Transcript FYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 1

FYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 1
Nicolai Kristen Solheim, Gruppe 2
FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 1
Nicolai Kristen Solheim
Obligatorisk oppgave 1
Oppgave 1
For hvert av de oppgitte komplekse tallene
(hvor
Re
og
Im ) skal vi
regne ut et komplekskonjugat , modulusen | | og | | . Vi skal også sjekke eksplisitt at
| | .
a)
i)
For
0
| |
0
1
1
| |
0
Eventuelt | |
1
√0
3
For
| |
1
4
3
4
3
| |
3 4
4
√9
5
3
Eventuelt | |
3
3
25
25
√25
4
4
4
3 4
4
4
9
16
3
iii) For
3
0
| |
3
3
0
√9
3
| |
3
Eventuelt | |
3
3
√9
9
9
| |
0
9
1
1
| |
1
1
1
√2
| |
1
Eventuelt | |
1
1
1
2
2
√2
1
1
Side 1 av 8 √25
16
| |
iv) For
1
1
1
ii)
1
1
2
| |
25
| |
FYS2140 Kvantefysikk
b)
Obligatorisk oppgave 1
Vi skal videre forenkle uttrykk og skrive dem på formen
i)
(Bruker at
1
/
)
2
√
ii)
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
iii)
Side 2 av 8 Nicolai Kristen Solheim
.
FYS2140 Kvantefysikk
c)
Obligatorisk oppgave 1
Deretter skal vi skrive følgende komplekse tall på polarform
Nicolai Kristen Solheim
, det vil si bestemme
2
i)
For
har vi at
| |
2
For
√2
har vi
cos
0 sin
1 Vi har med dette bestemt polarkoordinatene 2,
og kan skrive
på formen
.
2
6
ii)
For
6√3
har vi at
| |
6
6 √3
√36 36 · 3
√144
12
For
har vi
cos
√
sin
√
Vi har med dette bestemt polarkoordinatene 12,
12
2√3
iii)
For
2
har vi at
Side 3 av 8 og kan skrive
på formen
.
,
.
FYS2140 Kvantefysikk
| |
√12
√16
4
For
Obligatorisk oppgave 1
2 √3
2
4
har vi
√
cos
√
sin
Vi har med dette bestemt polarkoordinatene 4,
4
Side 4 av 8 Nicolai Kristen Solheim
og kan skrive
på formen
.
FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 1
Nicolai Kristen Solheim
Oppgave 2
a)
Vi ønsker først å finne den generelle løsningen for
, og skriver den om til en
førsteordens homogen differensialligning som
må tifredsstille.
0
0
Fra dette ser vi at
slik at
vi kan multiplisere denne inn i ligningen.
. Dermed er
en integrerende faktor, og
0
0
0
Vi har med dette at den generelle løsningen er
. Vi setter så følgende
0
3, og løser for dette.
randbetingelser, 0
1 og
0
1
1
·
1
0
3
3
0
·1 3
3
Dette gir at den tilsvarende løsningen som oppfyller disse initialbetingelsene er
b)
Videre skal vi se på differensialligningen
vise at den generelle løsningen er
, hvor vi antar at
√
√
0. Vi skal først
.
0
0
0
0·
0, løser deretter røttene ved
√
√
√
Videre vet vi at den generelle løsningen for en annenordens homogen differensialligning er
gitt ved
.
√
√
Side 5 av 8 .
FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 1
Dersom vi krever at
skal gå mot 0 når
dette bestemme konstanten .
lim
∞ vil vi se at lim
√
lim
lim
√
lim
√
lim
lim
·∞
√
0
Nicolai Kristen Solheim
√
0 . Vi kan ut fra
0
0
√
0
√
0
0
0
Vi ser fra dette at = 0 dersom
0 når
∞. Dersom vi nå antar at
∞, vil vi få omvendt verdier slik at
0.
lim
√
lim
√
0
√
lim
lim
lim
·∞
√
0 når
0
0
√
lim
0
√
0
√
0
0
= 0 når
Ovenfor ser vi at at
c)
∞ og
0 når
∞.
| |, for samme differensialligningen som i
Vi betrakter nå i stedet tilfellet
0, altså
forrige oppgave. Vi følger samme fremgangsmåte for å finne røttene.
| |
| |
| |
0·
| |
0
0
0
0, løser deretter røttene ved
√
| |
| |
| |
Vi ser fra dette at vi har fått de imagenære røttene
| |
| |.
| |
Over har vi den generelle (komplekse) løsningen uttrykt ved eksponensialfunksjoner, hvor
cos
sin for å
og er konstanter. bruker så at
utrykke
med trigonometriske funksjoner for en reell løsning.
cos
| |
sin
| |
Side 6 av 8 cos
| |
sin
| |
FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 1
| |
cos
og
Vi ser fra dette at
og
sin
| |
cos
sin
| |
| |
| |
sin
| |
cos
sin
| |
cos
| |
sin
| |
cos
| |
sin
| |
cos
| |
sin
| |
cos
| |
sin
| |
2 cos
| |
| |
2 sin
Vi ser fra dette at den generelle løsningen når
2 cos
og
| |
2 sin
| |
er konstanter.
Side 7 av 8 | |
er komplekskonjugerte til hverandre. Hvis vi nå velger
bli et reelt tall.
vil
cos
hvor
Nicolai Kristen Solheim
| | er
FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 1
Nicolai Kristen Solheim
Oppgave 3
a)
Vi skal så finne løsningen for følgende gaussiske integraler.
i)
Dersom vi anvender formel nr. 51 i Rottman, har vi følgende.
·
√
√
Vi har med dette funnet at løsningen for det gaussiske integralet
.
ii)
Som i forrige oppgave kan vi anvende Rottman, men her bruker vi formel nr. 50.
2
Γ
2 Γ 1 , hvor Γ 1
·
1
· 1
.
Vi har fra dette funnet at løsningen for det gaussiske integralet
b)
Videre skal vi løse integralet
om til sfæriske koordinater.
. Vi begynner med å skrive
sin
2
sin
2
cos
4
4
!.
Vi bruker så at
4
4
2!
.
Løsningen av
Side 8 av 8