nie
powierzchnią. Jeżeli za N0 przyjmiemy tzw. liczebność całkowitą, czyli
sumaryczną liczbę osobników wszystkich gatunków występujących na
danej powierzchni, a za Ni liczebność i-tego gatunku, to iloraz Ni/N0
staje się względną liczebnością gatunku i. Przyjmując „i” za kolejny
numer gatunku w szeregu ich liczebności (malejącej), a „a” – za
współczynnik proporcjonalności, to: ln(Ni/N0) = – a(i) . Zależność ta
nazywana jest „szeregiem logarytmicznym” („log-series”). Jeżeli
przyjmiemy Ai za 1, to liczbę osobników gatunku przypadającą na
jednostkę powierzchni opisuje równanie: S0 = ln(A0)/a. Dlatego
zależność pomiędzy liczbą gatunków (S), a zasiedlaną przez nie
powierzchnią (A) opisuje równanie funkcji logarytmicznej: S=ln(A)/a+ S0
(na wykresie – „zlinearyzowane”). O ile względne częstości
występowania gatunków w
zbiorowiskach, zgodne są z „szeregami
logarytmicznymi” (zw. też „sz.
geometrycznymi”), tak zależność
pomiędzy liczbą gatunków, a
zajmowaną przez nie powierzchnią
modeluje funkcja logarytmiczna.
•
Dlaczego przyroda kocha logarytmy? …bo wszystko „prostują”
I nie tylko… Obustronne logarytmowanie tak równania funkcji
wykładniczej, jak I potęgowej daje funkcję liniową.
log
log
Uzasadnienie / podsumowanie twierdzącej odpowiedzi
na pytanie: czy przyroda kocha logarytmy?
a) ważne dla przyrodników funkcje: wykładniczą i potęgową można
przekształcić w drodze logarytmowania w łatwe do interpretacji
funkcje liniowe;
• b) sama funkcja logarytmiczna może modelować ważne zjawiska
biologiczne (np. zależność liczby gatunków od zajmowanej przez
nie powierzchni);
• c) transformacja danych surowych zgodnie z funkcją logarytmiczną
może “poprawiać” przydatność i użyteczność tych danych do
parametrycznych analiz statystycznych;
•
•
d) skala wielu ważnych dla przyrodników zmiennych (np. wykładnik
stężenia jonów wodorowych  pH; skala intensywności trzęsień
Ziemi Richtera) to skala logarytmiczna;
e) w fizjologii: percepcja bodźca jest wprost proporcjonalna do
logarytmu jego intensywności (prawo Webera-Flechnera).
• Błądzenie przypadkowe („random walk”)
•
Błądzenie przypadkowe jest to proces, którego wyniku końcowego
nie można przewidzieć w oparciu o zjawiska poprzedzające (skr.12?)
• Błądzeniem przypadkowym nazywamy ruch punktu na prostej, na
płaszczyźnie, czy nawet w przestrzeni o dowolnej liczbie wymiarów,
będący złożeniem kroków o tej samej długości wykonywanych
w przypadkowo wybranych kierunkach (Białynicki-Birula & c., 2002).
• Błądzenie przypadkowe w przestrzeni stanowi matematyczny model
zjawisk dyfuzji i ruchów Browna – rozprzestrzeniania się cząsteczek
substancji w jakimś środowisku.
• Odległość przebyta w błądzeniu przypadkowym jest wprost
proporcjonalna nie do czasu (t), ale do t.
•Przykład: względna częstość występowania gatunków rzadko występujących w ekosystemach (wymieranie gatunków w toku ewolucji).
p – prawdopodobieństwo
wystąpienia danego
gatunku
p
p*p
p*p*p
Kolejne pokolenia
Częstość wystąpienia i-tego rzadkiego gatunku – Si: Si = S0pi
S0 – początkowa liczba gatunków.
