Transcript Suwak logarytmiczny

Suwak
logarytmiczny
wykonanie :
Paweł Aranowski
Izabela Moćko
Sandra Szweda
Pojęcie logarytmu
I . Definicja
Logarytm to wykładnik potęgi, do której należy podnieść stałą wartość
podstawową (podstawę logarytmu), aby otrzymać daną liczbę. Czyli
prostyszymi słowami logarytm o podstawie a z liczby dodatniej b to wykładnik
c potęgi, do której należy podnieść a, aby otrzymać liczbę b:
a^c = b, =
• Podstawa a jest liczbą dodatnią różną niż 1,
• b jest zawsze liczbą większą od 0 (wynik potęgowania zawsze jest dodatni)
Piszemy:
loga b = c,
a – podstawa logarytmu
b – liczba logarytmowana
c – logarytm z liczby b przy podstawie a (wynik logarytmowania)
przy a > 0, a≠1 i b > 0.
Pojęcie logarytmu
II . Zastosowanie
Dawniej:
•
•
Szybkie mnożenie za pomocą tablic logarytmicznych
Obliczenia naukowe, inżynierskie, astronomiczne i geodezyjne
Dziś:
•
Logarytmy są już praktycznie zapomniane i nieużywane , wyparte przez
kalkulatory i komputery
„Suwak był najbardziej zasłużonym dla
nauki i techniki przyrządem.
Rola jaką odegrał jest ciągle jeszcze
większa od roli komputerów, które go
wyparły”.
Temat ogólny pracy
I . Wprowadzenie :
Naszym zadaniem było wykonać pracę na temat „Suwak Logarytmiczny”. Choć
z początku byliśmy przerażeni , poradziliśmy sobie. Dlaczego więc
zaczęliśmy pracę od omówienia tematu logarytmów? Odpowiedź jest prosta
– przed rozpoczęciem badań była to jedyna wiedza, na której się
opieraliśmy i dziś, próbując Państwu przedstawić czym jest suwak
logarytmiczny, powinniśmy byli opisać także pojęcie logarytmów.
Przejdźmy zatem do głównego tematu.
Suwak logarytmiczny
I . Pojęcie suwaka logarytmicznego
Najprościej mówiąc jest to przyrząd służący do podstawowych obliczeń
matematycznych. Ponadto jest urządzeniem podręcznym i ekspresowym,
co znacznie zwiększa jego wartość. Używa się go do wielu działań , m. in.
Mnożenia, dzielenia, potęgowania.
http://www.stefanv.com/calculators/aristo970/
Suwak logarytmiczny
II. Historia
Suwak logarytmiczny powstał w roku 1632. Wynalazł go William Oughtred. Od
roku powstania był używany przez ponad 1,5 wieku. Dopiero pod koniec lat 80
XX wieku suwak logarytmiczny zniknął z kieszeni matematyków, inżynierów i
naukowców na całym świecie.
III. Rodzaje suwaków:
Suwaki logarytmiczne dzielą się na wiele rodzajów. My opisujemy suwak
rachunkowy, istnieją jednak też takie, o których warto wspomnieć . Przede
wszystkim, suwaki różnią się przeznaczeniem oraz sposobem wykonania
(firmą). Wyróżniamy:
1. Suwaki mechaniczne
2. Suwaki elektryczne
3. Suwaki budowlane
4. Suwaki handlowe itd.
Istotne jest także jak wykonany jest suwak. Mamy suwaki okrągłe, walcowe,
linijkowe. Każdy z nich ma inną wielkość i jest wykonany z innego
materiału. Co również istotne, każdy suwak ma inne podziałki. Nie każdy
suwak będzie miał wyżej wymienione przez nas podziałki, może też mieć
je nazwane inaczej niż jak my przedstawiliśmy.
