Transcript Prezentacja - MGT challenge 2015
Slide 1
MGT challenge 2015
ZADANIA + ROZWIĄZANIA
Slide 2
SPIS TREŚCI
Wyrażenia wymierne
Zadanie 1
Rozwiązanie zadania 1
Trygonometria
Zadanie 2
Rozwiązanie zadania 2
Ciągi
Zadanie 3
Rozwiązanie zadania 3
Wielomiany
Zadanie 4
Rozwiązanie zadania 4
Logarytmy
Zadanie 5
Rozwiązanie zadania 5
Geometria analityczna
Zadanie 6
Rozwiązanie zadania 6
Rachunek
prawdopodobieństwa
Zadanie 7
Rozwiązanie zadania 7
Funkcja kwadratowa
Zadanie 8
Rozwiązanie zadania 8
Slide 3
Zadanie 1
Marek i Darek podjęli pracę sezonową –
zbierają jabłka. Marek pracując sam uzbiera skrzynkę
w ciągu 3h. Jeżeli pracują razem, to czynność ta
zajmuje im 2h. W ile godzin uzbierałby skrzynkę jabłek
sam Darek?
Slide 4
Zadanie 1 - rozwiązanie
Marek
Darek
razem
czas [h]
3
x
2
norma godzinowa
1
3
1
𝑥
1
2
1
3
zał. x≠ 0
2𝑥
6𝑥
1
1
+𝑥=2
6
3𝑥
+ 6𝑥 − 6𝑥 = 0
−𝑥+6
6𝑥
=0
-x+6= 0
x=6
Odpowiedź: 6
Slide 5
Zadanie 2
Wiedząc, że 𝛼 jest kątem ostrym,
a cos𝛼
3
= ,
4
oblicz wartość wyrażenia
1
2
2sin α+ .
8
Slide 6
Zadanie 2 - rozwiązanie
3 2
=1
4
sin2α+
sin2α=
9
116
sin2α =
7
16
1
8
2 sin2α + = 2 •
7
1 7 1
+ = + =1
16 8 8 8
Odpowiedź: 1
Slide 7
Zadanie 3
Firma TGM zajmuje się drążeniem tuneli
w skałach. Kosztorys robót przedstawia się następująco:
wydrążenie pierwszego metra tunelu kosztuje 2000 zł,
zaś wykopanie każdego następnego metra kosztuje
o 400 zł więcej niż poprzedniego.
Na wydrążenie ilu metrów tunelu wystarczy 32400 zł?
Slide 8
Zadanie 3 - rozwiązanie
an = a1 + (n-1)r
an = 2000 + (n-1)400
an = 1600 + 400n
a1 = 2000 zł
r = 400 zł
Sn = 32400 zł
32400 =
32400 = 1800n + 200n2 /:200
162 = 9n + n2
n2 + 9n – 162 = 0
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
∆ = 81 + 648 = 729
−𝑏− ∆
2𝑎
−9−27
n1 = 2
𝑎1 +𝑎𝑛 𝑛
2
2000+1600+400𝑛 𝑛
2
Sn =
∆ = 27
−𝑏+ ∆
2𝑎
−9+27
n2 = 2
n1 =
n2 =
n1 = -18 sprzeczność
n2 = 9
Odpowiedź: 9
Slide 9
Zadanie 4
Wskaż największy pierwiastek równania wielomianowego:
x(x - 7)(7x2 - 3x - 4)(x + 3) = 0
Slide 10
Zadanie 4 - rozwiązanie
x=0
˅
x–7=0
x=7
˅
7x2 - 3x – 4 = 0 ˅
∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
∆ = 9 + 112 = 121
∆ = 11
4
x1 =x2 = 1
x+3=0
x = -3
7
Odpowiedź: 7
Slide 11
Zadanie 5
Oblicz x, jeżeli
log 2 𝑥 = 3 log 2 4 − 5
Slide 12
Zadanie 5 - rozwiązanie
zał. x > 0
log 2 𝑥 = 3 log 2 4 − 5
log 2 𝑥 = log 2 43 − log 2 25
log 2 𝑥 = log 2 64 − log 2 32
64
log 2 𝑥 = log 2
32
log 2 𝑥 = log 2 2
x=2
Odpowiedź: 2
Slide 13
Zadanie 6
Odcinek o końcach M(5; -6) oraz T(3; -2)
jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego.
