Transcript 201303 ECON2200 Obligatorisk Oppgave

ECON2200
Obligatorisk Oppgave
Solheim, Nicolai Kristen
201303 ECON2200 Obligatorisk Oppgave
Oppgave 1
Vi deriverer i denne oppgaven de gitte funksjonene med hensyn på alle argumenter.
a)
b)
c)
,
, der
d)
deriveres med hensyn på både
uttrykket
og
for å finne den deriverte, der
Side 1 av 19
. Vi kan benytte dee generelle
.
ECON2200
e)
Obligatorisk Oppgave
Vi kan til slutt finne
og
Solheim, Nicolai Kristen
for
kan med andre orde løse for
der
.
, der
, der
Side 2 av 19
og
. Vi
ECON2200
Obligatorisk Oppgave
Solheim, Nicolai Kristen
Oppgave 2
Vi lar
være gitt implisitt som en funksjon av
og ønsker så å finne
gjennom ligningen
ved implisitt derivasjon.
, der
Vi har med dette funnet
ved implisitt derivasjon.
Side 3 av 19
ECON2200
Obligatorisk Oppgave
Solheim, Nicolai Kristen
Oppgave 3
Vi ønsker så å maksimere
oss her av Lagranges metode.
under bibetingelsene
. Vi benytter
Deretter finner vi de stasjonære punktene
for så å løse med hensyn på .
Dette gir uttrykket
som vi kan bruke for å finne ekstremverdiene. Vi tar utgangspunkt i bibetingelsene og
setter inn for fra
.
Tilsvarende kan vi nå gjøre for .
Fra dette har vi nå at at
er maksimert under bibetingelsene ved
. Vi har likevel ikke bestemt hva som er minimums- og maksimumspunkt.
og
Betrakter vi nå
, kan vi veldig enkelt avgjøre hva som er minimum og
maksimumspunkt under bibetingelsene. Gitt at våre variable kun har relle ledd og ingen
imaginære ledd, altså
, så ser vi her at vi får maksimumspunktene når enten både
og er positive eller når de begge er negative. Med andre ord er maksimumspunktene
innenfor bibetingelsene
og
. Minimumspunktene vil da være gitt
som
og
.
Side 4 av 19
ECON2200
Obligatorisk Oppgave
Solheim, Nicolai Kristen
Oppgave 4
En bedrift produserer to ulike varer i kvantum
, mens inntektene er
, der og
profitt blir da
og . Kostnadene ved produksjonen er
er prisene på de to varene. Bedriftens
.
a)
Vi ønsker så å finne førsteordensbetingelsen for profittmaksimum, gitt at bedriften
produserer et positivt kvantum av begge varer. Vi gjør dette ved å partisiellderivere med
hensyn på og som gir oss to uttrykk for førsteordensbetingelsen.
der
der
b)
. Førsteordensbetingelsen vår er dermed
gir den deriverte av kostnadene ved produksjon med hensyn på .
Deretter ser vi på hva som må kreves av kostnadsfunksjonen for at stasjonærpunktene skal
være profittmaksimum (antar konveks kostnadsfunksjon).
Vi betrakter da
andreordensbetingelsen som sier at vi finner maksimum for konveks dersom
og
.
Dette kan uttrykkes ved å substituere for
der
.
og
Det er dette som må kreves av kostnadsfunksjonen for at stasjonærpunktene skal være
profittmaksimum.
c)
Vi antar videre at produksjonen av er gitt
, og at bedriften bare kan velge . Vi
kan også anta at
for alle . Vi ønsker så å finne betingelsen for at
skal være det profittmaksimerende valget.
er her mariginalkostnaden, og vi kan fra dette trekke at dersom
Side 5 av 19
ECON2200
Obligatorisk Oppgave
Solheim, Nicolai Kristen
så vil
være det profittmaksimerende valget. Vi kan tolke dette som at profitten vil
bli negativ for enhver produsert mengde større enn 0, slik at grensekostnaden for
produktmengden er akkurat lik produktprisen.
d)
Vi antar så at det optimale kvantumet
er strengt positiv, og ønsker å finne et uttrykk for
som er et analytisk uttrykk for den effekten en produktprisøkning har på optimalt
tilbudt kvantum . Vi tar nå utgangspunkt i førsteordensbetingelsen og deriverer denne
med hensyn på produktprisen, når vi samtidig befinner oss på den stigende delen av
grensekostnadskurven. Dette gir oss
med positivt fortegn da vi fra førsteordensbetingelsen har at
med
. Vi kan trekke dette fra beslutningsregel 2 (Strøm og Vislie) som sier at det
oppnås et profittmaksimum i et punkt på den stigende delen av grensekostnadskurven der
grensekostnaden er lik den gitte produktprisen, dersom drift er lønnsomt. Altså er
grensekostnaden
stigende gjennom punktet
, noe som medfører
.