Suwak logarytmiczny w zegarku
Okrągłe suwaki logarytmiczne
„Suwaki rachunkowe, u dołu po lewej stronie suwak dwustronny z 30toma skalami, z prawej suwak walcowy ze skalami po linii śrubowej
o długości 170 cm, co daje dokładność odczytu 3-4 miejsc (normalnie
2-3)” – Wojciech Sawicki
„U góry 2 przykłady suwakow specjalistycznych - elektryczny i artyleryjski, niżej suwaki
wysokospecjalizowane (bez skal rachunkowych): do obliczania radioaktywności po wybuchu
bomby atomowej, poligraficzny, lotniczy "komputer pokładowy" myśliwca F9F-6 Cougar i
poniżej suwak do obliczania załadunku bombowca B-52 Boening Stratofortress. Po prawej:
suwaki-spinki do krawatu, sumator na odwrocie suwaka, suwak z wagą
uchylną, zegarki: rachunkowy, lotniczy i samochodowy. Na dole suwak drewniany z końca
XIX wieku.” – Wojciech Sawicki
Najmniejszy suwak świata
Suwak logarytmiczny
Działanie suwaka to proste działania na logarytmach, dodawanie lub
odejmowanie odcinków. Sięgając do zasad logarytmowania :
1. Mamy działanie x * y = z , logarytmujemy obie strony równania
2. Otrzymujemy log ( x * y ) = log z. Sprowadzamy lewą stronę równania do
postaci sumy.
3. Wówczas : log x + log y = log z.
4. Widzimy , że równanie ma teraz postać sumy, czyli podstawiając za log x (a)
, log y (b), log z (c) otrzymujemy : a + b =c .
5. (a), (b) oraz (c) to oczywiście długości dodawanych odcinków.
6. Analogicznie wykonujemy dzielenie, odejmując odcinki.
Suwak logarytmiczny
I. Budowa
Ruchome okienko
ze szkiełkiem
Część stała w postaci linijki
Wysuwka poruszająca się
w wyżłobieniach linijki
Suwak logarytmiczny
I. Budowa
1.
•
2.
•
•
Ruchome okienko ze szkiełkiem :
na okienku zaznaczono kreski – jedną lub trzy w zależności od suwaka
Część stała:
Naniesione są na niej podziałki na górnej części linijki
Podziałek jest siedem:
K, A, B, I, C, D, L
Suwak logarytmiczny
Podziałki na korpusie
• Podziałka A – podziałka nieregularna, zawierająca liczby naturalne,
• Podziałka F – podziałka logarytmów, równomierna, zawierająca mantysy
logarytmów którym odpowiadają liczby naturalne z podziałki A
• Podziałka D – podziałka posiadająca skalę dwa razy mniejszą od
podziałki A, przedstawiająca kwadraty liczb
• Podziałka E – podziałka posiadająca skalę trzy razy mniejszą od
podziałki A, przedstawiająca sześciany liczb
Podziałki na przesuwce
• Podziałka B –podziałka identyczna jak podziałka A
• Podziałka G – odwrócona podziałka A ( wartości oznaczeń wzrastają od
prawej ku lewej stronie)
• Podziałka C – identyczna z podziałką D
• Podziałka S – umieszczana z drugiej strony , przy pomocy której
odczytujemy wartości sinus dla kątów od 5 stopni do 90 stopni
• Podziałka T – dla funkcji tangens
Suwak logarytmiczny
Dokładność obliczeń na suwaku:
Przede wszystkim warto powiedzieć, że dokładne wyniki zależą od
umiejętności obsługującego suwak oraz dokładności wykonania skali
suwaka. Uśredniając , dla suwaka 250 mm błąd wyniesie :
∆U = 0,25mm/250mm = 0,1%
Suwak logarytmiczny
Użycie
Jeśli chcesz nauczyć się używać suwaka logarytmicznego, ta część
prowadzonych zajęć powinna interesować Cię najbardziej. Suwak
logarytmiczny to dodawanie logarytmów, czyli ułatwienie sobie życia, by z
działań mnożenia i dzielenia, potęgowania i pierwiastkowania zrobić dodawanie
i odejmowanie. Najbardziej potrzebne będzie nam równanie :
log (a * b) = log (a) + log (b)
Które być może pamiętacie z lekcji matematyki.