Wyznacz sumę współrzędnych środka okręgu
opisanego na tym trójkącie.
Slide 14
Zadanie 6 - rozwiązanie
Środek okręgu opisanego na trójkącie
prostokątnym leży na środku przeciwprostokątnej,
zatem wystarczy wyznaczyć środek odcinka MT.
S – środek odcinka MT
5+3
S=
;
2
S = (4; -4)
−6+(−2)
2
Suma współrzędnych: 4 + (-4) = 0
Odpowiedź: 0
Slide 15
Zadanie 7
W drodze powrotnej z MGT wstępujesz
do herbaciarni. Możesz wybrać jeden z 8 gatunków
herbaty. Do herbaty możesz dodać cukier lub cytrynę.
Ile różnych wyborów możesz dokonać?
Iloraz otrzymanego wyniku przez najmniejszą liczbę
złożoną jest rozwiązaniem zadania.
Slide 16
Zadanie 7 - rozwiązanie
Zasada mnożenia:
8 • 2 • 2 = 32
herbata
cukier
cytryna
najmniejsza liczba złożona: 4
32
szukany iloraz: = 8
4
Odpowiedź: 8
Slide 17
Zadanie 8
1
1
a). Rozwiąż nierówność:
(log 4 16)x2 – (log 1 81)x - log 5 25 ≤ 0
b). Rozwiąż nierówność:
(log 10)x2 + (log 1 16)x + log 3 81 ≤ 0
c). Rozwiąż nierówność:
(-log 5 5)x2 – (6log 10)x + log 3 39 ≤ 0
d). Rozwiąż nierówność:
(log 1 7)x2 + (4log 2 4)x + 2log 1 256 ≥ 0
e). Rozwiąż nierówność:
1
(-log 1 2)x2 + (log 1010 )x - 5log 2 32
2
f). Rozwiąż nierówność:
(log 81 3)x2 - (log 2 8)x + log 109 ≤ 0
g). Rozwiąż nierówność:
(7 log 9 9)x2 + (log 5 25)x - log 2 128 ≥ 0
h. Rozwiąż nierówność:
(log 256 2)x2 + (log 6 36)x - 8log 10 ≥ 0
3
2
1
7
1
2
≥0
1
1
1
i). Podaj liczbę rozwiązań nierówności: (log 3 9)x2 – (log 2 16)x - log 100 > 0
Slide 18
Zadanie 8 - rozwiązanie
a).
Po uproszczeniu nierówność przyjmuje postać: 2x2 – 4x + 2 ≤ 0
Rozpatruję równanie kwadratowe 2x2 – 4x + 2 = 0 , aby wyznaczyć pierwiastki.
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
∆= 16 − 16 = 0
𝑏
x0= - 2𝑎
x0= 1
Wyznaczam zbiór rozwiązań nierówności:
1
Odpowiedź: 1
Slide 19
Zadanie 8 - rozwiązanie
Analogicznie jak zadanie w podpunkcie „a” rozwiązuje się pozostałe
przykłady z zadania 8.
Podpunkt z zadania 8
Odpowiedź
a).
1
b).
2
c).
3
d).
4
e).
5
f).
6
g).
7
h).
8
i).