Side 6 av 19
ECON2200
Obligatorisk Oppgave
Solheim, Nicolai Kristen
Oppgave 5
Funksjonen
a)
.
Vi ønsker først å utlede et uttrykk for
vist under.
Argumentet
b)
er gitt ved
uten først å regne ut
. Vi gjør dette som
må beholdes da vi betrakter et tredimensjonalt plan
Videre ønsker vi å løse maksimeringsproblemet og på denne måten finne
benytter oss her av omhylningsteoremet og antar
.
. Vi
mens
som ved utregning gir oss
Her er
c)
.
en maksimumsverdi
som løser optimaliseringsproblemet.
Fra det samme teoremet har vi også at
slik at
der vi har behandlet
som en konstant - og benyttet løsningen for
i
b) for å finne
. Sammenligner vi nå svaret i denne del oppgaven og i oppgave a) ser
vi at svarene er tilsvarende. I
har vi uttrykt maksimumsverdien som
, mens vi i
har den uttrykt funksjonen som
. Vi kan med andre ord si at
som vi har vist gjennom denne oppgaven.
Side 7 av 19
ECON2200
Obligatorisk Oppgave
Solheim, Nicolai Kristen
Oppgave 6
Vi betrakter så en bedrift som produserer en vare over en bestemt periode i mengde ved
bruk av en produksjonsfaktor som vi kan oppfatte som antall arbeidstimer brukt i
perioden. Denne faktorinnsatsen kaller vi for og antar at sammenhengen mellom og
kan uttrykkes gjennom produktfunksjonen
under
der
a)
er en positiv konstant (produktivitetsparameter) og
en konstant større enn null.
Vi kan fra
bestemme grenseproduktiviteten og gjennomsnittsproduktiviteten, samt
beregne grenseelastisitenen. Vi har først at grenseproduktiviteten er gitt ved
og videre at gjennomsnittsproduktiviteten er gitt som
som vi kan bruke for å beregne grenseelastisiteten.
Vi ser her at grenseproduktiviteten synker med
, med
andre ord hvis
. Tilsvarende ser vi at gjennomsnittsproduktiviteten synker med
dersom
.
b)
Når det kommer til forløpet for produktsammenhengen vil størrelsen på bestemme
forholdet mellom produksjon og faktorinnsats, hhv. og . Vi kan illustrere forløpet for
produktfunksjonen for verdier av mindre enn én, lik én og større enn én på figur 6.1 på
neste side.
Vi ser fra figur 6.1 at
vil gi et lineært forhold mellom og .
vil gi et økende
eksponentielt forhold, mens
vil gi et avtakende eksponentielt forhold mellom og
.
Side 8 av 19
ECON2200
Obligatorisk Oppgave
Figur 6.1: Forløpet for produktfunksjonen for verdier av
én.
c)
Solheim, Nicolai Kristen
mindre enn én, lik én og større enn
Vi ønsker så å finne nødvendig innsats av arbeidskraft for en vilkårlig produktmengde.
Dette gjøres ved å skrive om uttrykket
til
under.
Denne faktorinnsatsfunksjonen vil ha forskjellige egenskaper for forskjellige . For
vil uttrykket øke eksponentielt, for
vil uttrykket være et lineært forhold mens vi
for
vil få en avtagende funksjon. Dette vises i figur 6.2 på neste side.
Vi kan også påpeke at sammenhengen mellom faktorinnsatsfunksjonen
og det
opprinnelige uttrykket
er at faktorinnsatsfunksjonen er den inverse av
produktfunksjonen.
Side 9 av 19
ECON2200
Obligatorisk Oppgave
Solheim, Nicolai Kristen
Figur 6.2: Egenskapene ved faktorfunksjonen
vist for forskjellige
og
.
Figuren viser med andre ord at faktorinnsatsfunksjonen er den inverse av produktfunksjonen.
d)
Vi lar videre prisen per arbeidstime være kroner og utleder så kostnadsfunksjonen med
den antakelse at det ikke forekommer faste kostnader. Kostnadene vil dermed utgjøre
faktorinnsatsen (antall arbeidstimer) multiplisert med prisen per arbeidstime som gir oss
uttrykket
. Vi har her satt inn
for .
Videre utleder vi grense- og gjennomsnittskostnad, hhv.
av .