Suwak logarytmiczny
Technika liczenia
Aby dobrze posługiwać się suwakiem logarytmicznym, pamiętaj :
- Każdą liczbę jaką chcesz mnożyć lub dzielić musisz traktować jako zespół
uszeregowanych cyfr bez uwzględnienia przecinka umiejscowionego, by
oddzielić resztę od liczby całkowitej
- Nie należy uwzględniać też zer początkowych
Np. Liczby
29,1 ; 2910 ; 2,91 ; 0,0291
Zajmują na podziałce A miejsce 291.
Wynika więc z tego, że każda liczba na suwaku logarytmicznym musi znaleźć
swoja pozycję. Dokładny wynik ustalony zostanie na jej podstawie za
pomocą znalezienia miejsca dziesiętnego.
Zadanie 1 : określ miejsce liczb
• 0.375 ; 3750 ; 0,0375
• 833 ; 8,33 ; 0,833 ; 0,0833
Oczywiście, miejsce liczb to odpowiednio:
375
833
Suwak logarytmiczny
Użycie
I. MNOŻENIE
Aby pomnożyć jedną liczbę przez drugą za pomocą suwaka logarytmicznego,
należy:
1) Odnaleźć skalę A oraz skalę B
2) Skalę A oznaczymy jako naszą skalę podstawową,
3) Należy ustalić jakie liczby chcemy przez siebie pomnożyć. Weźmy x=4 i y=2
4) Skala B jest umieszczona na środkowej wysuwce. Znajdźmy tam liczbę 4.
5) Za pomocą ruchomej wysuwki x=4 umieszczamy pod (lub nad w zależności
od rodzaju suwaka) cyfrą 1. [bierze się to stąd, że logarytm z 1 równy jest 0]
6) Pierwsza liczba z iloczynu to 4. Na skali podstawowej szukamy liczby przez
którą chcemy pomnożyć czwórkę. Dla nas będzie to 2.
7) Ustawiamy kreskę okienka na drugim czynniku działania
8) Kreska wskazuje na podziałce A miejsce wyniku z
Suwak logarytmiczny
UWAGA ! By nie popełnić błędu należy ustalić położenie miejsca dziesiętnego
wyniku.
1. Pierwszą rzeczą jaką robimy będzie ustalenie sumy ilości miejsc jaką
posiadają oba czynniki :
• Liczby większe od jedności posiadają tyle miejsc dodatnich ile mają cyfr na
lewo od przecinka (np. dla 253,3 trzy miejsca dodatnie)
• Liczby mniejsze od jedności posiadają tyle miejsc ujemnych ile mają zer na
prawo od przecinka do pierwszej cyfry różnej od zera ( np. dla 0.003 dwa
miejsca ujemne)
2. Jeśli przesuwka wysuwamy w prawą stronę
od sumy ilości miejsc
odejmujemy 1.
3. Jeżeli przesuwkę wysuwamy w lewą stronę
nie dodajemy ani nie
odejmujemy niczego od sumy ilości miejsc.
Otrzymana suma ilości miejsc wskazuje ilość miejsc dla z, którego miejsce na
podziałce już obliczyliśmy. Rozpatrzmy sprawę na przykładzie.