0
Slide 20
Opracowanie: Marcela Ogrodnik
Organizatorzy:
Szkoły Patronackie:
Rafał Kapica
Technikum nr 1 ZSGH
Witold Sbirenda
Technikum nr 4
Beata Kołodziejczyk
Marcela Ogrodnik
Kontakt: [email protected]
Strona www: mgt.zsgh.bytom.pl
MGT challenge 2015
ZADANIA + ROZWIĄZANIA
Slide 2
SPIS TREŚCI
Wyrażenia wymierne
Zadanie 1
Rozwiązanie zadania 1
Trygonometria
Zadanie 2
Rozwiązanie zadania 2
Ciągi
Zadanie 3
Rozwiązanie zadania 3
Wielomiany
Zadanie 4
Rozwiązanie zadania 4
Logarytmy
Zadanie 5
Rozwiązanie zadania 5
Geometria analityczna
Zadanie 6
Rozwiązanie zadania 6
Rachunek
prawdopodobieństwa
Zadanie 7
Rozwiązanie zadania 7
Funkcja kwadratowa
Zadanie 8
Rozwiązanie zadania 8
Slide 3
Zadanie 1
Marek i Darek podjęli pracę sezonową –
zbierają jabłka. Marek pracując sam uzbiera skrzynkę
w ciągu 3h. Jeżeli pracują razem, to czynność ta
zajmuje im 2h. W ile godzin uzbierałby skrzynkę jabłek
sam Darek?
Slide 4
Zadanie 1 - rozwiązanie
Marek
Darek
razem
czas [h]
3
x
2
norma godzinowa
1
3
1
𝑥
1
2
1
3
zał. x≠ 0
2𝑥
6𝑥
1
1
+𝑥=2
6
3𝑥
+ 6𝑥 − 6𝑥 = 0
−𝑥+6
6𝑥
=0
-x+6= 0
x=6
Odpowiedź: 6
Slide 5
Zadanie 2
Wiedząc, że 𝛼 jest kątem ostrym,
a cos𝛼
3
= ,
4
oblicz wartość wyrażenia
1
2
2sin α+ .
8
Slide 6
Zadanie 2 - rozwiązanie
3 2
=1
4
sin2α+
sin2α=
9
116
sin2α =
7
16
1
8
2 sin2α + = 2 •
7
1 7 1
+ = + =1
16 8 8 8
Odpowiedź: 1
Slide 7
Zadanie 3
Firma TGM zajmuje się drążeniem tuneli
w skałach. Kosztorys robót przedstawia się następująco:
wydrążenie pierwszego metra tunelu kosztuje 2000 zł,
zaś wykopanie każdego następnego metra kosztuje
o 400 zł więcej niż poprzedniego.
Na wydrążenie ilu metrów tunelu wystarczy 32400 zł?
Slide 8
Zadanie 3 - rozwiązanie
an = a1 + (n-1)r
an = 2000 + (n-1)400
an = 1600 + 400n
a1 = 2000 zł
r = 400 zł
Sn = 32400 zł
32400 =
32400 = 1800n + 200n2 /:200
162 = 9n + n2
n2 + 9n – 162 = 0
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
∆ = 81 + 648 = 729
−𝑏− ∆
2𝑎
−9−27
n1 = 2
𝑎1 +𝑎𝑛 𝑛
2
2000+1600+400𝑛 𝑛
2
Sn =
∆ = 27
−𝑏+ ∆
2𝑎
−9+27
n2 = 2
n1 =
n2 =
n1 = -18 sprzeczność
n2 = 9
Odpowiedź: 9
Slide 9
Zadanie 4
Wskaż największy pierwiastek równania wielomianowego:
x(x - 7)(7x2 - 3x - 4)(x + 3) = 0
Slide 10
Zadanie 4 - rozwiązanie
x=0
˅
x–7=0
x=7
˅
7x2 - 3x – 4 = 0 ˅
∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
∆ = 9 + 112 = 121
∆ = 11
4
x1 =x2 = 1
x+3=0
x = -3
7
Odpowiedź: 7
Slide 11
Zadanie 5
Oblicz x, jeżeli
log 2 𝑥 = 3 log 2 4 − 5
Slide 12
Zadanie 5 - rozwiązanie
zał. x > 0
log 2 𝑥 = 3 log 2 4 − 5
log 2 𝑥 = log 2 43 − log 2 25
log 2 𝑥 = log 2 64 − log 2 32
64
log 2 𝑥 = log 2
32
log 2 𝑥 = log 2 2
x=2
Odpowiedź: 2
Slide 13
Zadanie 6
Odcinek o końcach M(5; -6) oraz T(3; -2)
jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego.