Side 10 av 19
og
, for ulike verdier
ECON2200
Obligatorisk Oppgave
Solheim, Nicolai Kristen
,
Fra dette har vi utledet at grensekostnaden
er gitt ved
mens
gjennomsnittskostnaden er gitt ved
. Vi ser at disse vil variere med forskjellige
verdier av .
e)
Vi antar så at bedriften opptrer som prisfast kvantumstilpasser i alle markeder, og antar
videre at det ferdige produktet kan selges til en gitt pris
kroner per enhet av .
Bedriftens mål vil fortsatt være profittmaksimering, og vi ønsker å gjøre rede for
profittmaksimeringsproblemet for ulike verdier av , og spesifisere under hvilke
betingelser pris lik grensekostnad vil gi den produksjonsbeslutningen som maksimerer
overskuddet. Vi ser i figur 6.3 hvordan ulike verdier for
virker inn på
profittmaksimeringsproblemet.
Figur 6.3: Førsteordensbetingelsen for profittmaksimum vist som
forskjellige verdier av .
I figur 6.3 over er plottet for
for forskjellige
funnet gjennom den deriverte av profittfunksjonen
altså
.
Side 11 av 19
ECON2200
Obligatorisk Oppgave
Solheim, Nicolai Kristen
Dersom man løser førsteordensbetingelsen med hensyn på , så får en
som er det figur 6.3 viser for forskjellige . Når det kommer til hvilke betingelser som
skal gi den produksjonsbeslutningen som maksimerer overskuddet, så finnes det tre
betingelser vi må forholde oss til. Den første er
som sier at prisen per produserte enhet ikke må overstige den gjennomsnittlige
enhetskostnaden. Dersom denne betingelsen ikke opprettholdes oppnår vi et tap per solgte
enhet. Videre har vi førsteordensbetingelsen
som definerer profittmaksimum, og til
slutt andreordensbetingelsen for å sørge for at denne er tilfredstilt.
og
er de tre betingelsene som må overholdes dersom pris lik
grensekostnad skal gi den produksjonsbeslutningen som maksimerer overskuddet.
f)
Vi antar videre at
, og utleder så bedriftens tilbudsfunksjon for det ferdige
produkt og etterspørselsfunksjon for arbeidstimer fra
. Vi finner så at bedriftens
tilbudsfunksjon er gitt ved
mens vi finner etterspørselsfunksjonen for arbeidstimer ved å sette inn
i
.
Vi har fra dette funnet både bedriftens tilbudsfunksjon for det ferdige produkt og
etterspørselsfunksjon for arbeidstimer. Videre skal vi se på hvordan tilbud og etterspørsel
varierer med en endring i hhv. og . Vi begynner med tilbudsfunksjonen.
Side 12 av 19
ECON2200
Obligatorisk Oppgave
Solheim, Nicolai Kristen
Vi ser fra dette at tilbudsfunksjonen vokser med en endring i enhetsprisen , og avtar med
en endring i prisen per arbeidstime . Tilsvarende kan vi gjøre for .
Her ser vi at etterspørselsfunksjonen avtar med en endring i enhetsprisen, mens den vokser
med en endring i prisen per arbeidstime. Vi ser til slutt på hvordan en
produktivitestforbedring vil virke inn på bedriftens optimale beslutninger.
Vi ser fra dette at en produktivitetsforbedring ikke vil ha noen virkning på antall
arbeidstimer, men at produksjonen likevel vil øke.
g)
Vi kan i stedet for å gå veien om kostnadsfunksjonen, maksimere profitten for bedriften
ved direkte valg av . Vi setter her
inn i profittfunksjonen vår
der vi antar at
, og vi videre deriverer med hensyn på .
Dersom vi nå løser uttrykket for , finner vi
som er den arbeidsinnsatsen som skal til for å maksimere profitten
førsteordensbetingelsen vår, mens
er andreordensbetingelsen.
Side 13 av 19
.
er da
ECON2200
Obligatorisk Oppgave
Solheim, Nicolai Kristen
Oppgave 7
I denne oppgaven betrakter vi en bedrift som produserer en vare i mengde
arbeidskraft
og energi
, der produktfunksjonen er gitt ved
ved hjelp av
.
Bedriften minimerer kostnadene for gitt produktmengde , til gitte priser på de to
produksjonsfaktorene. Vi lar lønn per enhet arbeidskraft være og pris per enhet være .
i)
Det første vi ønsker å gjøre er å vise at produktfunksjonen
har konstant skalautbytte. Konstanten
betrakte elastisiteten som vi gjør først.
. Dette kan vises på to måter. Den ene ved å
Fra dette får vi at
som viser at produktfunksjonen har konstant skalautbytte. Alternativt kan dette vises ved å
legge til en faktor på både og .