Definiując stałą: k = –ln(p), Si = S0e–ki (funkcja wykładnicza)
Obustronne logarytmowanie
- linearyzacja: ln(Si)=ln(S0) – k*i
Si= S0/2 – połowiczne wymarcie
gatunku: Si/ S0 = e–ki = ½; i = ln(2)/k
W analogiczny sposób modelowany jest
proces radioaktywnego rozpadu, gdzie
w równaniu zamiast „i” występuje czas (t)
Ponadto, „zgodnie z modelem” błądzenia przypadkowego, występują w przyrodzie zjawiska:
- pojawianie się mutacji w populacji komórek (np. hodowli bakterii);
- stężenie hormonów w organizmie.
Są to procesy multiplikatywne (p  p*p  p*p*p), modelowane za
pomocą funkcji wykładniczej: y = a*ebx, o przebiegu:
lub
Wskazówki do wykonania zadań praktycznych ćw. 1.
Zadania 1, 2 – do wykonania samodzielnego.
Wskazówki do zadania 3:
a) zaznacz w arkuszu roboczym Excela
kolumny A i B, jako kolumny danyc
odpowiednio dla zmiennej x i y;
b) wprowadź jako pierwsze dane li
zmiennej x: 1 i 2
• c) zaznacz wprowadzone liczby (klik lewym przyciskiem na
początku bloku i przeciągnięcie do końca);
d) skopiuj zaznaczone liczby,
ustawiając kursor w prawym
dolnym rogu ( czarny krzyżyk)
i przeciągając go w dół)
e) przenieś kursor do komórki B2 (1), a następnie do pola wpisywania
formuł (2) i wpisz formułę: =log(a2)
(2)
(1)
f) wróć kursorem do komórki B2, ustaw go w prawym dolnym rogu
komórki ( czarny krzyżyk) i przeciągnij w dół (kopiowanie formuły)
g) zaznacz wszystkie wartości zmiennych x i y (weź je do bloku);
h) kliknij w ikonę kreatora rysunków:
, a następnie wybierz
najprostszy typ wykresu XY (same punkty) i kliknij w przycisk
„Dalej >” (zrzut ekranu – na następnym przeźroczu);
i)
kliknij w przycisk „Dalej >” po raz kolejny 2x, a następnie wpisz
tytuł rysunku oraz opisy osi X i Y;
j) kliknij w przycisk „Zakończ”. Powinien ukazać się rysunek, którego
rozmiary można dostosować do potrzeb, przeciągając kursor
ustawiony albo na czarnym kwadraciku „na rogu” (zmiana
wielkości „z zachowaniem proporcji” albo na środku
odpowiedniego boku (zmiana długości boku);
k) uzyskany wykres powinien wyglądać następująco:
l) dane wraz z wykresem można zapisać na własnym nośniku USB,
klikając w menu „Plik” i wybierając następnie komendę „Zapisz
jako”. W oknie „Zapisz jako”, przekieruj w polu „Zapisz w:” zapis
z folderu „Moje dokumenty” na dysk USB (kliknąć w strzałkę
z prawej strony i z rozwiniętego menu wybrać napęd USB i kliknąć
w przycisk „Zapisz”); nie wolno zapisywać własnych plików
w folderze „Moje dokumenty” lub gdziekolwiek indziej na dysku
twardym bez zgody prowadzącego.
•Wskazówki do zadania 4
y2x2y=1
y2x2y=1
| : x2
y2y=1/ x2
log (y2y) = log (1/ x2)
log (y2y0,5) = log (x-2)
2,5 log (y) = -2 log (x)
| : 2,5
log (y) = -0,8 log (x)
y = x-0,8
Wykres wykonujemy w taki sam sposób, jak w zadaniu poprzednim.
Operatorem potęgowania jest „^” (6 + Shift); formuła dla funkcji
y = x-0,8 w Excelu wygląda następująco: =(A2)^-0,8.
Wskazówki do zadania 5
Przeliczenie logarytmów dziesiętnych na naturalne:
log 70 = 1,845 (czyli log10 70 = 1,845)
Wzór na zamianę podstawy logarytmów:
logb(x) = logb(a) * loga(x)
Stąd:
ln70 = ln10 * log70,
czyli:
ln70  2,3026 * 1,845  4,2483
Dziękuję
za uwagę ;-)