Wyznacz sumę współrzędnych środka okręgu
opisanego na tym trójkącie.
Slide 14
Zadanie 6 - rozwiązanie
Środek okręgu opisanego na trójkącie
prostokątnym leży na środku przeciwprostokątnej,
zatem wystarczy wyznaczyć środek odcinka MT.
S – środek odcinka MT
5+3
S=
;
2
S = (4; -4)
−6+(−2)
2
Suma współrzędnych: 4 + (-4) = 0
Odpowiedź: 0
Slide 15
Zadanie 7
W drodze powrotnej z MGT wstępujesz
do herbaciarni. Możesz wybrać jeden z 8 gatunków
herbaty. Do herbaty możesz dodać cukier lub cytrynę.
Ile różnych wyborów możesz dokonać?
Iloraz otrzymanego wyniku przez najmniejszą liczbę
złożoną jest rozwiązaniem zadania.
Slide 16
Zadanie 7 - rozwiązanie
Zasada mnożenia:
8 • 2 • 2 = 32
herbata
cukier
cytryna
najmniejsza liczba złożona: 4
32
szukany iloraz: = 8
4
Odpowiedź: 8
Slide 17
Zadanie 8
1
1
a). Rozwiąż nierówność:
(log 4 16)x2 – (log 1 81)x - log 5 25 ≤ 0
b). Rozwiąż nierówność:
(log 10)x2 + (log 1 16)x + log 3 81 ≤ 0
c). Rozwiąż nierówność:
(-log 5 5)x2 – (6log 10)x + log 3 39 ≤ 0
d). Rozwiąż nierówność:
(log 1 7)x2 + (4log 2 4)x + 2log 1 256 ≥ 0
e). Rozwiąż nierówność:
1
(-log 1 2)x2 + (log 1010 )x - 5log 2 32
2
f). Rozwiąż nierówność:
(log 81 3)x2 - (log 2 8)x + log 109 ≤ 0
g). Rozwiąż nierówność:
(7 log 9 9)x2 + (log 5 25)x - log 2 128 ≥ 0
h. Rozwiąż nierówność:
(log 256 2)x2 + (log 6 36)x - 8log 10 ≥ 0
3
2
1
7
1
2
≥0
1
1
1
i). Podaj liczbę rozwiązań nierówności: (log 3 9)x2 – (log 2 16)x - log 100 > 0
Slide 18
Zadanie 8 - rozwiązanie
a).
Po uproszczeniu nierówność przyjmuje postać: 2x2 – 4x + 2 ≤ 0
Rozpatruję równanie kwadratowe 2x2 – 4x + 2 = 0 , aby wyznaczyć pierwiastki.
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
∆= 16 − 16 = 0
𝑏
x0= - 2𝑎
x0= 1
Wyznaczam zbiór rozwiązań nierówności:
1
Odpowiedź: 1
Slide 19
Zadanie 8 - rozwiązanie
Analogicznie jak zadanie w podpunkcie „a” rozwiązuje się pozostałe
przykłady z zadania 8.
Podpunkt z zadania 8
Odpowiedź
a).
1
b).
2
c).
3
d).
4
e).
5
f).
6
g).
7
h).
8
i).
0
Slide 20
Opracowanie: Marcela Ogrodnik
Organizatorzy:
Szkoły Patronackie:
Rafał Kapica
Technikum nr 1 ZSGH
Witold Sbirenda
Technikum nr 4
Beata Kołodziejczyk
Marcela Ogrodnik
Kontakt: [email protected]
Strona www: mgt.zsgh.bytom.pl