Fra
ser vi at produktfunksjonen har konstant skalautbytte. Videre ønsker vi å utlede
den marginale tekniske substitusjonsbrøk og vise at denne er avtakende.
Fra dette har vi at den marginale tekniske substitusjonsbrøk er
og avtagende da den vil
synke med . Vi kan vise at denne er avtakende ved å derivere med hensyn på .
Vi ser fra uttrykket
at
er avtagende.
Side 14 av 19
ECON2200
ii)
Obligatorisk Oppgave
Solheim, Nicolai Kristen
Videre ønsker vi å stille opp bedriftens kostnadsminimeringsproblem og utlede de
betingene
faktoretterspørselsfunksjonene
og
Her
vil
kostnadsminimeringsproblemet til bedriften være gitt ved
der
. Vi kan løse dette ved hjelp av Lagranges metode, og lar
lagrangefunksjonene være gitt som
Siden vi når antar at det finnes en indre løsningen, vil det finnes en konstant slik at den
kostnadsminimerende faktorkombinasjonen
finnes som stasjonærpunktene
.
Vi kan videre eliminere Lagrangemultiplikatoren som gir oss den marginale tekniske
substititusjonsbrøk.
Vi kan med
og produksjonskravet
faktoretterspørselsfunksjonene
og
regnet ut
i
tidligere.
utlede de betingede
. Vi kan løse
da vi har
Setter vi inn dette i produksjonsfunksjonen får vi
som vi kan løse for .
Tilsvarende setter vi inn
Vi har dermed funnet
priser i figur 7.1.
og løser for .
og
Side 15 av 19
. Videre kan vi illustrere løsningen for gitte
ECON2200
Obligatorisk Oppgave
Figure 7.1: For gitt isokvant
over.
iii)
Solheim, Nicolai Kristen
og gitte priser, kan løsningen illustreres som i figuren
Vi kan så utlede kostnadsfunksjonen, for så å bestemme grense- og gjennomsnittskostnad.
Kostnadsfunksjonen,
, vil nå være den minimerte verdien av samlede
faktorutlegg.
Videre har vi at grensekostnaden er
der
mens gjennomsnittskostnaden er gitt som
.
Vi ser her at
. Gjennomsnittskostnaden vil dermed være lik
grensekostnaden uavhengig av produksjonskalaen. Dette da kostnaden er lineær med
tanke på produksjonsmengden. For å utdype dette kan vi skrive om
for å vise den
lineære sammenhengen.
Side 16 av 19
ECON2200
iv)
Obligatorisk Oppgave
Solheim, Nicolai Kristen
Til slutt ønsker vi å bruke egenskaper ved kostnadsfunksjonen til å belyse hvordan
varierer med faktorprisene. Vi introduserte i forrige oppgave
enhetskostnadsfunksjon,
, og vi kan bruke denne videre for å belyse hvordan
varierer med faktorprisene. Vi kan gjøre dette da
er den deriverte
kostnadsfunksjonen med hensyn på .
Fra dette følger
gjennom substitusjon, der vi ser at den andrederiverte er negativ da økt lønn vil føre til
redusert bruk av arbeidskraft. Det vil videre følge at
der energibruken økes for at samme produktmengde skal opprettholdes (jmf. figur 7.1).
Dette følger direkte fra mulightene for substitusjon. Med andre ord kan vi forklare det som
at det brukes mer av faktoren som blir relativt billigere.
Side 17 av 19
ECON2200
Obligatorisk Oppgave
Solheim, Nicolai Kristen
Oppgave 8
Vi antar så at en konsument har preferanser over to varer
av følgende type:
, med som en konstant som viser et minimumsbehov for vare
1, og en positiv konstant. Vi lar prisene på de to varene være
og , og antar at
nominell inntekt er
Vi ønsker å utlede tilpasningen ved hjelp av Lagranges
metode og fastlegge etterspørselsfunksjonene for de to varene.
og medfølgende bibetingelser.
Løsningen på dette problemet kan representeres gjennom det vi kjenner som Hicks’
etterspørselsfunksjoner,
og
. Tilpasningen blir da
Det vil fra dette være mulig å fastlegge etterspørselsfunksjonene for de to varene.
Side 18 av 19
ECON2200
Obligatorisk Oppgave
Solheim, Nicolai Kristen
Kilder
Sydsæter, Knut (2010). Matematisk analyse. Gyldendal Akademisk.
Strøm, S. og Vislie, J. (2008). Økonomisk atferd, beslutninger og likevekt: En innføring i
analytisk mikroøkonomi. Universitetsforlaget.
Side 19 av 19