Suwak logarytmiczny
ZADANIE 2 : 19,2 x 4,25
1. Ustawiamy 1 z przedziałki B pod x = 192 na przedziałce A
2. Znajdujemy y=425 na przedziałce B oraz ustawiamy na nim kreskę okienka
3. Nad y =425 odczytujemy miejsce iloczynu z. W naszym wypadku z =816
Suwak logarytmiczny
4. Naszym zadaniem będzie ustalenie miejsc w każdej liczbie, wobec tego
• dla 19,2 +2 miejsca po prawej stronie od przecinka
• dla 4,25 +1 miejsce
5. Sumujemy. Po bardzo skomplikowanych obliczeniach 2+1 =3
6. Jako, że przesuwaliśmy suwak w prawą stronę należy odjąć 1 : 3-1=2
7. Liczba 2 oznacza, że miejsce liczby z, które ustaliliśmy na suwaku ma 2
miejsca dodatnie (2 kolejno tworzące liczbę cyfry przed przecinkiem). Suwak
wskazał 816, a zatem wynikiem mnożenia jest liczba 81,6
Zadanie 3 : Oblicz
1. 7,5 x 85200
2. 93,5 x 44
3. 2,42 x 380
Wynik :
1. 639000
2. 4110
3. 920
Suwak logarytmiczny
UŻYCIE
II.Dzielenie
1. Jest to działanie odwrotne do mnożenia, więc wykonywane czynności będą
analogiczne, przy czym zamiast dodawać będziemy odejmować.
2. Odnaleźć skalę A oraz skalę B
3. Skalę A oznaczymy jako naszą skalę podstawową,
4. Należy ustalić jakie liczby chcemy przez siebie podzielić. Weźmy dzielną
x=620 i y=23
5. Na podziałce A znajdujemy liczbę x. Ustawiamy na niej kreskę okienka
6. Na podziałce B znajdujemy liczbę y. Za pomocą wysuwki ustawiamy ją pod
(lub nad) liczbą x.
7. Pod liczbą pierwszą wysuwki B znajdujemy miejsce wyniku z.
8. Ustalamy rzeczywistą wartość wyniku za pomocą ustalenia różnicy miejsc
dziesiętnych liczb w działaniu.
Suwak logarytmiczny
Ustalanie miejsca
dziesiętnego w dzieleniu
• Wartość ilorazu ustalamy odwrotnie niż w przypadku mnożenia, za
pomocą różnicy ilości miejsc dzielnej i dzielnika.
• Jeśli wysuwkę przesuwaliśmy w prawo, do różnicy dodajemy 1,
• jeśli w lewo różnica pozostaje bez zmian.
Suwak logarytmiczny
Zadanie 4:
3,55:67
1. W pierwszej kolejności ustalamy miejsca : 3,55 (+1miejsce), 67 (+2 miejsca)
2. Następnie znajdujemy na podziałce A miejsce 355 , ustawiamy na nim kreskę
okienka
3. Na podziałce B znajdujemy miejsce 670, wysuwkę przesuwamy tak, by
miejsce było ustawione tuż pod kreską ( pod miejscem 355)
4. Pod pierwszą liczbą na wysuwce odczytujemy miejsce wyniku. (w naszym
wypadku 530)
Suwak logarytmiczny
5. Znając już miejsce wyniku ustalamy różnicę miejsc dzielnej i dzielnika.
Wracając pamięcią do punktu pierwszego, z łatwością stwierdzamy, że
będzie to 1-2= -1.
6. Wysuwkę przesuwaliśmy w lewo, nie dodajemy ani nie odejmujemy więc
żadnej liczby
7. Wynik o miejscu 530 ma -1 miejsce dziesiętne, ustalamy więc , że to 0,053
Zadanie 4 : Oblicz
1. 4637 : 283
2. 2,55 : 0,4
3. 0,672 : 82,3
Wynik
1. 16,4
2. 6,37
3. 0,00816
Suwak logarytmiczny
Użycie
III. Podnoszenie do kwadratu
Podnoszenie liczb do kwadratu na suwaku jest znacznie prostsze niż
jakiekolwiek inne działanie. Potrzebujemy tylko znalezienia przedziałki D
oraz A. Ważną zasadą jest także przy tym działaniu podzielenie podziałki D
na połowę. Będzie to potrzebne przy ustalaniu miejsc liczby potęgowanej i
uzyskaniu prawidłowego wyniku. Jeśli liczba znajduje się po lewej stronie
podziałki, posiada ilość miejsc równą (2n – 1) czyli podwojona ilość miejsc
liczby potęgowanej minus jeden. Podając przykład : 22 (1 miejsce liczby
potęgowanej) wynika z tego ,że n=1. Wynik to (2n-1) => 2 x 1 - 1 = 1 . 22=4.
