Transcript FYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 10

FYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 10
Nicolai Kristen Solheim, Gruppe 2
FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 10
Nicolai Kristen Solheim
Obligatorisk oppgave 10
Oppgave 1
a)
Ligningene 1 , 2 og 3 er egenverdifunksjoner, mens ligning 4 er en deltafunksjon.
b)
De fysiske størrelsene som er representert ved operatorene
,
og
er energien i systemet,
er kvadratet av det totale angulærmomentet (banespinn),
er angulærmoment (banespinn) i -retning.
er følgende:
,
c)
er energien i systemet, kvadratet
De tilstandene som har skarpe verdier i tilstanden
av angulærmomentet og -komponenten av angulærmomentet, henholdsvis ,
1
og
.
d)
Videre ønsker vi å bestemme tidsfunksjonen som beskriver -atomets tilstand ved tiden . Fra
oppgaveteksten vet vi at tilstandsfunksjonen er bestemt av den tidsavhengige
Schrödingerligningen
Ψ ,
Ψ ,
og at tilstandsfunksjonen ved
0 er beskrevet ved
generelle løsningen til ligningen som er gitt ved
/
∑
Ψ ,
. Vi tar utgangspunkt i den
.
, og da vi allerede har oppgitt tilstandsfunksjonen ved
0
For
0, vil vi få at
1. Dette gir at den tilstandsfunksjonen som beskriver atomets tilstand ved tiden
ser vi at
er gitt ved
/
Ψ ,
e)
Deretter ønsker vi å vise at Φ
Φ
.
er normert, hvor Φ
∑
√
er definert ved
.
Vi viser dette på på følgende måte.
∑
∑
Φ
Φ
Φ
Φ
∑
∑
Φ
Φ
∑
∑
Φ
Φ
∑
∑
Φ
Φ
2
Φ
Φ
,
1
1
1
Side 1 av 5 , hvor
FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 10
Vi ser fra utregningene over at Φ
f)
Nicolai Kristen Solheim
normert.
Vi ønsker så å vise at tilstandsfunksjonen ved tiden er
Ψ ,
/
Φ
.
Her bruker vi igjen de samme formlene som i d), noe som gir
Ψ ,
/
∑
√
/
Φ
.
Vi kan kort forklare dette med at tilstandsfunksjonen ved
0 nå er beskrevet ved Φ , slik
. Dersom vi nå setter dette inn i den generelle løsningen får vi som vist over.
at
√
g)
,
Videre bestemmer vi forventningsverdiene for operatorene
beskrevet ved tilstandsfunksjonen Ψ , i forrige oppgave.
Ψ
Φ
,
og
i tilstanden som er
Ψ ,
Φ
∑
∑
∑
fra e) har vi at ∑
∑
∑
Ψ
Φ
2
,
1, noe som gir
Ψ ,
Φ
∑
∑
∑
1
∑
1
Ψ
Φ
,
Ψ ,
Φ
∑
∑
∑
0
Fra dette har vi at
h)
,
1 og
Deretter ønsker vi å finne spredningen av størrelsene representert ved operatorene
. Spredningen ∆ i tilstanden Ψ definert ved
∆
Side 2 av 5 0.
,
og
FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 10
Nicolai Kristen Solheim
hvor en størrelse er representert ved operatoren . Da vi ikke har beregnet
må vi gjøre
det for de tre respektive operatorene vi ønsker å løse for. Dette gjøres på tilsvarende måte som
i forrige oppgave.
Ψ
Φ
,
Ψ ,
Φ
∑
∑
∑
∑
Ψ
,
Ψ ,
Φ
Φ
∑
∑
∑
1
∑
1
Ψ
Φ
,
Ψ ,
Φ
∑
∑
∑
∑
∑
Dersom vi nå setter inn verdiene vi har funnet, finner vi spredningen til de tre operatorene.
∆
∆
∆
0
∆
1
∆
∆
1
0
∆
0
∆
∆
i)
Vi lar nå -atomets tilstand ved
0 være gitt ved tilstandsfunksjonen Φ , og tenker oss at
vi foretar en ideell måling av . Med dette ønsker vi å finne ut hvor stor sannsynligheten er
Side 3 av 5 FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 10
for å observere den bestemte verdien
, og vi bruker
Φ
∑
√
for
ved tiden
Nicolai Kristen Solheim
. Sannsynligheten er gitt ved
∑
og Φ
hvor vi har skrevet Φ
som en lineærkombinasjon av egentilstandene for . Legger vi nå
disse sammen får vi sannsynligheten for å observere den bestemte verdien ved
0.
√
∑
∑
√
j)
og videre at
Videre vil ikke sannsynligheten være avhengig av tid da vi komplekskonjugerer uttrykket.
Dette kan vi også vise, men vi bruker her Ψ , istedenfor Φ
da denne er tidsavhengig.
Med dette får vi at
/
√
.
, ser vi at eksponensialleddet vil forsvinne slik at
Da sannsynligheten er gitt ved
√
√
.
Dette viser at leddet vil være uavhengig av tiden målingene utføres.
k)
Vi lar nå -atomet befinne seg i et homogent magnetfelt
magnetfeltet. Hamilton operatoren for systemet er da
og velger
-aksen langs
Der – er elektronets ladning og
er elektronets masse. Fra dette kan vi finne -atomets
. Videre er
en egenfunksjon for
og kan skrives på
energi i tilstanden
formen
, som vist under, der er en konstant.
, hvor
Fra dette vil energien være gitt ved
.
l)
Tilstanden Φ
i ligning 7 vil ikke være en energitilstand da Φ
ikke er en egenfunksjon
for . På tilsvarende måte som vi viste det i forrige oppgave kan vi igjen gjøre her.
Side 4 av 5 FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 10
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
∑
∑
Φ
Φ
Φ
Fra dette ser vi at
Φ
energiegentilstand for .
m)
∑
√
√
Φ
, hvor
∑
√
Nicolai Kristen Solheim
Φ
, og tilstanden Φ
Til slutt bestemmer vi forventningsverdien til
Φ
vil derfor ikke være en
for tilstanden Φ
Φ
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
,
∑
Fra utregningene ovenfor ser vi at
for tilstanden Φ
Side 5 av 5 .
.