Liczba 4 ma 1 miejsce ,stąd sprawdziliśmy prawdziwość twierdzenia. Jeżeli
liczba podnoszona do kwadratu znajduje się po prawej stronie podziałki D ,
ilość miejsc wyniku równa jest 2n , czyli liczba miejsc liczby potęgowanej
pomnożona przez 2. Dla przykładu : 52 (jedno miejsce) więc n=1 => wynik
będzie 2n , czyli dwumiejscowy. 52 = 25 i znów dowiedliśmy słuszność.
Suwak logarytmiczny
Użycie
III. Podnoszenie do kwadratu
Przejdźmy do praktyki
1. Znajdźmy miejsce liczby którą chcemy podnieść do kwadratu na podziałce D
2. Ustawmy kreseczkę okienka na tej liczbie.
3. Sprawdźmy miejsce liczby, która stanowi wynik działania
4. Wykonajmy proste obliczenia dotyczące miejsc liczb
5. Ustalmy dokładny wynik
Dla przykładu, wykonamy podnoszenie liczby
16 do kwadratu
Suwak logarytmiczny
1. Znajdujemy liczbę 16.
2. Odczytujemy wynik
3. Sprawdzamy czy zgadza się ilość miejsc
Prawda , że proste?
Suwak logarytmiczny
Mając takie umiejętności łatwo będzie nam
nauczyć się także obliczania pierwiastka
kwadratowego.
To nic innego, jak po prostu odwrotne użycie
podziałek. Będziemy używać podziałki A
jako tej do znalezienia liczby
pierwiastkowanej, zaś podziałki D jako tej
do znalezienia wyniku.
Podsumowanie
Pisząc tę część pracy długo zastanawialiśmy się jak nazwać pracę nad
suwakiem logarytmicznym. By nauczyć się jego obsługi spędziliśmy
nad nim wiele długich godzin. Często rezygnowaliśmy, ale nigdy się
nie poddaliśmy. Po długich chwilach wracaliśmy do „zabawy z
suwakiem logarytmicznym”. Dziś możemy już stwierdzić, że
potrafimy wykonać na nim podstawowe działania, a nawet możemy
używać go ZAMIAST kalkulatora [ np. na maturze ;) ]. Cóż… Po
ponad miesięcznej pracy nad naszym projektem stwierdziliśmy, że
SUWAK UCZYŁ MYŚLENIA...
Teraz kalkulator UCZY BEZMYŚLNOŚCI !!
Dowodem na to jak wielką rolę odegrał suwak w nauce światowej są
m.in. zdjęcia suwaka logarytmicznego , który był na księżycu
Czy też zaskakujący kadr z filmu „Apollo 13” , w którym używany jest właśnie
suwak
Cóż, projekt ten to dla nas nie tylko doskonała lekcja matematyki, ale
także świetna lekcja historii. Ucząc się obsługi tego urządzenia,
zrozumieliśmy jak wiele zawdzięczamy jego wynalazcy w czasach
dzisiejszych. Suwak logarytmiczny to nie tylko przyrząd służący do
liczenia. To także przyjaciel naszych przodków , pomagający im w
dziedzinie inżynierii, nauki. Suwak logarytmiczny ułatwiał życie, a
jego stosowanie doprowadziło do rozwoju nauki w przyszłości.
Jesteśmy z siebie dumni, a każdemu, kto kocha nauki ścisłe,
proponujemy, by zagłębił się w niesamowity temat
SUWAKA LOGARYTMICZNEGO